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1. (2025·遵化一模)如图,用同样大小的三角板比较
$∠ A$ 和 $∠ B$ 的大小,下列判断正确的是(
A.$∠ A＞∠ B$
B.$∠ A＜∠ B$
C.$∠ A=∠ B$
D.没有量角器,无法确定
$∠ A$ 和 $∠ B$ 的大小,下列判断正确的是(
B
).A.$∠ A＞∠ B$
B.$∠ A＜∠ B$
C.$∠ A=∠ B$
D.没有量角器,无法确定
答案
1.B
解析
【分析】要比较∠A和∠B的大小，可结合图形特征分析：两个角均由相同三角板的锐角减去一个小角得到，∠A对应的被减去的小角更大，因此∠A的度数更小。
【解析】观察图形，∠A和∠B都是用同样大小的三角板的锐角减去一个小角形成的。∠A对应的被减去的小角比∠B对应的被减去的小角大，所以∠A = 三角板锐角 - 较大的小角，∠B = 三角板锐角 - 较小的小角，由此可得∠A＜∠B。
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【点评】本题通过三角板直观判断角的大小，无需量角器，考查对角的大小的直观认知，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】观察图形，∠A和∠B都是用同样大小的三角板的锐角减去一个小角形成的。∠A对应的被减去的小角比∠B对应的被减去的小角大，所以∠A = 三角板锐角 - 较大的小角，∠B = 三角板锐角 - 较小的小角，由此可得∠A＜∠B。
【答案】B
【知识点】角的大小比较
【点评】本题通过三角板直观判断角的大小，无需量角器，考查对角的大小的直观认知，难度较低。
【难度系数】0.8
2. (2025·河北保定安新期末)如图,将一副直角三角板的顶点重合后放置,则$∠ AOC$与$∠ DOB$的大小关系是(
A.$∠ AOC＞∠ DOB$
B.$∠ AOC=∠ DOB$
C.$∠ AOC＜∠ DOB$
D.不能确定
B
).A.$∠ AOC＞∠ DOB$
B.$∠ AOC=∠ DOB$
C.$∠ AOC＜∠ DOB$
D.不能确定
答案
2.B
解析
【分析】要判断∠AOC与∠DOB的大小关系，首先观察图形可知，两个直角三角板的直角顶点重合，因此∠AOB和∠COD均为直角，度数都等于90°。接下来利用角的和差关系，将∠AOC和∠DOB用公共角∠COB表示，即可推导两者的大小关系。
【解析】由题意，直角三角板的直角为90°，所以∠AOB = ∠COD = 90°。
根据角的和差关系：
∠AOC = ∠AOB - ∠COB = 90° - ∠COB，
∠DOB = ∠COD - ∠COB = 90° - ∠COB，
因此∠AOC = ∠DOB。
【答案】B
【知识点】角的和差
【点评】本题结合直角三角板的性质，考查角的和差运算，通过公共角推导两个角相等，属于基础几何题，难度较低，适合巩固角的和差相关知识。
【难度系数】0.7
【解析】由题意，直角三角板的直角为90°，所以∠AOB = ∠COD = 90°。
根据角的和差关系：
∠AOC = ∠AOB - ∠COB = 90° - ∠COB，
∠DOB = ∠COD - ∠COB = 90° - ∠COB，
因此∠AOC = ∠DOB。
【答案】B
【知识点】角的和差
【点评】本题结合直角三角板的性质，考查角的和差运算，通过公共角推导两个角相等，属于基础几何题，难度较低，适合巩固角的和差相关知识。
【难度系数】0.7
3. (2025·淮安期末) 如图所示的正方形网格中，点 $A,B,C$ 是格点，则 $∠ B$
＞
$2∠ C$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)答案
3.＞ 解析：连接BD,如图.
由题意可得,$∠C=∠DBE=∠BDE=45°$,
∵在△DBC中,$∠DBC=180°−∠C−∠BDE=90°$,
∴$∠ABC=∠ABD+∠DBC＞2∠C=90°$,
∴$∠ABC＞2∠C$.
