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练3-2 下列哪种情况适合使用组内离差平方和最小的原理？
（）
A.比较两种药物的疗效
B.将学生按成绩分组
C.分析股票价格波动
D.预测天气变化
（）
A.比较两种药物的疗效
B.将学生按成绩分组
C.分析股票价格波动
D.预测天气变化
答案
B
解析
【分析】首先明确组内离差平方和最小原理的核心：该原理用于对样本进行合理分组，目标是让同一组内的个体差异尽可能小，不同组间的差异尽可能大，常见于聚类分组的场景。接下来逐一分析选项：A选项比较两种药物疗效，属于两组样本的差异比较，常用假设检验，不涉及分组的离差平方和最小；B选项将学生按成绩分组，需要保证同组成绩差异小、不同组差异大，正好符合该原理；C选项分析股票价格波动属于时间序列波动分析，D选项预测天气变化属于预测模型应用，均不适用该原理。
【解析】组内离差平方和最小原理的核心是分组时使组内个体差异最小、组间差异最大，适用于样本合理分组场景。对各选项分析如下：
A选项：比较两种药物疗效，采用假设检验方法，不适用该原理；
B选项：将学生按成绩分组，需满足同组成绩相近（组内差异小）、不同组成绩差异明显（组间差异大），符合组内离差平方和最小原理；
C选项：分析股票价格波动属于时间序列波动分析，与分组原理无关；
D选项：预测天气变化属于预测模型应用，不涉及该原理。
【答案】B
【知识点】聚类分组、离差平方和应用、统计方法适用场景
【点评】本题考查统计方法的实际应用场景，需准确理解组内离差平方和最小原理的用途，区分不同统计方法的适用范围，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】组内离差平方和最小原理的核心是分组时使组内个体差异最小、组间差异最大，适用于样本合理分组场景。对各选项分析如下：
A选项：比较两种药物疗效，采用假设检验方法，不适用该原理；
B选项：将学生按成绩分组，需满足同组成绩相近（组内差异小）、不同组成绩差异明显（组间差异大），符合组内离差平方和最小原理；
C选项：分析股票价格波动属于时间序列波动分析，与分组原理无关；
D选项：预测天气变化属于预测模型应用，不涉及该原理。
【答案】B
【知识点】聚类分组、离差平方和应用、统计方法适用场景
【点评】本题考查统计方法的实际应用场景，需准确理解组内离差平方和最小原理的用途，区分不同统计方法的适用范围，难度适中。
【难度系数】0.5
例4 【定义】把一组数据从小到大排序，用$ m $表示中位数，则$ m $把这组数据分为两部分，依次记为$ S $和$ T $。用$ a $和$ b $分别表示$ S $和$ T $的中位数，则所有数据中小于或等于$ a $的占$ 25\% $，小于或等于$ b $的占$ 75\% $，这样$ a,m,b $把所有数据分成个数相等的四部分，称为四分位数。
【应用】甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：$ 91,96,70,89,60,70,100,80,92,98 $；
乙：$ 92,93,70,88,82,75,96,80,92,95 $。
(1)求甲组数据的四分位数$ a,m,b $；
(2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图。
(3)【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法。
知识归纳
1. 四分位数：在一组从小到大排列的数据中，$ m_{25},m_{50},m_{75} $这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，这三个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。
2. 箱线图：水平的线从下而上依次表示最小值，$ m_{25} $（下四分位数），$ m_{50} $（中位数），$ m_{75} $（上四分位数），最大值。图中的大长方形（即箱体）的高度等于$ m_{75} $与$ m_{25} $的差，反映了中间$ 50\% $数据的离散程度。箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。这样的统计图叫做箱线图。
