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练 1-2 某班有 50 名学生，其中 30 名男生的平均身高为 m cm，20 名女生的平均身高为 n cm，则全班 50 名学生的平均身高为 ______ cm。
答案
解：
30名男生的总身高为$30m$ cm，
20名女生的总身高为$20n$ cm，
全班50名学生的总身高为$(30m+20n)$ cm，
因此全班平均身高为 $\frac{30m+20n}{50} = \frac{3m+2n}{5}$ cm。
答：全班50名学生的平均身高为$\frac{3m+2n}{5}$ cm。
30名男生的总身高为$30m$ cm，
20名女生的总身高为$20n$ cm，
全班50名学生的总身高为$(30m+20n)$ cm，
因此全班平均身高为 $\frac{30m+20n}{50} = \frac{3m+2n}{5}$ cm。
答：全班50名学生的平均身高为$\frac{3m+2n}{5}$ cm。
解析
【分析】要求全班50名学生的平均身高，需利用“平均身高=总身高÷总人数”的关系计算。由于男女生人数不同，不能直接对男生平均身高m和女生平均身高n求平均，需先分别求出男生总身高、女生总身高，再将两者相加得到全班总身高，最后除以全班总人数50，化简结果即可。
【解析】30名男生的总身高为 $30m$ cm，20名女生的总身高为 $20n$ cm；全班50名学生的总身高为 $30m + 20n$ cm，因此全班平均身高为 $\frac{30m + 20n}{50}$，化简后得 $\frac{3m + 2n}{5}$ cm。
【答案】$\frac{3m + 2n}{5}$
【知识点】加权平均数
【点评】本题考查加权平均数的实际应用，核心是掌握“总数量÷总份数=平均数”的计算逻辑，需注意不同权重（人数）的处理，属于基础统计类题目，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】30名男生的总身高为 $30m$ cm，20名女生的总身高为 $20n$ cm；全班50名学生的总身高为 $30m + 20n$ cm，因此全班平均身高为 $\frac{30m + 20n}{50}$，化简后得 $\frac{3m + 2n}{5}$ cm。
【答案】$\frac{3m + 2n}{5}$
【知识点】加权平均数
【点评】本题考查加权平均数的实际应用，核心是掌握“总数量÷总份数=平均数”的计算逻辑，需注意不同权重（人数）的处理，属于基础统计类题目，难度较低。
【难度系数】0.8
例2 学校男子篮球队的10位队员的身高如表：
这10位队员身高的中位数是。
这10位队员身高的中位数是。
答案
$\boldsymbol{178\ \mathrm{cm}}$
解析
【分析】要计算10位队员身高的中位数，首先明确：当数据个数为偶数时，中位数是将数据从小到大排列后，中间两个数的平均数。总共有10个数据，需找到排序后第5和第6个身高，再求它们的平均值。通过累计人数确定对应数值：身高176cm的有1人，累计到1；身高177cm的有4人，累计到5，因此第5个身高是177cm；身高179cm的有3人，第6个身高是179cm，最后计算两数的平均数即可。
【解析】解：总人数为$1+4+3+2=10$（个），数据个数为偶数，中位数为排序后第5和第6个数据的平均数。
累计人数确定中间位置数据：
身高176cm对应1人，累计到第1个数据；
身高177cm对应4人，累计到第$1+4=5$个数据，即第5个数据为177cm；
身高179cm对应3人，第6个数据为179cm；
因此中位数为$\frac{177+179}{2}=178$（cm）。
【答案】$\boldsymbol{178\ \mathrm{cm}}$
【知识点】中位数
【点评】本题考查中位数的计算，核心是掌握偶数个数据时中位数的求法，关键是通过累计人数确定中间位置的两个数据，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解：总人数为$1+4+3+2=10$（个），数据个数为偶数，中位数为排序后第5和第6个数据的平均数。
累计人数确定中间位置数据：
身高176cm对应1人，累计到第1个数据；
身高177cm对应4人，累计到第$1+4=5$个数据，即第5个数据为177cm；