解析
【分析】要比较∠ABC与2∠C的大小，可利用网格格点的特性，通过构造辅助线结合勾股定理、等腰直角三角形的性质分析角的关系。核心思路：连接AC中点与点B的线段BD，计算相关线段长度，推导∠C的度数及2∠C的度数，再拆分∠ABC的组成部分，比较两者大小。
【解析】设每个小正方形边长为1，连接AC的中点D与点B。
由网格格点可得：AD=DC=2，BD=2，AB=2√2，BC=2√2，因此△ABD和△BCD均为等腰直角三角形，故∠C=45°，则2∠C=90°；
在△DBC中，∠DBC=90°，且∠ABD=45°，因此∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+90°=135°，显然135°＞90°，即∠ABC＞2∠C。
【答案】＞
【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、角的大小比较
【点评】本题通过构造辅助线，将角的大小比较转化为度数计算，考查学生对网格特性的运用及几何推理能力，需掌握等腰直角三角形的角度性质。
【难度系数】0.5
【解析】设每个小正方形边长为1，连接AC的中点D与点B。
由网格格点可得：AD=DC=2，BD=2，AB=2√2，BC=2√2，因此△ABD和△BCD均为等腰直角三角形，故∠C=45°，则2∠C=90°；
在△DBC中，∠DBC=90°，且∠ABD=45°，因此∠ABC=∠ABD+∠DBC=45°+90°=135°，显然135°＞90°，即∠ABC＞2∠C。
【答案】＞
【知识点】勾股定理、等腰直角三角形、角的大小比较
【点评】本题通过构造辅助线，将角的大小比较转化为度数计算，考查学生对网格特性的运用及几何推理能力，需掌握等腰直角三角形的角度性质。
【难度系数】0.5
4. 教材 P168 例 4·变式 如图，$∠ ABC=110°$，$∠ DBE=50°$，$∠ CBD=∠ ABE$，$BF$ 平分$∠ ABE$.
(1)求$∠ ABF$的度数.
(2)$∠ CBE=∠ ABD$ 吗？为什么？
(1)求$∠ ABF$的度数.
(2)$∠ CBE=∠ ABD$ 吗？为什么？
答案
4.(1)
∵$∠ABC=110°,∠DBE=50°$,
∴$∠CBD+∠ABE=110°−50°=60°$.
又$∠CBD=∠ABE$,
∴$∠CBD=∠ABE=\frac{1}{2}×60°=30°$.
∵$BF$ 平分$∠ABE$,
∴$∠ABF=∠EBF=\frac{1}{2}∠ABE=\frac{1}{2}×30°=15°$.
由角平分线的性质可得
(2)$∠CBE=∠ABD$.理由如下：
∵$∠CBD=∠ABE$,
∴$∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE$,
即$∠CBE=∠ABD$.
∵$∠ABC=110°,∠DBE=50°$,
∴$∠CBD+∠ABE=110°−50°=60°$.
又$∠CBD=∠ABE$,
∴$∠CBD=∠ABE=\frac{1}{2}×60°=30°$.
∵$BF$ 平分$∠ABE$,
∴$∠ABF=∠EBF=\frac{1}{2}∠ABE=\frac{1}{2}×30°=15°$.
由角平分线的性质可得
(2)$∠CBE=∠ABD$.理由如下：
∵$∠CBD=∠ABE$,
∴$∠CBD+∠DBE=∠ABE+∠DBE$,
即$∠CBE=∠ABD$.
