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8.(真题·台州三门)一个长方体容器的底面积为$30\mathrm{cm}^2$，浸没2个小球和3个大球时，水面正好到容器口，现在先后取出2个小球和1个大球，水面变化情况如下图，小球的体积是大球体积的（
$\frac{1}{4}$
）。答案
$\frac{1}{4}$
解析:一个小球的体积是$30×2÷2=30(\mathrm{cm}^3)$,一个大球的体积是$30×(6-2)=120(\mathrm{cm}^3)$,$30÷120=\frac{1}{4}$。
解析:一个小球的体积是$30×2÷2=30(\mathrm{cm}^3)$,一个大球的体积是$30×(6-2)=120(\mathrm{cm}^3)$,$30÷120=\frac{1}{4}$。
解析
【分析】
本题利用“取出球后水面下降的体积等于取出球的总体积”这一关系解题。先观察水面变化：初始浸没2个小球和3个大球时水面到容器口；取出2个小球后，水面距离容器口2cm，说明2个小球的体积等于底面积为30cm²、高2cm的长方体体积；再取出1个大球后，水面距离容器口6cm，说明1个大球的体积等于底面积为30cm²、高(6-2)=4cm的长方体体积，最后计算小球体积与大球体积的比值即可。
【解析】
1. 计算1个小球的体积：取出2个小球后，水面下降2cm，根据长方体体积公式，2个小球的总体积为 $30×2 = 60(\mathrm{cm}^3)$，则1个小球的体积为 $60÷2 = 30(\mathrm{cm}^3)$。
2. 计算1个大球的体积：取出1个大球后，水面从距离容器口2cm下降到6cm，下降高度为 $6 - 2 = 4(\mathrm{cm})$，所以1个大球的体积为 $30×4 = 120(\mathrm{cm}^3)$。
3. 计算比值：小球体积是大球体积的 $30÷120 = \frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
长方体体积、排水法求体积
【点评】
本题通过水面变化与球体积的对应关系，结合长方体体积公式求解，核心是理清不同球取出后对应的水面下降高度，难度适中，需掌握体积等积变形的思路。
【难度系数】
0.3
本题利用“取出球后水面下降的体积等于取出球的总体积”这一关系解题。先观察水面变化：初始浸没2个小球和3个大球时水面到容器口；取出2个小球后，水面距离容器口2cm，说明2个小球的体积等于底面积为30cm²、高2cm的长方体体积；再取出1个大球后，水面距离容器口6cm，说明1个大球的体积等于底面积为30cm²、高(6-2)=4cm的长方体体积，最后计算小球体积与大球体积的比值即可。
【解析】
1. 计算1个小球的体积：取出2个小球后，水面下降2cm，根据长方体体积公式，2个小球的总体积为 $30×2 = 60(\mathrm{cm}^3)$，则1个小球的体积为 $60÷2 = 30(\mathrm{cm}^3)$。
2. 计算1个大球的体积：取出1个大球后，水面从距离容器口2cm下降到6cm，下降高度为 $6 - 2 = 4(\mathrm{cm})$，所以1个大球的体积为 $30×4 = 120(\mathrm{cm}^3)$。
3. 计算比值：小球体积是大球体积的 $30÷120 = \frac{1}{4}$。
【答案】
$\frac{1}{4}$
【知识点】
长方体体积、排水法求体积
【点评】
本题通过水面变化与球体积的对应关系，结合长方体体积公式求解，核心是理清不同球取出后对应的水面下降高度，难度适中，需掌握体积等积变形的思路。
【难度系数】
0.3
9.(真题·湖州吴兴)一杯纯果汁,旺旺喝了$\frac{2}{5}$后觉得太甜,就兑满了水;又喝了半杯后,再次加水直至加满;最后一饮而尽。旺旺一共喝了(
1
)杯纯果汁,($\frac{9}{10}$
)杯水。答案
1. 1 2. $\frac{9}{10}$
解析:因为最后一饮而尽,所以一共喝了一杯纯果汁,加了$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{9}{10}$(杯)水,所以就喝了$\frac{9}{10}$杯水。
解析:因为最后一饮而尽,所以一共喝了一杯纯果汁,加了$\frac{2}{5}+\frac{1}{2}=\frac{9}{10}$(杯)水,所以就喝了$\frac{9}{10}$杯水。
解析
【分析】
要解决这个问题，需分别明确纯果汁和水的饮用总量：①纯果汁：初始只有1杯纯果汁，过程中未额外添加纯果汁，最终全部喝完，因此喝的纯果汁总量就是初始的1杯；②水：仅在饮用过程中添加了两次水，添加的水最终全部喝完，所以喝的水总量等于两次添加水的和。
【解析】
1. 计算纯果汁饮用总量：
初始纯果汁为1杯，全程未再添加纯果汁，最后一饮而尽，因此喝的纯果汁为1杯。
2. 计算水的饮用总量：
第一次兑入的水量为$\frac{2}{5}$杯，第二次兑入的水量为$\frac{1}{2}$杯，总共兑入的水量为$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}$杯，且兑入的水最终全部喝完，因此喝的水为$\frac{9}{10}$杯。
【答案】
1；$\frac{9}{10}$