身高179cm对应3人，第6个数据为179cm；
因此中位数为$\frac{177+179}{2}=178$（cm）。
【答案】$\boldsymbol{178\ \mathrm{cm}}$
【知识点】中位数
【点评】本题考查中位数的计算，核心是掌握偶数个数据时中位数的求法，关键是通过累计人数确定中间位置的两个数据，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
练2-1 在某校八年级举行“数学说题”比赛中，10名参赛学生的成绩统计图如图所示，则这10名学生的参赛成绩的众数是分。
答案
80
解析
【分析】要确定这组成绩的众数，需先从折线统计图中读取各分数对应的参赛人数，再根据“众数是一组数据中出现次数最多的数”这一定义，找到出现次数最多的分数即可。
【解析】根据统计图可得：60分有1人，70分有1人，80分有5人，90分有2人，100分有1人。其中80分出现的次数最多（共5次），根据众数的定义，这10名学生参赛成绩的众数是80分。
【答案】80
【知识点】众数、折线统计图
【点评】本题结合折线统计图考查众数的概念，属于基础题，解题关键是准确读取统计图中的数据并理解众数的定义。
【难度系数】0.2
【解析】根据统计图可得：60分有1人，70分有1人，80分有5人，90分有2人，100分有1人。其中80分出现的次数最多（共5次），根据众数的定义，这10名学生参赛成绩的众数是80分。
【答案】80
【知识点】众数、折线统计图
【点评】本题结合折线统计图考查众数的概念，属于基础题，解题关键是准确读取统计图中的数据并理解众数的定义。
【难度系数】0.2
练2-2 某班10名同学中考体育测试的成绩如下表所示：
若成绩的平均数为23分，中位数是a分，众数是b分，则$a - b$的值是（）
A.$-5$
B.$-2.5$
C.$2.5$
D.$5$
若成绩的平均数为23分，中位数是a分，众数是b分，则$a - b$的值是（）
A.$-5$
B.$-2.5$
C.$2.5$
D.$5$
答案
C
解析
【分析】
要解决本题，需先根据总人数和平均数求出未知人数x、y，再依据中位数、众数的定义计算a和b，最终得出a-b的值。步骤如下：1. 利用总人数列方程求x与y的和；2. 利用平均数计算总分数，联立方程解出x、y；3. 排序后确定第5、6个数据，计算中位数a；4. 找出出现次数最多的成绩得众数b；5. 计算a-b。
【解析】
1. 求x和y的值：
总人数为10，因此：
$2 + x + y + 1 = 10$ → $x + y = 7$ ①
平均数为23，总分数为$23×10=230$，因此：
$30×2 + 25x + 20y + 15×1 = 230$
化简得：$75 + 25x + 20y = 230$ → $25x + 20y = 155$ → $5x + 4y = 31$ ②
联立①②，将$y=7-x$代入②：
$5x + 4(7-x)=31$ → $x=3$，则$y=7-3=4$。
2. 求中位数a：
10个成绩按从高到低排列，对应位置：1-2位为30分，3-5位为25分，6-9位为20分，10位为15分。
中位数是第5和第6个数据的平均数，第5位是25，第6位是20，因此：
$a=\frac{25+20}{2}=22.5$。
3. 求众数b：
众数是出现次数最多的成绩，20分出现4次，次数最多，故$b=20$。
4. 计算$a-b$：
$a-b=22.5-20=2.5$。
【答案】C
【知识点】平均数、中位数、众数
【点评】本题考查统计量的综合计算，核心是先通过总人数和平均数求出未知人数，再根据定义求解中位数和众数，属于基础统计题，需熟练掌握相关概念。
【难度系数】0.5
要解决本题，需先根据总人数和平均数求出未知人数x、y，再依据中位数、众数的定义计算a和b，最终得出a-b的值。步骤如下：1. 利用总人数列方程求x与y的和；2. 利用平均数计算总分数，联立方程解出x、y；3. 排序后确定第5、6个数据，计算中位数a；4. 找出出现次数最多的成绩得众数b；5. 计算a-b。
【解析】
1. 求x和y的值：
总人数为10，因此：
$2 + x + y + 1 = 10$ → $x + y = 7$ ①
平均数为23，总分数为$23×10=230$，因此：
$30×2 + 25x + 20y + 15×1 = 230$