解析
【分析】
要解决这道题，需先梳理图形中角的组成关系：∠ABC由∠CBD、∠DBE、∠ABE构成，结合已知的∠ABC和∠DBE的度数，以及∠CBD=∠ABE的条件，可先求出∠ABE的度数；再根据角平分线的性质计算∠ABF。对于第二问，利用等式的性质，在相等的两个角上同时加上同一个角，即可判断∠CBE与∠ABD的关系。
【解析】
(1) 已知∠ABC=110°，∠DBE=50°，
因为∠ABC = ∠CBD + ∠DBE + ∠ABE，
所以∠CBD + ∠ABE = ∠ABC - ∠DBE = 110° - 50° = 60°。
又因为∠CBD = ∠ABE，
所以∠ABE = 60° ÷ 2 = 30°。
由于BF平分∠ABE，根据角平分线的定义，
∠ABF = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$ × 30° = 15°。
(2) ∠CBE = ∠ABD，理由如下：
已知∠CBD = ∠ABE，
根据等式的性质，在等式两边同时加上∠DBE，
可得∠CBD + ∠DBE = ∠ABE + ∠DBE，
而∠CBD + ∠DBE = ∠CBE，∠ABE + ∠DBE = ∠ABD，
因此∠CBE = ∠ABD。
【答案】
(1) ∠ABF的度数为15°；(2) ∠CBE=∠ABD，理由见解析。
【知识点】
角的和差、角平分线、等式的性质
【点评】
本题是几何入门阶段的基础题型，考查角的和差关系、角平分线的定义及等式性质的应用，侧重基础运算能力，难度较低，适合巩固角的相关概念。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，需先梳理图形中角的组成关系：∠ABC由∠CBD、∠DBE、∠ABE构成，结合已知的∠ABC和∠DBE的度数，以及∠CBD=∠ABE的条件，可先求出∠ABE的度数；再根据角平分线的性质计算∠ABF。对于第二问，利用等式的性质，在相等的两个角上同时加上同一个角，即可判断∠CBE与∠ABD的关系。
【解析】
(1) 已知∠ABC=110°，∠DBE=50°，
因为∠ABC = ∠CBD + ∠DBE + ∠ABE，
所以∠CBD + ∠ABE = ∠ABC - ∠DBE = 110° - 50° = 60°。
又因为∠CBD = ∠ABE，
所以∠ABE = 60° ÷ 2 = 30°。
由于BF平分∠ABE，根据角平分线的定义，
∠ABF = $\frac{1}{2}$∠ABE = $\frac{1}{2}$ × 30° = 15°。
(2) ∠CBE = ∠ABD，理由如下：
已知∠CBD = ∠ABE，
根据等式的性质，在等式两边同时加上∠DBE，
可得∠CBD + ∠DBE = ∠ABE + ∠DBE，
而∠CBD + ∠DBE = ∠CBE，∠ABE + ∠DBE = ∠ABD，
因此∠CBE = ∠ABD。
【答案】
(1) ∠ABF的度数为15°；(2) ∠CBE=∠ABD，理由见解析。
【知识点】
角的和差、角平分线、等式的性质
【点评】
本题是几何入门阶段的基础题型，考查角的和差关系、角平分线的定义及等式性质的应用，侧重基础运算能力，难度较低，适合巩固角的相关概念。
【难度系数】
0.7
5. (2025·河北廊坊霸州期末)若$∠ A=20°20'$，$∠ B=20°15'30''$，$∠ C=20.35°$，则(
A.$∠ A＞∠ B＞∠ C$
B.$∠ B＞∠ A＞∠ C$
C.$∠ A＞∠ C＞∠ B$
D.$∠ C＞∠ A＞∠ B$
D
).A.$∠ A＞∠ B＞∠ C$
B.$∠ B＞∠ A＞∠ C$
C.$∠ A＞∠ C＞∠ B$
D.$∠ C＞∠ A＞∠ B$
答案
5.D [解析]
∵$∠C=20.35°=20°+0.35°,0.35°=0.35×60'=21'$,
∴$∠C=20°21'$.
∵$∠A=20°20',∠B=20°15'30''$,
∴$∠C＞∠A＞∠B$.故选 D.
∵$∠C=20.35°=20°+0.35°,0.35°=0.35×60'=21'$,
∴$∠C=20°21'$.