【知识点】
分数加减法应用，分数的意义
【点评】
本题是分数应用题，核心是理清“纯果汁总量不变，喝的水等于添加的水总量”，避免错误拆分半杯混合液中的水量，关键在于明确添加水的总量与饮用的水量相等。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分别明确纯果汁和水的饮用总量：①纯果汁：初始只有1杯纯果汁，过程中未额外添加纯果汁，最终全部喝完，因此喝的纯果汁总量就是初始的1杯；②水：仅在饮用过程中添加了两次水，添加的水最终全部喝完，所以喝的水总量等于两次添加水的和。
【解析】
1. 计算纯果汁饮用总量：
初始纯果汁为1杯，全程未再添加纯果汁，最后一饮而尽，因此喝的纯果汁为1杯。
2. 计算水的饮用总量：
第一次兑入的水量为$\frac{2}{5}$杯，第二次兑入的水量为$\frac{1}{2}$杯，总共兑入的水量为$\frac{2}{5} + \frac{1}{2} = \frac{4}{10} + \frac{5}{10} = \frac{9}{10}$杯，且兑入的水最终全部喝完，因此喝的水为$\frac{9}{10}$杯。
【答案】
1；$\frac{9}{10}$
【知识点】
分数加减法应用，分数的意义
【点评】
本题是分数应用题，核心是理清“纯果汁总量不变，喝的水等于添加的水总量”，避免错误拆分半杯混合液中的水量，关键在于明确添加水的总量与饮用的水量相等。
【难度系数】
0.6
1.(真题·温州洞头、龙湾)右图是一个长方体物品的长、宽、高,这个物品有可能是(
A.铅笔盒
B.信封
C.书柜
D.数学书
D
)。A.铅笔盒
B.信封
C.书柜
D.数学书
答案
D
解析
【分析】首先观察题目给出的长方体的长为26cm、宽为18cm、高为1cm，结合生活中常见物品的尺寸，逐一分析选项，判断哪个物品的尺寸与给出的长宽高相符。
【解析】已知长方体的长26cm、宽18cm、高1cm，逐一分析选项：
1. 选项A铅笔盒：厚度通常在2-3cm左右，远大于1cm，不符合给出的尺寸；
2. 选项B信封：信封厚度一般小于1cm，且长宽通常略小于26cm、18cm，不符合；
3. 选项C书柜：属于大型家具，长宽高都远大于题目给出的数值，不符合；
4. 选项D数学书：常见数学书的长约26cm、宽约18cm、厚度约1cm，与题目给出的尺寸完全相符。
【答案】D
【知识点】长方体的认识；长度的估测
【点评】本题结合生活实际，考查对常见物体尺寸的感知，需要将数学知识与生活常识结合，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】已知长方体的长26cm、宽18cm、高1cm，逐一分析选项：
1. 选项A铅笔盒：厚度通常在2-3cm左右，远大于1cm，不符合给出的尺寸；
2. 选项B信封：信封厚度一般小于1cm，且长宽通常略小于26cm、18cm，不符合；
3. 选项C书柜：属于大型家具，长宽高都远大于题目给出的数值，不符合；
4. 选项D数学书：常见数学书的长约26cm、宽约18cm、厚度约1cm，与题目给出的尺寸完全相符。
【答案】D
【知识点】长方体的认识；长度的估测
【点评】本题结合生活实际，考查对常见物体尺寸的感知，需要将数学知识与生活常识结合，难度适中。
【难度系数】0.6
2.(真题·温州洞头、龙湾)把一个长8cm、宽6cm、高4cm的长方体沿虚线切成两个立体图形,下图中(
D
)的切法增加的表面积最多。答案
D
解析
【分析】
要判断哪种切法增加的表面积最多，需明确：把长方体切成两个立体图形时，增加的表面积是2个切面的面积，因此只需比较各切法的单个切面面积，切面面积越大，增加的表面积越多。先计算长方体三个不同面的面积，再分析各选项的切面面积即可。
【解析】
1. 计算长方体三个面的面积：
长×宽：$8×6=48(cm^2)$
长×高：$8×4=32(cm^2)$
宽×高：$6×4=24(cm^2)$
2. 分析各选项的切面面积：
选项A：切法平行于长×宽的面，切面面积为$48cm^2$；
选项B：切法平行于宽×高的面，切面面积为$24cm^2$；
选项C：切法平行于宽×高的面，切面面积为$24cm^2$；
选项D：切法为斜切，切面是长方形，其长大于长方体的长（8cm），宽为长方体的宽（6cm），因此切面面积大于$48cm^2$，是四个切法中最大的。
3. 由于增加的表面积是2个切面的面积，切面面积越大，增加的表面积越多，因此D的切法增加的表面积最多。
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积、立体图形切拼
【点评】
本题考查长方体切拼后表面积的变化，核心是理解切分后增加的表面积为两个切面的面积，需准确判断不同切法的切面大小，斜切的切面面积大于平行于长方体面的切法，是解题的关键。
【难度系数】
0.4
要判断哪种切法增加的表面积最多，需明确：把长方体切成两个立体图形时，增加的表面积是2个切面的面积，因此只需比较各切法的单个切面面积，切面面积越大，增加的表面积越多。先计算长方体三个不同面的面积，再分析各选项的切面面积即可。
【解析】
1. 计算长方体三个面的面积：
长×宽：$8×6=48(cm^2)$
长×高：$8×4=32(cm^2)$
宽×高：$6×4=24(cm^2)$
2. 分析各选项的切面面积：
