22.(10分)如图,在三角形ABC中,点D,F在边BC上,点E在边AB上,点G在边AC上,连结AD,EF,GD,延长EF与GD交于点H,∠1=∠B,∠2+∠3=180°。
(1)EH与AD平行吗?为什么?
(2)若∠DGC=58°,且∠H=∠4+10°,求∠H的度数。

(1)EH与AD平行。因为$∠1=∠B$，所以$AB// GD$，所以$∠2=∠BAD$，又因为$∠2+∠3=180°$，所以$∠BAD+∠3=180°$，所以$EH// AD$。
(2)由(1)得$∠2=∠BAD$，且$EH// AD$，所以$∠2=∠H$，所以$∠H=∠BAD$，所以$∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°$，又因为$∠H=∠4+10°$，所以$∠4+10°+∠4=58°$，解得$∠4=24°$，所以$∠H=34°$。

【分析】
要解决本题，第一问需通过已知角的关系，结合平行线的判定定理判断EH与AD是否平行：先由∠1=∠B推出AB//GD，得到∠2与∠BAD相等，再结合∠2+∠3=180°，利用同旁内角互补判定EH//AD。第二问利用第一问的平行结论，结合平行线的性质，将∠H与∠BAD、∠4建立联系，再结合AB//GD得到∠BAC=∠DGC=58°，通过列方程求解∠H。
【解析】
(1) EH与AD平行，理由如下：
∵ ∠1=∠B（已知），
∴ AB//GD（同位角相等，两直线平行），
∴ ∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等）。
又
∵ ∠2+∠3=180°（已知），
∴ ∠BAD+∠3=180°（等量代换），
∴ EH//AD（同旁内角互补，两直线平行）。
(2) 由(1)得EH//AD，AB//GD，
∴ ∠2=∠H（两直线平行，同位角相等），∠2=∠BAD（两直线平行，内错角相等），
∴ ∠H=∠BAD（等量代换）。
∵ AB//GD，
∴ ∠BAC=∠DGC=58°（两直线平行，同位角相等），
又
∵ ∠BAC=∠BAD+∠4，
∴ ∠H + ∠4=58°。
已知∠H=∠4+10°，代入得：
∠4+10° + ∠4=58°，
解得∠4=24°，
∴ ∠H=24°+10°=34°。
【答案】
(1) EH与AD平行；(2) ∠H的度数为34°。
【知识点】
平行线的判定、平行线的性质
【点评】
本题综合考查平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用相关定理进行角度转换，理清各角之间的关系，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.6

23.(10分)定义:关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c(abc≠0,a≠c)$中的常数项$c$与未知数$x$的系数$a$互换,得到的新方程叫作原方程的“友好方程”,例如:方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$。
(1)求方程$x+2y=3$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(2)已知关于$x,y$的二元一次方程$ax+by=c$的系数满足$a+b+c=0$,求方程$ax+by=c$与它的“友好方程”组成的方程组的解。
(3)已知关于$x,y$的二元一次方程$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的“友好方程”,求$\frac{m}{n}$的值。

(1)方程$x+2y=3$的“友好方程”为$3x+2y=1$，所以$\begin{cases}x+2y=3,①\\3x+2y=1,②\end{cases}$ ①−②，得$-2x=2$，解得$x=-1$，把$x=-1$代入①中，得$y=2$，所以方程组的解为$\begin{cases}x=-1,\\y=2。\end{cases}$
(2)方程$ax+by=c$的“友好方程”为$cx+by=a$，所以$\begin{cases}ax+by=c,①\\cx+by=a,②\end{cases}$ ①−②得$(a-c)x=c-a$，所以$x=-1$，把$x=-1$代入①，得$-a+by=c$，所以$by=a+c$，因为$a+b+c=0$，即$a+c=-b$，所以$by=-b$，所以$y=-1$，所以$\begin{cases}x=-1,\\y=-1。\end{cases}$
(3)因为关于x，y的二元一次方程$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的“友好方程”，所以$\begin{cases}3m-t=m-1,①\\2+n=m+2t,②\end{cases}$ 由①得$t=2m+1$，代入②中，得$2+n=m+2(2m+1)$，$5m=n$，所以$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$。

【分析】
本题是新定义类的二元一次方程组问题，需先明确“友好方程”的定义：对于二元一次方程$ax+by=c(abc≠0,a≠c)$，其友好方程为$cx+by=a$。解题时，先根据定义写出对应方程组，再结合二元一次方程组的加减消元法、代入消元法求解；第三问需利用友好方程对应系数相等的性质，建立关于$m、n$的方程，进而求出比值。
【解析】
(1) 根据“友好方程”定义，方程$x+2y=3$的友好方程为$3x+2y=1$，组成方程组：
$\begin{cases}x+2y=3&①\\3x+2y=1&②\end{cases}$
①−②得：$-2x=2$，解得$x=-1$，将$x=-1$代入①，得$-1+2y=3$，解得$y=2$，故方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$。
(2) 方程$ax+by=c$的友好方程为$cx+by=a$，组成方程组：
$\begin{cases}ax+by=c&①\\cx+by=a&②\end{cases}$
①−②得：$(a-c)x=c-a$，因$a≠c$，故$a-c≠0$，两边除以$(a-c)$得$x=-1$；
将$x=-1$代入①得：$-a+by=c$，即$by=a+c$；
已知$a+b+c=0$，则$a+c=-b$，代入得$by=-b$，因$abc≠0$，故$b≠0$，两边除以$b$得$y=-1$；
故方程组的解为$\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$。
(3) 已知方程$(3m-t)x+2025y=m+2t$是$(2+n)x+2025y=m-1$的友好方程，根据友好方程定义，对应系数满足：
$\begin{cases}3m-t=m-1&①\\2+n=m+2t&②\end{cases}$
由①得：$t=2m+1$，代入②得：$2+n=m+2(2m+1)$，化简得$2+n=5m+2$，移项得$n=5m$，故$\frac{m}{n}=\frac{1}{5}$。
【答案】
(1)$\begin{cases}x=-1\\y=2\end{cases}$；(2)$\begin{cases}x=-1\\y=-1\end{cases}$；(3)$\frac{1}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的解法，新定义运算
【点评】
本题以新定义“友好方程”为载体，考察二元一次方程组的求解，关键是准确理解新定义，将问题转化为常规方程组求解，第三问需利用对应系数相等建立方程，注重概念理解与代数运算能力，整体难度适中。
【难度系数】
0.6