∵$∠A=20°20',∠B=20°15'30''$,
∴$∠C＞∠A＞∠B$.故选 D.
解析
【分析】要比较三个角的大小，由于三个角的单位不统一，需先将它们换算为相同的单位（度分秒形式），再根据度、分、秒的大小依次比较。首先利用度分秒的进率（1°=60′，1′=60″）将∠C换算成度分秒，再分别与∠A、∠B比较即可得出结果。
【解析】先将∠C的度数换算为度分秒：因为1°=60′，所以0.35°=0.35×60′=21′，因此∠C=20°21′。已知∠A=20°20′，∠B=20°15′30″，比较三个角的大小：20°21′＞20°20′＞20°15′30″，即∠C＞∠A＞∠B。
【答案】D
【知识点】度分秒的换算、角的大小比较
【点评】本题考查度分秒的换算及角的大小比较，核心是掌握度分秒之间的60进制换算关系，将不同单位的角统一后再比较大小，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
【解析】先将∠C的度数换算为度分秒：因为1°=60′，所以0.35°=0.35×60′=21′，因此∠C=20°21′。已知∠A=20°20′，∠B=20°15′30″，比较三个角的大小：20°21′＞20°20′＞20°15′30″，即∠C＞∠A＞∠B。
【答案】D
【知识点】度分秒的换算、角的大小比较
【点评】本题考查度分秒的换算及角的大小比较，核心是掌握度分秒之间的60进制换算关系，将不同单位的角统一后再比较大小，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】0.6
6. (2025·无锡期末) 如图，$∠ AOB$ 是直角，$∠ AOC = 50°$，射线 $OP$ 从边 $OA$ 出发，绕点 $O$ 逆时针旋转直至与边 $OB$ 重合，在旋转过程中，下列情形不可能出现的是(
A.$OP$ 平分 $∠ AOC$
B.$OP$ 平分 $∠ AOB$
C.$OC$ 平分 $∠ BOP$
D.$OC$ 平分 $∠ AOP$
D
).A.$OP$ 平分 $∠ AOC$
B.$OP$ 平分 $∠ AOB$
C.$OC$ 平分 $∠ BOP$
D.$OC$ 平分 $∠ AOP$
答案
6.D [解析]当射线 OP 旋转到$∠AOP=∠POC$ 时，
则 $OP$ 平分$∠AOC$,故 A 选项可能出现,不符合题意；
当射线 $OP$ 旋转到$∠AOP=∠POB$ 时，
则 $OP$ 平分$∠AOB$,故 B 选项可能出现,不符合题意；
当射线 $OP$ 旋转到$∠BOC=∠POC$ 时，
则 $OC$ 平分$∠BOP$,故 C 选项可能出现,不符合题意；
∵$∠AOC=50°$,若$∠AOC=∠POC$,则$∠POC=50°$,
∴$∠AOP=100°$.
但$∠AOB$ 是直角,为 $90°$,且射线 $OP$ 从边 $OA$ 出发,绕点
$O$ 逆时针旋转直至与边 $OB$ 重合,故在$∠AOB$ 中不可能有
一个大于 $90°$的$∠AOP$.故 D 选项不可能出现,符合题意.
故选 D.
则 $OP$ 平分$∠AOC$,故 A 选项可能出现,不符合题意；
当射线 $OP$ 旋转到$∠AOP=∠POB$ 时，
则 $OP$ 平分$∠AOB$,故 B 选项可能出现,不符合题意；
当射线 $OP$ 旋转到$∠BOC=∠POC$ 时，
则 $OC$ 平分$∠BOP$,故 C 选项可能出现,不符合题意；
∵$∠AOC=50°$,若$∠AOC=∠POC$,则$∠POC=50°$,
∴$∠AOP=100°$.