化简得：$75 + 25x + 20y = 230$ → $25x + 20y = 155$ → $5x + 4y = 31$ ②
联立①②，将$y=7-x$代入②：
$5x + 4(7-x)=31$ → $x=3$，则$y=7-3=4$。
2. 求中位数a：
10个成绩按从高到低排列，对应位置：1-2位为30分，3-5位为25分，6-9位为20分，10位为15分。
中位数是第5和第6个数据的平均数，第5位是25，第6位是20，因此：
$a=\frac{25+20}{2}=22.5$。
3. 求众数b：
众数是出现次数最多的成绩，20分出现4次，次数最多，故$b=20$。
4. 计算$a-b$：
$a-b=22.5-20=2.5$。
【答案】C
【知识点】平均数、中位数、众数
【点评】本题考查统计量的综合计算，核心是先通过总人数和平均数求出未知人数，再根据定义求解中位数和众数，属于基础统计题，需熟练掌握相关概念。
【难度系数】0.5
例3 圆圆、方方准备代表学校参加区里的铅球比赛，体育老师对这两名同学测试了10次，获得如图测试成绩折线统计图。根据图中信息，解答下列问题：
(1)要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；
(2)求方方成绩的方差；
(3)现求得圆圆成绩的方差是$ S^2 = 1.8 $（单位：$ \mathrm{m}^2 $）。根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由。
(1)要评价每位同学成绩的平均水平，你选择什么统计量？求这个统计量；
(2)求方方成绩的方差；
(3)现求得圆圆成绩的方差是$ S^2 = 1.8 $（单位：$ \mathrm{m}^2 $）。根据折线统计图及上面两小题的计算，你认为哪位同学的成绩较好？请简述理由。
答案
解：
(1) 选择平均数评价成绩的平均水平。
圆圆10次成绩为：7,8,7,10,7,9,9,10,6,7，
圆圆成绩的平均数$\bar{x}_圆 = \frac{7+8+7+10+7+9+9+10+6+7}{10} = 8\ \mathrm{m}$，
方方10次成绩为：5,6,6,7,8,9,9,10,10,10，
方方成绩的平均数$\bar{x}_方 = \frac{5+6+6+7+8+9+9+10+10+10}{10} = 8\ \mathrm{m}$。
(2) 方方成绩的平均数为8 m，代入方差公式得：
$S^2_方 = \frac{1}{10}[(5-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2]$
$= \frac{1}{10}×(9+4+4+1+0+1+1+4+4+4)$
$= 3.2\ \mathrm{m}^2$。
(3) 示例1：圆圆成绩更好。理由：两人平均成绩相同，圆圆的方差1.8小于方方的方差3.2，圆圆的成绩更稳定。
示例2：方方成绩更好。理由：两人平均成绩相同，方方的成绩整体呈稳步上升趋势，后期成绩优于圆圆，潜力更大。
（两种结论均合理）
(1) 选择平均数评价成绩的平均水平。
圆圆10次成绩为：7,8,7,10,7,9,9,10,6,7，
圆圆成绩的平均数$\bar{x}_圆 = \frac{7+8+7+10+7+9+9+10+6+7}{10} = 8\ \mathrm{m}$，
方方10次成绩为：5,6,6,7,8,9,9,10,10,10，
方方成绩的平均数$\bar{x}_方 = \frac{5+6+6+7+8+9+9+10+10+10}{10} = 8\ \mathrm{m}$。
(2) 方方成绩的平均数为8 m，代入方差公式得：
$S^2_方 = \frac{1}{10}[(5-8)^2 + (6-8)^2 + (6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2 + (10-8)^2]$
$= \frac{1}{10}×(9+4+4+1+0+1+1+4+4+4)$
$= 3.2\ \mathrm{m}^2$。
(3) 示例1：圆圆成绩更好。理由：两人平均成绩相同，圆圆的方差1.8小于方方的方差3.2，圆圆的成绩更稳定。
示例2：方方成绩更好。理由：两人平均成绩相同，方方的成绩整体呈稳步上升趋势，后期成绩优于圆圆，潜力更大。
（两种结论均合理）
解析
【分析】