选项A：切法平行于长×宽的面，切面面积为$48cm^2$；
选项B：切法平行于宽×高的面，切面面积为$24cm^2$；
选项C：切法平行于宽×高的面，切面面积为$24cm^2$；
选项D：切法为斜切，切面是长方形，其长大于长方体的长（8cm），宽为长方体的宽（6cm），因此切面面积大于$48cm^2$，是四个切法中最大的。
3. 由于增加的表面积是2个切面的面积，切面面积越大，增加的表面积越多，因此D的切法增加的表面积最多。
【答案】
D
【知识点】
长方体表面积、立体图形切拼
【点评】
本题考查长方体切拼后表面积的变化，核心是理解切分后增加的表面积为两个切面的面积，需准确判断不同切法的切面大小，斜切的切面面积大于平行于长方体面的切法，是解题的关键。
【难度系数】
0.4
3.(真题·台州路桥)妈妈买来一块蛋糕,哥哥吃了这块蛋糕的$\frac{1}{4}$,妹妹吃了这块蛋糕的$\frac{1}{5}$。如
图,选择分数单位(
A.$\frac{1}{20}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{4}$
图,选择分数单位(
A
),能够正好测出共吃了几个这样的分数单位。A.$\frac{1}{20}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{5}$
D.$\frac{1}{4}$
答案
A
解析
【分析】
要解决这个问题，需先明确：要计算哥哥和妹妹一共吃的蛋糕占比，需要将两个分数通分，找到能同时表示这两个分数的分数单位，这样就能确定共吃了几个这样的单位。步骤为：先求4和5的最小公倍数，确定合适的分数单位，再验证两个分数是否能转化为以该单位为分母的分数，从而选出正确选项。
【解析】
1. 哥哥吃了$\frac{1}{4}$，妹妹吃了$\frac{1}{5}$，要计算两人共吃的量，需对两个分数通分。4和5的最小公倍数是20，因此合适的分数单位是$\frac{1}{20}$。
2. 验证：$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$，$\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$，两者相加得$\frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$，正好是9个$\frac{1}{20}$，符合“正好测出共吃了几个这样的分数单位”的要求。
3. 排除其他选项：B选项$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{5}$无法转化为以$\frac{1}{9}$为单位的整数个；C选项$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$不能用$\frac{1}{5}$的整数个表示；D选项$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$也无法用$\frac{1}{4}$的整数个表示，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
分数单位、分数通分
【点评】
本题考查分数单位的实际应用，核心是通过通分找到两个分数的公分母，确定合适的分数单位，解题关键是理解分数单位的定义和通分方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先明确：要计算哥哥和妹妹一共吃的蛋糕占比，需要将两个分数通分，找到能同时表示这两个分数的分数单位，这样就能确定共吃了几个这样的单位。步骤为：先求4和5的最小公倍数，确定合适的分数单位，再验证两个分数是否能转化为以该单位为分母的分数，从而选出正确选项。
【解析】
1. 哥哥吃了$\frac{1}{4}$，妹妹吃了$\frac{1}{5}$，要计算两人共吃的量，需对两个分数通分。4和5的最小公倍数是20，因此合适的分数单位是$\frac{1}{20}$。
2. 验证：$\frac{1}{4} = \frac{5}{20}$，$\frac{1}{5} = \frac{4}{20}$，两者相加得$\frac{5}{20} + \frac{4}{20} = \frac{9}{20}$，正好是9个$\frac{1}{20}$，符合“正好测出共吃了几个这样的分数单位”的要求。
3. 排除其他选项：B选项$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{4}$和$\frac{1}{5}$无法转化为以$\frac{1}{9}$为单位的整数个；C选项$\frac{1}{5}$，$\frac{1}{4}$不能用$\frac{1}{5}$的整数个表示；D选项$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{5}$也无法用$\frac{1}{4}$的整数个表示，因此选A。
【答案】
A
【知识点】
分数单位、分数通分
【点评】
本题考查分数单位的实际应用，核心是通过通分找到两个分数的公分母，确定合适的分数单位，解题关键是理解分数单位的定义和通分方法，属于基础题型。
【难度系数】
0.5