但$∠AOB$ 是直角,为 $90°$,且射线 $OP$ 从边 $OA$ 出发,绕点
$O$ 逆时针旋转直至与边 $OB$ 重合,故在$∠AOB$ 中不可能有
一个大于 $90°$的$∠AOP$.故 D 选项不可能出现,符合题意.
故选 D.
解析
【分析】
要解决该问题，需明确射线OP从OA逆时针旋转到OB的过程中，∠AOP的取值范围是0°到90°（因∠AOB为直角，即90°）。需逐个分析每个选项对应的∠AOP是否在该范围内，若在则情形可能出现，否则不可能出现。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠AOC=50°，OP旋转时∠AOP∈[0°,90°]：
1. 选项A：若OP平分∠AOC，则∠AOP=∠AOC÷2=50°÷2=25°，25°在0°~90°之间，情形可能出现，不符合题意；
2. 选项B：若OP平分∠AOB，则∠AOP=∠AOB÷2=90°÷2=45°，45°在0°~90°之间，情形可能出现，不符合题意；
3. 选项C：若OC平分∠BOP，先算∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-50°=40°，则∠POC=∠BOC=40°，此时∠AOP=∠AOC+∠POC=50°+40°=90°，刚好对应OP与OB重合，情形可能出现，不符合题意；
4. 选项D：若OC平分∠AOP，则∠AOC=∠POC=50°，此时∠AOP=50°+50°=100°，而OP旋转到OB时∠AOP最大为90°，100°＞90°，该情形不可能出现，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线、角的度量
【点评】
本题结合角平分线定义与角的和差运算，关键是明确OP旋转时∠AOP的取值范围，逐个验证选项的角度合理性，属于基础几何题，需细心分析每个情况的角度大小。
【难度系数】
0.5
要解决该问题，需明确射线OP从OA逆时针旋转到OB的过程中，∠AOP的取值范围是0°到90°（因∠AOB为直角，即90°）。需逐个分析每个选项对应的∠AOP是否在该范围内，若在则情形可能出现，否则不可能出现。
【解析】
已知∠AOB=90°，∠AOC=50°，OP旋转时∠AOP∈[0°,90°]：
1. 选项A：若OP平分∠AOC，则∠AOP=∠AOC÷2=50°÷2=25°，25°在0°~90°之间，情形可能出现，不符合题意；
2. 选项B：若OP平分∠AOB，则∠AOP=∠AOB÷2=90°÷2=45°，45°在0°~90°之间，情形可能出现，不符合题意；
3. 选项C：若OC平分∠BOP，先算∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-50°=40°，则∠POC=∠BOC=40°，此时∠AOP=∠AOC+∠POC=50°+40°=90°，刚好对应OP与OB重合，情形可能出现，不符合题意；
4. 选项D：若OC平分∠AOP，则∠AOC=∠POC=50°，此时∠AOP=50°+50°=100°，而OP旋转到OB时∠AOP最大为90°，100°＞90°，该情形不可能出现，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
角平分线、角的度量
【点评】
本题结合角平分线定义与角的和差运算，关键是明确OP旋转时∠AOP的取值范围，逐个验证选项的角度合理性，属于基础几何题，需细心分析每个情况的角度大小。
【难度系数】
0.5
7. 如图,点$O$在直线$AB$上,$OD$是$∠ BOC$的平分线,若$∠ AOC=140^{ \circ }$,则$∠ BOD$的度数为
$20°$
.答案
7.$20°$
解析
【分析】
要计算∠BOD的度数，首先根据平角的定义，直线AB上的点O形成的∠AOB是180°，用∠AOB减去已知的∠AOC，可得到∠BOC的度数；再根据角平分线的定义，OD平分∠BOC，所以∠BOD是∠BOC的一半，代入计算即可。
【解析】
因为点O在直线AB上，所以∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义）。已知∠AOC = 140°，则∠BOC = 180° - 140° = 40°。又因为OD是∠BOC的平分线，根据角平分线的定义，∠BOD = ½∠BOC，所以∠BOD = ½×40° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平角定义、角平分线性质
【点评】
本题考查平角与角平分线的基本概念，属于基础几何题，解题思路清晰，步骤简单，主要考查学生对基础几何概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
要计算∠BOD的度数，首先根据平角的定义，直线AB上的点O形成的∠AOB是180°，用∠AOB减去已知的∠AOC，可得到∠BOC的度数；再根据角平分线的定义，OD平分∠BOC，所以∠BOD是∠BOC的一半，代入计算即可。
【解析】
因为点O在直线AB上，所以∠AOC + ∠BOC = 180°（平角的定义）。已知∠AOC = 140°，则∠BOC = 180° - 140° = 40°。又因为OD是∠BOC的平分线，根据角平分线的定义，∠BOD = ½∠BOC，所以∠BOD = ½×40° = 20°。
【答案】
20°
【知识点】
平角定义、角平分线性质
【点评】
本题考查平角与角平分线的基本概念，属于基础几何题，解题思路清晰，步骤简单，主要考查学生对基础几何概念的掌握情况。
【难度系数】
0.7
8. 方程思想 如图,OC 是$∠ AOB$的平分线,$∠ COD$ $=20°$.
