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24.(12分)某科技小组制作了甲、乙两个机器人,请阅读下列性能测试信息,完成相应任务。
性能信息
1.两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式;2.标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分;3.全速模式速度是标准模式速度的两倍。
测试信息
实验1:测各模式速度。
标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等。
实验2:测五分钟(包括故障时间)所跑路程。
信息一:甲、乙同时出发,同向而行。
信息二:甲全程在标准模式下完成跑步。
信息三:乙先在全速模式下跑步,1分钟后发生故障,用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米。
任务
任务一:求基础模式和标准模式的速度。
任务二:求实验2中机器人乙故障时长a的值。
任务三:求实验2整个过程中第几分钟时,两个机器人之间的距离等于10米。
性能信息
1.两个机器人均有基础、标准、全速三种跑步模式;2.标准模式的速度比基础模式的速度快10米/分;3.全速模式速度是标准模式速度的两倍。
测试信息
实验1:测各模式速度。
标准模式下300米测试路程所花时间与基础模式200米测试路程所花时间相等。
实验2:测五分钟(包括故障时间)所跑路程。
信息一:甲、乙同时出发,同向而行。
信息二:甲全程在标准模式下完成跑步。
信息三:乙先在全速模式下跑步,1分钟后发生故障,用a分钟紧急调试后切换为基础模式继续跑了70米。
任务
任务一:求基础模式和标准模式的速度。
任务二:求实验2中机器人乙故障时长a的值。
任务三:求实验2整个过程中第几分钟时,两个机器人之间的距离等于10米。
答案
任务一:设基础模式的速度为x米/分，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分，根据题意得$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$，解得$x=20$，经检验，$x=20$是所列方程的解，且符合题意，所以$x+10=30$。答:基础模式的速度为20米/分，标准模式的速度为30米/分。
任务二:根据题意得$1+a+\frac{70}{20}=5$，解得$a=0.5$。答:实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5。
任务三:设甲的运动时间为t分钟，当$0＜t≤1$时，$30×2t-30t=10$，解得$t=\frac{1}{3}$；当$1＜t≤1.5$时，$30×2×1-30t=10$，解得$t=\frac{5}{3}$(不符合题意，舍去)；当$1.5＜t≤5$时，$|30×2×1+20(t-1.5)-30t|=10$，即$30-10t=10$或$10t-30=10$，解得$t=2$或$t=4$。答:实验2整个过程中第$\frac{1}{3}$分钟，第2分钟和第4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米。
任务二:根据题意得$1+a+\frac{70}{20}=5$，解得$a=0.5$。答:实验2中机器人乙故障时长a的值为0.5。
任务三:设甲的运动时间为t分钟，当$0＜t≤1$时，$30×2t-30t=10$，解得$t=\frac{1}{3}$；当$1＜t≤1.5$时，$30×2×1-30t=10$，解得$t=\frac{5}{3}$(不符合题意，舍去)；当$1.5＜t≤5$时，$|30×2×1+20(t-1.5)-30t|=10$，即$30-10t=10$或$10t-30=10$，解得$t=2$或$t=4$。答:实验2整个过程中第$\frac{1}{3}$分钟，第2分钟和第4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米。
解析
【分析】
首先，任务一利用“时间相等”的核心条件，设基础模式速度为未知数，结合标准模式与基础模式的速度关系，通过“路程÷速度=时间”列分式方程求解，需注意检验解的合理性；任务二根据乙的总运动时间为5分钟，将乙的运动拆分为全速跑步、故障、基础模式跑步三段，总时间和为5分钟，列一元一次方程求故障时长a；任务三需分段讨论乙的运动阶段，分别计算各阶段内甲、乙的路程，再根据“两机器人距离等于10米”列方程，舍去不符合时间范围的解，得到最终结果。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$米/分，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分。根据实验1中“标准模式跑300米的时间=基础模式跑200米的时间”，列方程：$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$，解得$x=20$。经检验，$x=20$是原方程的解且符合题意，因此标准模式速度为$20+10=30$米/分。
