10. (2025·扬州宝应期末)已知 $OD,OE$ 分别是$∠ AOB$，$∠ AOC$ 的角平分线.
(1) 如图(1),$OC$ 是$∠ AOB$ 外部的一条射线.
① 若$∠ AOC=28°,∠ BOC=144°$,则$∠ DOE=$$°$;
② 若$∠ BOC=156°$,求$∠ DOE$ 的度数;(请用几何符号语言规范地表达)
(2) 如图(2),$OC$ 是$∠ AOB$ 内部的一条射线，$∠ BOC=m°$,用含 $m°$的代数式表示$∠ DOE$的度数.(请用几何符号语言规范地表达)

10.(1)72 [解析](1)①
∵OD,OE 分别是$∠AOB,∠AOC$ 的角平分线，
∴$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB,∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC$,
∴$∠DOE=∠AOD+∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB+\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠AOB+∠AOC)=\frac{1}{2}∠BOC$.
∵$∠BOC=144°,∴∠DOE=\frac{1}{2}×144°=72°$.
②由①,可得$∠DOE=\frac{1}{2}∠BOC$.
∵$∠BOC=156°,∴∠DOE=\frac{1}{2}×156°=78°$,
∴$∠DOE$ 的度数等于$∠BOC$ 的一半.
(2)
∵OD,OE 分别是$∠AOB,∠AOC$ 的角平分线，
∴$∠AOD=\frac{1}{2}∠AOB,∠AOE=\frac{1}{2}∠AOC$,
∴$∠DOE=∠AOD-∠AOE=\frac{1}{2}∠AOB-\frac{1}{2}∠AOC=\frac{1}{2}(∠AOB-AOC)=\frac{1}{2}∠BOC$.
∵$∠BOC=m°,∴∠DOE=\frac{1}{2}m°$.

【分析】本题考查角平分线的定义及角的和差运算，解题时先利用角平分线的定义得到相关角的倍分关系，再根据OC在∠AOB外部或内部的不同位置，结合角的和差关系推导∠DOE与∠BOC的关系，进而计算或用代数式表示∠DOE的度数。
【解析】
(1) ①
∵OD，OE分别是∠AOB，∠AOC的角平分线，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OC在∠AOB外部，
∴∠BOC = ∠AOB + ∠AOC，
∴∠DOE = ∠AOD + ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOB + $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$(∠AOB + ∠AOC) = $\frac{1}{2}$∠BOC，
又
∵∠BOC = 144°，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$×144° = 72°。
② 由①的推导可知，∠DOE = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠BOC = 156°，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$×156° = 78°。
(2)
∵OD，OE分别是∠AOB，∠AOC的角平分线，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB，∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOC，
∵OC在∠AOB内部，
∴∠BOC = ∠AOB - ∠AOC，
∴∠DOE = ∠AOD - ∠AOE = $\frac{1}{2}$∠AOB - $\frac{1}{2}$∠AOC = $\frac{1}{2}$(∠AOB - ∠AOC) = $\frac{1}{2}$∠BOC，
∵∠BOC = m°，
∴∠DOE = $\frac{1}{2}$m°。
【答案】(1) ①72；②78°；(2) $\frac{1}{2}m°$
【知识点】角平分线定义、角的和差运算
【点评】本题是角平分线与角的和差结合的基础题，分两种情况考查，需要学生明确角平分线的性质，理清不同位置下角的关系，难度适中。
【难度系数】0.6

11. 内半角模型 中考新考法 操作探究 （2024·上海崇明区期末）定义:从一个角的顶点出发,在角的内部引两条射线,如果这两条射线所成的角等于这个角的一半,那么这两条射线所成的角叫作这个角的内半角,如图(1)所示,若$∠ COD=$$\dfrac{1}{2}∠ AOB$,则$∠ COD$是$∠ AOB$的内半角.
(1)如图(1)所示,已知$∠ AOB=70°$,$∠ AOC=$$15°$,$∠ COD$是$∠ AOB$的内半角,则$∠ BOD=$.
(2)如图(2),已知$∠ AOB=63°$,将$∠ AOB$绕点$O$按顺时针方向旋转一个角度$α$($0°＜α＜$$63°$)至$∠ COD$,当旋转的角度$α$为何值时,$∠ COB$是$∠ AOD$的内半角?
(3)已知$∠ AOB=30°$,把一块含有$30°$角的三角板如图(3)叠放,将三角板绕顶点$O$以$3°/$秒的速度按顺时针方向旋转,如图(4),问:在旋转一周的过程中,射线$OA$,$OB$,$OC$,$OD$能否构成内半角?若能,请求出旋转的时间;若不能,请说明理由.