(1)若$∠ AOD=30°$,求$∠ AOB$的度数;
(2)若$∠ BOD=2∠ AOD$,求$∠ AOB$的度数.
(1)若$∠ AOD=30°$,求$∠ AOB$的度数;
(2)若$∠ BOD=2∠ AOD$,求$∠ AOB$的度数.
答案
8.(1)
∵$∠COD=20°,∠AOD=30°$,
∴$∠AOC=∠COD+∠AOD=20°+30°=50°$.
∵OC 是$∠AOB$的平分线，
∴$∠AOB=2∠AOC=100°$.
(2)设$∠AOD=x$,则$∠BOD=2x$,
∴$∠AOB=∠AOD+∠BOD=3x$.
∵OC 是$∠AOB$的平分线，
∴$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{3}{2}x$,
∴$\frac{3}{2}x-x=20°$,解得 $x=40°$,
由$∠COD=20°$,可建立方程
∴$∠AOB=3x=120°$.
∵$∠COD=20°,∠AOD=30°$,
∴$∠AOC=∠COD+∠AOD=20°+30°=50°$.
∵OC 是$∠AOB$的平分线，
∴$∠AOB=2∠AOC=100°$.
(2)设$∠AOD=x$,则$∠BOD=2x$,
∴$∠AOB=∠AOD+∠BOD=3x$.
∵OC 是$∠AOB$的平分线，
∴$∠AOC=\frac{1}{2}∠AOB=\frac{3}{2}x$,
∴$\frac{3}{2}x-x=20°$,解得 $x=40°$,
由$∠COD=20°$,可建立方程
∴$∠AOB=3x=120°$.