3. 箱线图大多用于多组数据的比较。箱体越扁，中间的竖线（也就是常说的“须”）越短，说明数据越集中。
【应用】甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：$ 91,96,70,89,60,70,100,80,92,98 $；
乙：$ 92,93,70,88,82,75,96,80,92,95 $。
(1)求甲组数据的四分位数$ a,m,b $；
(2)根据四分位数可绘制如图的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图。
(3)【理解】根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法。
知识归纳
1. 四分位数：在一组从小到大排列的数据中，$ m_{25},m_{50},m_{75} $这三个数值把所有数据分为个数相等的四个部分，这三个数叫作四分位数。其中第25百分位数也称为下四分位数，第75百分位数也称为上四分位数。
2. 箱线图：水平的线从下而上依次表示最小值，$ m_{25} $（下四分位数），$ m_{50} $（中位数），$ m_{75} $（上四分位数），最大值。图中的大长方形（即箱体）的高度等于$ m_{75} $与$ m_{25} $的差，反映了中间$ 50\% $数据的离散程度。箱体越扁，说明中间的数据越集中；箱体越高，说明中间的数据越分散。这样的统计图叫做箱线图。
3. 箱线图大多用于多组数据的比较。箱体越扁，中间的竖线（也就是常说的“须”）越短，说明数据越集中。
答案
解：
(1) 将甲组数据从小到大排序得：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据。
中位数m为第5、第6个数据的平均数：
$m=\frac{89+91}{2}=90$
以m为界将排序后的数据分为前半部分S：60，70，70，80，89，后半部分T：91，92，96，98，100。
S的中位数a为S的第3个数据，得$a=70$；
T的中位数b为T的第3个数据，得$b=96$。
即甲组的四分位数$a=70$，$m=90$，$b=96$。
(2) 甲组的最小值为60，最大值为100，结合四分位数a=70，m=90，b=96，在横轴“甲组”对应位置绘制箱线图：
① 标记最下方的短横线对应成绩60，用虚线向上连接到对应成绩70的短横线（箱体下沿）；
② 以70为下沿、96为上沿绘制矩形箱体，在箱体内部对应成绩90的位置画一条贯穿箱体的横线；
③ 从箱体上沿96用虚线向上连接到对应成绩100的短横线，即完成甲组箱线图绘制。
(3) 对两组成绩的看法：
乙组成绩的最小值、下四分位数均高于甲组，说明乙组低分段人数更少，整体成绩基础更好；乙组的箱体高度远小于甲组，说明乙组中间50%的成绩更集中，整体成绩更稳定；甲组的最大值高于乙组，说明甲组存在成绩更突出的高分学生，但甲组成绩两极分化程度比乙组更高。
(1) 将甲组数据从小到大排序得：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据。
中位数m为第5、第6个数据的平均数：
$m=\frac{89+91}{2}=90$
以m为界将排序后的数据分为前半部分S：60，70，70，80，89，后半部分T：91，92，96，98，100。
S的中位数a为S的第3个数据，得$a=70$；
T的中位数b为T的第3个数据，得$b=96$。
即甲组的四分位数$a=70$，$m=90$，$b=96$。
(2) 甲组的最小值为60，最大值为100，结合四分位数a=70，m=90，b=96，在横轴“甲组”对应位置绘制箱线图：
① 标记最下方的短横线对应成绩60，用虚线向上连接到对应成绩70的短横线（箱体下沿）；
② 以70为下沿、96为上沿绘制矩形箱体，在箱体内部对应成绩90的位置画一条贯穿箱体的横线；
③ 从箱体上沿96用虚线向上连接到对应成绩100的短横线，即完成甲组箱线图绘制。
(3) 对两组成绩的看法：