任务二：乙的总时间为5分钟，分为三段：全速跑1分钟、故障$a$分钟、基础模式跑70米的时间为$\frac{70}{20}$分钟，总时间和为5，列方程：$1+a+\frac{70}{20}=5$，解得$a=0.5$。
任务三：设甲的运动时间为$t$分钟，分三段讨论：
①当$0＜t≤1$时，乙在全速模式，速度为$30×2=60$米/分，甲速度30米/分，距离为$60t - 30t=10$，解得$t=\frac{1}{3}$，符合范围；
②当$1＜t≤1.5$时，乙在故障阶段，路程不变（$60×1=60$米），甲路程$30t$，距离为$60 - 30t=10$，解得$t=\frac{5}{3}$，超出1.5的范围，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时，乙在基础模式，速度20米/分，乙总路程为$60 + 20(t-1.5)$，甲路程$30t$，距离为$|60 + 20(t-1.5) - 30t|=10$，化简得$|30 -10t|=10$，即$30-10t=10$或$10t-30=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合范围。
【答案】
任务一：基础模式的速度为20米/分，标准模式的速度为30米/分；任务二：$a$的值为0.5；任务三：第$\frac{1}{3}$分钟、第2分钟和第4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题结合实际测试场景，将行程问题与分段运动结合，任务一的分式方程需注意检验解的合理性，任务三的分段讨论是难点，需准确划分时间区间，避免漏解或错解，整体考查学生对行程问题的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
首先，任务一利用“时间相等”的核心条件，设基础模式速度为未知数，结合标准模式与基础模式的速度关系，通过“路程÷速度=时间”列分式方程求解，需注意检验解的合理性；任务二根据乙的总运动时间为5分钟，将乙的运动拆分为全速跑步、故障、基础模式跑步三段，总时间和为5分钟，列一元一次方程求故障时长a；任务三需分段讨论乙的运动阶段，分别计算各阶段内甲、乙的路程，再根据“两机器人距离等于10米”列方程，舍去不符合时间范围的解，得到最终结果。
【解析】
任务一：设基础模式的速度为$x$米/分，则标准模式的速度为$(x+10)$米/分。根据实验1中“标准模式跑300米的时间=基础模式跑200米的时间”，列方程：$\frac{300}{x+10}=\frac{200}{x}$，解得$x=20$。经检验，$x=20$是原方程的解且符合题意，因此标准模式速度为$20+10=30$米/分。
任务二：乙的总时间为5分钟，分为三段：全速跑1分钟、故障$a$分钟、基础模式跑70米的时间为$\frac{70}{20}$分钟，总时间和为5，列方程：$1+a+\frac{70}{20}=5$，解得$a=0.5$。
任务三：设甲的运动时间为$t$分钟，分三段讨论：
①当$0＜t≤1$时，乙在全速模式，速度为$30×2=60$米/分，甲速度30米/分，距离为$60t - 30t=10$，解得$t=\frac{1}{3}$，符合范围；
②当$1＜t≤1.5$时，乙在故障阶段，路程不变（$60×1=60$米），甲路程$30t$，距离为$60 - 30t=10$，解得$t=\frac{5}{3}$，超出1.5的范围，舍去；
③当$1.5＜t≤5$时，乙在基础模式，速度20米/分，乙总路程为$60 + 20(t-1.5)$，甲路程$30t$，距离为$|60 + 20(t-1.5) - 30t|=10$，化简得$|30 -10t|=10$，即$30-10t=10$或$10t-30=10$，解得$t=2$或$t=4$，均符合范围。
【答案】
任务一：基础模式的速度为20米/分，标准模式的速度为30米/分；任务二：$a$的值为0.5；任务三：第$\frac{1}{3}$分钟、第2分钟和第4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米。
【知识点】
分式方程的应用、一元一次方程的应用、行程问题
【点评】
本题结合实际测试场景，将行程问题与分段运动结合，任务一的分式方程需注意检验解的合理性，任务三的分段讨论是难点，需准确划分时间区间，避免漏解或错解，整体考查学生对行程问题的综合分析能力。
【难度系数】
0.5
