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7. 一个装有进水管和出水管的容器，开始时，先打开进水管注水，3 min时，再打开出水管排水，8 min时，关闭进水管，直至容器中的水全部排完.在整个过程中，该容器中的水量y(L)与时间x(min)之间的函数关系如图所示，则图中a的值为
$\frac{29}{3}$
.答案
7. $\frac{29}{3}$ 解析:由题意,得进水管的进水速度为 $\frac{30}{3}=10(\mathrm{L/min})$. 同时打开进水管和出水管,容器中的水量每分钟减少 $\frac{30-20}{8-3}=2(\mathrm{L})$,所以出水管的排水速度为 $10+2=12(\mathrm{L/min})$. 所以关闭进水管后排空需要 $\frac{20}{12}=\frac{5}{3}(\mathrm{min})$. 所以 $a=8+\frac{5}{3}=\frac{29}{3}$.
8. (2025·江苏宿迁)甲、乙两人从同一地点M出发沿同一路线匀速步行前往N处参加活动.甲比乙早出发6 min,两人途中均未休息,先到达N处的人在原地休息等待,直到另一人到达N处.两人之间的路程 y(m)与甲行走的时间 t(min)的函数图象如图所示.
(1) 乙步行的速度为
(2) 当18≤t≤50时,求 y 关于 t 的函数表达式;
(3) 甲出发多长时间时,两人之间的路程为450 m?
(1) 乙步行的速度为
90
m/min,MN之间的路程为3 960
m;(2) 当18≤t≤50时,求 y 关于 t 的函数表达式;
(3) 甲出发多长时间时,两人之间的路程为450 m?
答案
8. (1) 90 3 960 解析:由题图,得甲步行的速度为 $360÷6=60(\mathrm{m/min})$. 又点 B 表示乙追上甲,所以乙步行的速度为 $360÷(18-6)+60=90(\mathrm{m/min})$. 又点 C 表示乙到达 N 处,点 D 表示甲到达 N 处,所以 MN 之间的路程为 $90×(50-6)=3\ 960(\mathrm{m})$.
(2) 由(1),得 MN 之间的路程为 3 960 m,所以点 C 的纵坐标为 $3\ 960-60×50=960$,即 $C(50,960)$. 设当 $18≤ t≤50$ 时,y 关于 t 的函数表达式为 $y=kt+b$. 把 $B(18,0),C(50,960)$ 分别代入,得 $\begin{cases}18k+b=0,\\50k+b=960,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=30,\\b=-540.\end{cases}$ 所以 y 关于 t 的函数表达式为 $y=30t-540(18≤ t≤50)$.
(3) 由题图,得甲、乙两人之间的路程为 450 m 时,在 BC 段或 CD 段. 由(1)(2),得线段 BC 所在直线的函数表达式为 $y=30t-540$,$C(50,960)$,MN 之间的路程为 3 960 m,甲步行的速度为 60 m/min,所以甲到达 N 处所用时间为 $3\ 960÷60=66$ (min),即 $D(66,0)$. 设线段 CD 所在直线的函数表达式为 $y=mt+n$. 把 $C(50,960),D(66,0)$ 分别代入,得 $\begin{cases}50k+b=960,\\66k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-60,\\b=3\ 960.\end{cases}$ 所以线段 CD 所在直线的函数表达式为 $y=-60t+3\ 960$. 当 $18≤ t≤50$ 时,令 $y=450$,得 $450=30t-540$,解得 $t=33$;当 $50＜t≤66$ 时,令 $y=450$,得 $450=-60t+3\ 960$,解得 $t=58.5$. 综上,当甲出发 33 min 或 58.5 min 时,两人之间的路程为 450 m.
(2) 由(1),得 MN 之间的路程为 3 960 m,所以点 C 的纵坐标为 $3\ 960-60×50=960$,即 $C(50,960)$. 设当 $18≤ t≤50$ 时,y 关于 t 的函数表达式为 $y=kt+b$. 把 $B(18,0),C(50,960)$ 分别代入,得 $\begin{cases}18k+b=0,\\50k+b=960,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=30,\\b=-540.\end{cases}$ 所以 y 关于 t 的函数表达式为 $y=30t-540(18≤ t≤50)$.