解析
【分析】
本题主要运用角平分线的性质和角的和差关系解题。第(1)问先通过角的和差求出∠AOC，再依据角平分线定义得到∠AOB；第(2)问借助方程思想设未知角，结合角平分线和∠COD的数量关系建立方程，进而求解∠AOB。
【解析】
(1) 已知∠COD=20°，∠AOD=30°，根据角的和差关系：
∠AOC = ∠COD + ∠AOD = 20° + 30° = 50°。
因为OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义，∠AOB = 2∠AOC，因此：
∠AOB = 2×50° = 100°。
(2) 设∠AOD = x，由题意∠BOD = 2x，根据角的和差关系，∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = x + 2x = 3x。
因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{3}{2}$x。
又因为∠COD = ∠AOC - ∠AOD，已知∠COD=20°，可得方程：
$\frac{3}{2}$x - x = 20°，
解得x = 40°，
因此∠AOB = 3x = 3×40° = 120°。
【答案】
(1) 100°；(2) 120°
【知识点】
角平分线的性质，角的和差，方程思想
【点评】
本题考查角平分线的应用与方程思想的运用，分两小问逐步推导，难度适中，需掌握角的和差计算和角平分线的定义，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
本题主要运用角平分线的性质和角的和差关系解题。第(1)问先通过角的和差求出∠AOC，再依据角平分线定义得到∠AOB；第(2)问借助方程思想设未知角，结合角平分线和∠COD的数量关系建立方程，进而求解∠AOB。
【解析】
(1) 已知∠COD=20°，∠AOD=30°，根据角的和差关系：
∠AOC = ∠COD + ∠AOD = 20° + 30° = 50°。
因为OC是∠AOB的平分线，根据角平分线的定义，∠AOB = 2∠AOC，因此：
∠AOB = 2×50° = 100°。
(2) 设∠AOD = x，由题意∠BOD = 2x，根据角的和差关系，∠AOB = ∠AOD + ∠BOD = x + 2x = 3x。
因为OC是∠AOB的平分线，所以∠AOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{3}{2}$x。
又因为∠COD = ∠AOC - ∠AOD，已知∠COD=20°，可得方程：
$\frac{3}{2}$x - x = 20°，
解得x = 40°，
因此∠AOB = 3x = 3×40° = 120°。
【答案】
(1) 100°；(2) 120°
【知识点】
角平分线的性质，角的和差，方程思想
【点评】
本题考查角平分线的应用与方程思想的运用，分两小问逐步推导，难度适中，需掌握角的和差计算和角平分线的定义，适合巩固基础。
【难度系数】
0.6
9. (2024·重庆一中期末)如图，$∠ AOB$ 为钝角，射线 $OC$ 平分 $∠ AOB$，射线 $OD$ 在 $∠ AOC$ 内部，射线 $OE$ 平分 $∠ BOD$.
(1)若$∠ COD=10^{\circ },∠ AOB=140^{\circ }$. 求$∠ COE$的度数；
(2)请写出$∠ AOD$与$∠ COE$度数之间的等量关系，并说明理由.
(1)若$∠ COD=10^{\circ },∠ AOB=140^{\circ }$. 求$∠ COE$的度数；
(2)请写出$∠ AOD$与$∠ COE$度数之间的等量关系，并说明理由.
答案
9.(1)
∵OC 平分$∠AOB,∠AOB=140°$,
∴$∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=70°$.
∵$∠COD=10°,∴∠BOD=∠BOC+∠COD=80°$.
∵OE 平分$∠BOD,∴∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=40°$,
∴$∠COE=∠DOE-∠COD=40°-10°=30°$.
(2)$∠AOD=2∠COE$.理由如下：
∵OC 平分$∠AOB$,
∴$∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB$.
∵$∠COD+∠AOD=∠AOC$,
∴$∠AOB=2∠AOC=2(∠COD+∠AOD)$.
∵OE 平分$∠BOD$,
∴$∠DOE=∠BOE=\frac{1}{2}∠BOD$.
∵$∠COE+∠COD=∠DOE$,
∴$∠BOD=2∠DOE=2(∠COE+∠COD)$.
∵$∠AOB-∠BOD=∠AOD$,
∴$2∠COD+2∠AOD-2∠COE-2∠COD=∠AOD$,
∴$∠AOD=2∠COE$.
∵OC 平分$∠AOB,∠AOB=140°$,
∴$∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB=70°$.
∵$∠COD=10°,∴∠BOD=∠BOC+∠COD=80°$.
∵OE 平分$∠BOD,∴∠DOE=\frac{1}{2}∠BOD=40°$,
∴$∠COE=∠DOE-∠COD=40°-10°=30°$.
(2)$∠AOD=2∠COE$.理由如下：
∵OC 平分$∠AOB$,
∴$∠AOC=∠BOC=\frac{1}{2}∠AOB$.
∵$∠COD+∠AOD=∠AOC$,
∴$∠AOB=2∠AOC=2(∠COD+∠AOD)$.
∵OE 平分$∠BOD$,
∴$∠DOE=∠BOE=\frac{1}{2}∠BOD$.