乙组成绩的最小值、下四分位数均高于甲组，说明乙组低分段人数更少，整体成绩基础更好；乙组的箱体高度远小于甲组，说明乙组中间50%的成绩更集中，整体成绩更稳定；甲组的最大值高于乙组，说明甲组存在成绩更突出的高分学生，但甲组成绩两极分化程度比乙组更高。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确四分位数的定义：将数据从小到大排序后，中位数m把数据分为前后两部分S和T，S的中位数为a，T的中位数为b，三者即为四分位数。解题时第一步要把甲组数据从小到大排序，再计算中位数m，接着分别计算前半部分S和后半部分T的中位数a、b；绘制箱线图需找到数据的最小值、a、m、b、最大值，按结构绘制；分析两组成绩则对比四分位数、箱体高度、最值等判断成绩分布与稳定性。
【解析】
(1) 先将甲组数据从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据。
中位数m是第5、第6个数据的平均数：$m=\frac{89+91}{2}=90$；
前半部分S为60，70，70，80，89，其中位数a是第3个数据，即$a=70$；
后半部分T为91，92，96，98，100，其中位数b是第3个数据，即$b=96$。
(2) 绘制甲组箱线图步骤：
① 标记最小值60，用虚线连接到下四分位数a=70；
② 以a=70为下沿、b=96为上沿绘制矩形箱体，在箱体中间对应m=90处画横线；
③ 用虚线连接箱体上沿b=96到最大值100，完成箱线图。
(3) 成绩看法：
乙组的最小值、下四分位数均高于甲组，说明乙组低分段人数少，基础更好；乙组箱体高度远小于甲组，说明乙组中间50%成绩更集中，整体更稳定；甲组最大值更高，存在更突出的高分学生，但成绩两极分化比乙组严重。
【答案】
(1) 甲组的四分位数$a=70$，$m=90$，$b=96$；
(2) 甲组箱线图按上述步骤绘制；
(3) 乙组整体成绩基础更好、更稳定，甲组有高分学生但两极分化更明显。
【知识点】
四分位数、中位数、箱线图
【点评】
本题考查四分位数的计算及箱线图的应用，需准确理解四分位数定义，掌握排序、中位数计算方法，能绘制箱线图并分析数据分布，属于基础应用类题目，注重概念理解与实际应用能力。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先需明确四分位数的定义：将数据从小到大排序后，中位数m把数据分为前后两部分S和T，S的中位数为a，T的中位数为b，三者即为四分位数。解题时第一步要把甲组数据从小到大排序，再计算中位数m，接着分别计算前半部分S和后半部分T的中位数a、b；绘制箱线图需找到数据的最小值、a、m、b、最大值，按结构绘制；分析两组成绩则对比四分位数、箱体高度、最值等判断成绩分布与稳定性。
【解析】
(1) 先将甲组数据从小到大排序：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，共10个数据。
中位数m是第5、第6个数据的平均数：$m=\frac{89+91}{2}=90$；
前半部分S为60，70，70，80，89，其中位数a是第3个数据，即$a=70$；
后半部分T为91，92，96，98，100，其中位数b是第3个数据，即$b=96$。
(2) 绘制甲组箱线图步骤：
① 标记最小值60，用虚线连接到下四分位数a=70；
② 以a=70为下沿、b=96为上沿绘制矩形箱体，在箱体中间对应m=90处画横线；
③ 用虚线连接箱体上沿b=96到最大值100，完成箱线图。
(3) 成绩看法：
乙组的最小值、下四分位数均高于甲组，说明乙组低分段人数少，基础更好；乙组箱体高度远小于甲组，说明乙组中间50%成绩更集中，整体更稳定；甲组最大值更高，存在更突出的高分学生，但成绩两极分化比乙组严重。
【答案】
(1) 甲组的四分位数$a=70$，$m=90$，$b=96$；
(2) 甲组箱线图按上述步骤绘制；
(3) 乙组整体成绩基础更好、更稳定，甲组有高分学生但两极分化更明显。
【知识点】
四分位数、中位数、箱线图
【点评】
本题考查四分位数的计算及箱线图的应用，需准确理解四分位数定义，掌握排序、中位数计算方法，能绘制箱线图并分析数据分布，属于基础应用类题目，注重概念理解与实际应用能力。
【难度系数】
0.5