要评价成绩的平均水平，需选择反映数据集中趋势的统计量，平均数可体现数据的整体平均情况，因此选择平均数。计算时需从折线统计图中准确提取圆圆和方方的10次测试成绩，再利用平均数公式计算。求方差时，先确定方方成绩的平均数，再代入方差公式计算。比较成绩时，若两人平均成绩相同，可通过方差判断成绩稳定性，或结合折线图的趋势分析成绩优劣。
【解析】
(1) 选择平均数评价成绩的平均水平。
从折线图提取成绩：
圆圆10次成绩为：7,8,7,10,7,9,9,10,6,7，
圆圆成绩的平均数：$\bar{x}_圆=\frac{7+8+7+10+7+9+9+10+6+7}{10}=8\ \mathrm{m}$；
方方10次成绩为：5,6,6,7,8,9,9,10,10,10，
方方成绩的平均数：$\bar{x}_方=\frac{5+6+6+7+8+9+9+10+10+10}{10}=8\ \mathrm{m}$。
(2) 方方成绩的平均数为8 m，代入方差公式：
$S^2_方=\frac{1}{10}[(5-8)^2+(6-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(9+4+4+1+0+1+1+4+4+4)=3.2\ \mathrm{m}^2$。
(3) 示例1：圆圆成绩更好。理由：两人平均成绩相同，圆圆的方差1.8小于方方的方差3.2，圆圆的成绩更稳定。
示例2：方方成绩更好。理由：两人平均成绩相同，方方的成绩整体呈稳步上升趋势，后期成绩优于圆圆，潜力更大。
（两种结论均合理）
【答案】
(1) 选择平均数，圆圆平均成绩为8 m，方方平均成绩为8 m；
(2) 方方成绩的方差为$3.2\ \mathrm{m}^2$；
(3) 示例1：圆圆成绩更好，理由：平均成绩相同，圆圆的方差更小，成绩更稳定；示例2：方方成绩更好，理由：平均成绩相同，方方成绩稳步上升，后期表现更优，潜力大。
【知识点】
平均数、方差、折线统计图
【点评】
本题结合折线统计图考查平均数和方差的计算及实际应用，需准确提取数据并理解统计量的意义，是统计模块的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
要评价成绩的平均水平，需选择反映数据集中趋势的统计量，平均数可体现数据的整体平均情况，因此选择平均数。计算时需从折线统计图中准确提取圆圆和方方的10次测试成绩，再利用平均数公式计算。求方差时，先确定方方成绩的平均数，再代入方差公式计算。比较成绩时，若两人平均成绩相同，可通过方差判断成绩稳定性，或结合折线图的趋势分析成绩优劣。
【解析】
(1) 选择平均数评价成绩的平均水平。
从折线图提取成绩：
圆圆10次成绩为：7,8,7,10,7,9,9,10,6,7，
圆圆成绩的平均数：$\bar{x}_圆=\frac{7+8+7+10+7+9+9+10+6+7}{10}=8\ \mathrm{m}$；
方方10次成绩为：5,6,6,7,8,9,9,10,10,10，
方方成绩的平均数：$\bar{x}_方=\frac{5+6+6+7+8+9+9+10+10+10}{10}=8\ \mathrm{m}$。
(2) 方方成绩的平均数为8 m，代入方差公式：
$S^2_方=\frac{1}{10}[(5-8)^2+(6-8)^2+(6-8)^2+(7-8)^2+(8-8)^2+(9-8)^2+(9-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2]$
$=\frac{1}{10}×(9+4+4+1+0+1+1+4+4+4)=3.2\ \mathrm{m}^2$。
(3) 示例1：圆圆成绩更好。理由：两人平均成绩相同，圆圆的方差1.8小于方方的方差3.2，圆圆的成绩更稳定。
示例2：方方成绩更好。理由：两人平均成绩相同，方方的成绩整体呈稳步上升趋势，后期成绩优于圆圆，潜力更大。
（两种结论均合理）
【答案】
(1) 选择平均数，圆圆平均成绩为8 m，方方平均成绩为8 m；
(2) 方方成绩的方差为$3.2\ \mathrm{m}^2$；
(3) 示例1：圆圆成绩更好，理由：平均成绩相同，圆圆的方差更小，成绩更稳定；示例2：方方成绩更好，理由：平均成绩相同，方方成绩稳步上升，后期表现更优，潜力大。
【知识点】
平均数、方差、折线统计图
【点评】
本题结合折线统计图考查平均数和方差的计算及实际应用，需准确提取数据并理解统计量的意义，是统计模块的基础应用题型。
【难度系数】
0.6