(3) 由题图,得甲、乙两人之间的路程为 450 m 时,在 BC 段或 CD 段. 由(1)(2),得线段 BC 所在直线的函数表达式为 $y=30t-540$,$C(50,960)$,MN 之间的路程为 3 960 m,甲步行的速度为 60 m/min,所以甲到达 N 处所用时间为 $3\ 960÷60=66$ (min),即 $D(66,0)$. 设线段 CD 所在直线的函数表达式为 $y=mt+n$. 把 $C(50,960),D(66,0)$ 分别代入,得 $\begin{cases}50k+b=960,\\66k+b=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-60,\\b=3\ 960.\end{cases}$ 所以线段 CD 所在直线的函数表达式为 $y=-60t+3\ 960$. 当 $18≤ t≤50$ 时,令 $y=450$,得 $450=30t-540$,解得 $t=33$;当 $50＜t≤66$ 时,令 $y=450$,得 $450=-60t+3\ 960$,解得 $t=58.5$. 综上,当甲出发 33 min 或 58.5 min 时,两人之间的路程为 450 m.
9. 一条笔直的路上依次有M,P,N三地，其中M,N两地相距1 000 m.甲、乙两机器人分别从M,N两地同时出发，目的地分别为N,M，匀速而行.图中OA,BC分别表示甲、乙两机器人离M地的距离 y(m)关于行走时间 x(min)的函数关系.
（1）求OA所在直线对应的函数表达式；
（2）出发后多长时间甲机器人与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1 min乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离.
（1）求OA所在直线对应的函数表达式；
（2）出发后多长时间甲机器人与乙机器人相遇？
（3）甲机器人到P地后，再经过1 min乙机器人也到P地，求P,M两地间的距离.
答案
9. (1) 因为 $A(5,1\ 000)$,所以易得 OA 所在直线对应的函数表达式为 $y=200x$.
(2) 设线段 BC 所在直线对应的函数表达式为 $y=kx+b$. 把 $B(0,1\ 000),C(10,0)$ 分别代入,得 $\begin{cases}1\ 000=0+b,\\0=10k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-100,\\b=1\ 000.\end{cases}$ 所以线段 BC 所在直线对应的函数表达式为 $y=-100x+1\ 000$. 由(1),得 OA 所在直线对应的函数表达式为 $y=200x$. 当甲、乙两机器人相遇时,两函数的纵坐标相等,所以 $200x=-100x+1\ 000$,解得 $x=\frac{10}{3}$. 所以出发后 $\frac{10}{3}\ \mathrm{min}$ 甲机器人与乙机器人相遇.
(3) 设甲机器人行走 $t\ \mathrm{min}$ 到 P 地,则 P 地与 M 地的距离为 $200t\ \mathrm{m}$. 又再经过 1 min 乙机器人到 P 地,所以乙机器人行走 $(t+1)\mathrm{min}$ 到 P 地. 所以 P 地与 M 地的距离为 $[-100(t+1)+1\ 000]\mathrm{m}$. 由题意,得 $200t=-100(t+1)+1\ 000$,解得 $t=3$. 则 $200t=600$. 所以 P,M 两地间的距离为 600 m.
(2) 设线段 BC 所在直线对应的函数表达式为 $y=kx+b$. 把 $B(0,1\ 000),C(10,0)$ 分别代入,得 $\begin{cases}1\ 000=0+b,\\0=10k+b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=-100,\\b=1\ 000.\end{cases}$ 所以线段 BC 所在直线对应的函数表达式为 $y=-100x+1\ 000$. 由(1),得 OA 所在直线对应的函数表达式为 $y=200x$. 当甲、乙两机器人相遇时,两函数的纵坐标相等,所以 $200x=-100x+1\ 000$,解得 $x=\frac{10}{3}$. 所以出发后 $\frac{10}{3}\ \mathrm{min}$ 甲机器人与乙机器人相遇.
(3) 设甲机器人行走 $t\ \mathrm{min}$ 到 P 地,则 P 地与 M 地的距离为 $200t\ \mathrm{m}$. 又再经过 1 min 乙机器人到 P 地,所以乙机器人行走 $(t+1)\mathrm{min}$ 到 P 地. 所以 P 地与 M 地的距离为 $[-100(t+1)+1\ 000]\mathrm{m}$. 由题意,得 $200t=-100(t+1)+1\ 000$,解得 $t=3$. 则 $200t=600$. 所以 P,M 两地间的距离为 600 m.