∵$∠COE+∠COD=∠DOE$,
∴$∠BOD=2∠DOE=2(∠COE+∠COD)$.
∵$∠AOB-∠BOD=∠AOD$,
∴$2∠COD+2∠AOD-2∠COE-2∠COD=∠AOD$,
∴$∠AOD=2∠COE$.
解析
【分析】
第(1)问：先利用角平分线的性质，由已知∠AOB的度数求出∠BOC的度数；再结合∠COD的度数算出∠BOD的度数；接着根据OE平分∠BOD求出∠DOE的度数，最后通过角的差计算∠COE。
第(2)问：利用角平分线的性质将∠AOB和∠BOD用相关角表示，再结合∠AOD与∠AOB、∠BOD的和差关系，通过代数变形推导∠AOD与∠COE的等量关系。
【解析】
(1)
∵OC平分∠AOB，∠AOB=140°，
∴∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
又
∵∠COD=10°，
∴∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 70°+10°=80°。
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴∠COE = ∠DOE - ∠COD = 40°-10°=30°。
(2) ∠AOD=2∠COE，理由如下：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOB=2∠AOC=2(∠AOD + ∠COD)。
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，即∠BOD=2∠DOE=2(∠COE + ∠COD)。
又
∵∠AOD=∠AOB - ∠BOD，
∴∠AOD=2(∠AOD + ∠COD) - 2(∠COE + ∠COD)，
展开得：∠AOD=2∠AOD + 2∠COD - 2∠COE - 2∠COD，
化简得：∠AOD=2∠AOD - 2∠COE，
移项得：2∠COE=∠AOD，即∠AOD=2∠COE。
【答案】(1) 30°；(2) ∠AOD=2∠COE
【知识点】角平分线的性质、角的和差运算
【点评】本题考查角平分线的定义及角的和差关系，解题核心是利用角平分线等分角，通过角的和差转化推导等量关系，需理清各角的位置与数量关系，难度适中。
【难度系数】0.5
第(1)问：先利用角平分线的性质，由已知∠AOB的度数求出∠BOC的度数；再结合∠COD的度数算出∠BOD的度数；接着根据OE平分∠BOD求出∠DOE的度数，最后通过角的差计算∠COE。
第(2)问：利用角平分线的性质将∠AOB和∠BOD用相关角表示，再结合∠AOD与∠AOB、∠BOD的和差关系，通过代数变形推导∠AOD与∠COE的等量关系。
【解析】
(1)
∵OC平分∠AOB，∠AOB=140°，
∴∠BOC = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$×140°=70°。
又
∵∠COD=10°，
∴∠BOD = ∠BOC + ∠COD = 70°+10°=80°。
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOD = $\frac{1}{2}$×80°=40°，
∴∠COE = ∠DOE - ∠COD = 40°-10°=30°。
(2) ∠AOD=2∠COE，理由如下：
∵OC平分∠AOB，
∴∠AOC=∠BOC=$\frac{1}{2}$∠AOB，即∠AOB=2∠AOC=2(∠AOD + ∠COD)。
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=∠BOE=$\frac{1}{2}$∠BOD，即∠BOD=2∠DOE=2(∠COE + ∠COD)。
又
∵∠AOD=∠AOB - ∠BOD，
∴∠AOD=2(∠AOD + ∠COD) - 2(∠COE + ∠COD)，
展开得：∠AOD=2∠AOD + 2∠COD - 2∠COE - 2∠COD，
化简得：∠AOD=2∠AOD - 2∠COE，
移项得：2∠COE=∠AOD，即∠AOD=2∠COE。
【答案】(1) 30°；(2) ∠AOD=2∠COE
【知识点】角平分线的性质、角的和差运算
【点评】本题考查角平分线的定义及角的和差关系，解题核心是利用角平分线等分角，通过角的和差转化推导等量关系，需理清各角的位置与数量关系，难度适中。
【难度系数】0.5