精题详解

11.(1)20° [解析]
∵$∠COD$ 是$∠AOB$ 的内半角,$∠AOB=70°$,
∴$∠COD=\frac{1}{2}∠AOB=35°$.
∵$∠AOC=15°,∴∠BOD=70°-35°-15°=20°$.
(2)
∵$∠AOC=∠BOD=α,∠AOB=63°$,
∴$∠AOD=63°+α,∠BOC=63°-α$.
∵$∠COB$ 是$∠AOD$ 的内半角，
∴$63°+α=2(63°-α),∴α=21°$,
∴当旋转角度$α$ 为$21°$时,$∠COB$ 是$∠AOD$ 的内半角.
(3)能,当旋转的时间为$\frac{10}{3}$ s 或 30 s 或 90 s 或$\frac{350}{3}$ s 时,射线 OA,OB,OC,OD 能构成内半角.理由如下：
设按顺时针方向旋转一个角度$α$,旋转的时间为$t$,

如图(1),当$∠BOC$ 是$∠AOD$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=α$,
∴$∠AOD=30°+α,∴\frac{1}{2}(30°+α)=30°-α$,
∴$α=10°,∴t=\frac{10}{3}$ s;
如图(2),当$∠BOC$ 是$∠AOD$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=α$,
∴$∠AOD=30°+α,∠BOC=α-30°$,
∴$\frac{1}{2}(30°+α)=α-30°$,
∴$α=90°,∴t=\frac{90}{3}=30(s)$;
如图(3),当$∠AOD$ 是$∠BOC$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=360°-α$,
∴$∠BOC=360°+30°-α,∠AOD=360°-α-30°$,
∴$\frac{1}{2}(360°+30°-α)=360°-α-30°$,
∴$α=270°,∴t=\frac{270}{3}=90(s)$;

如图(4),当$∠AOD$ 是$∠BOC$ 的内半角时,$∠AOC=∠BOD=360°-α$,
∴$∠BOC=360°+30°-α,∠AOD=30°-(360°-α)$,
∴$\frac{1}{2}(360°+30°-α)=30°-(360°-α)$,
∴$α=350°,∴t=\frac{350}{3}$ s.
综上所述,当旋转的时间为$\frac{10}{3}$ s 或 30 s 或 90 s 或$\frac{350}{3}$ s 时,射线 OA,OB,OC,OD 能构成内半角.

【分析】
本题围绕“内半角”的定义展开，分三小问逐步分析：
第(1)问：先根据内半角定义求出∠COD，再利用角的和差关系，用∠AOB减去已知的∠AOC和∠COD，即可算出∠BOD；
第(2)问：结合旋转的性质，得到旋转角α与∠AOD、∠COB的关系，再根据“内半角”的定义（两角满足一半关系）列方程求解α；
第(3)问：旋转一周过程中，需分不同的内半角构成情况，分别设旋转角为α，结合角的和差与内半角定义列方程，求出α后根据旋转速度算出时间，注意分类讨论所有可能的位置情况。
【解析】
(1) 因为∠COD是∠AOB的内半角，∠AOB=70°，所以∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}×70°=35°$。
又因为∠AOB=∠AOC+∠COD+∠BOD，所以∠BOD=∠AOB - ∠AOC - ∠COD=70°-15°-35°=20°。
(2) 由旋转的性质，得∠AOC=∠BOD=α，所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=63°+α，∠COB=∠AOB - ∠AOC=63°-α。
因为∠COB是∠AOD的内半角，所以∠COB=$\frac{1}{2}$∠AOD，即63°-α=$\frac{1}{2}(63°+α)$，
两边同乘2得：126°-2α=63°+α，
移项合并得：3α=63°，解得α=21°。
(3) 设旋转时间为t秒，旋转角α=3t°，分四种情况讨论：
① 当∠BOC是∠AOD的内半角，OA在OC、OB之间时，∠AOC=∠BOD=α，∠AOD=30°+α，∠BOC=30°-α，
由内半角定义得：$\frac{1}{2}(30°+α)=30°-α$，解得α=10°，则t=$\frac{10}{3}$秒；
② 当∠BOC是∠AOD的内半角，OC在OA、OB之间时，∠AOC=∠BOD=α，∠AOD=30°+α，∠BOC=α-30°，
由内半角定义得：$\frac{1}{2}(30°+α)=α-30°$，解得α=90°，则t=$\frac{90}{3}=30$秒；
③ 当∠AOD是∠BOC的内半角，OB在OD、OC之间时，∠AOC=∠BOD=360°-α，∠BOC=360°+30°-α，∠AOD=360°-α-30°，
由内半角定义得：$\frac{1}{2}(360°+30°-α)=360°-α-30°$，解得α=270°，则t=$\frac{270}{3}=90$秒；
④ 当∠AOD是∠BOC的内半角，OD在OA、OB之间时，∠AOC=∠BOD=360°-α，∠BOC=360°+30°-α，∠AOD=30°-(360°-α)，
由内半角定义得：$\frac{1}{2}(360°+30°-α)=30°-(360°-α)$，解得α=350°，则t=$\frac{350}{3}$秒；
综上，射线OA、OB、OC、OD能构成内半角，旋转时间为$\frac{10}{3}$秒、30秒、90秒、$\frac{350}{3}$秒。
【答案】
(1)20°；(2)21°；(3)能，旋转时间为$\frac{10}{3}$ s或30 s或90 s或$\frac{350}{3}$ s
【知识点】
角的计算、旋转的性质、内半角模型
【点评】
本题是中考新考法的操作探究题，以“内半角”为核心定义，结合角的和差、旋转的性质展开，需要通过分类讨论分析不同位置下的角关系，考查学生的逻辑推理与分类讨论能力，是一道综合性较强的中档题。
【难度系数】
0.5