1. 如图,$△ ABC$的面积等于6,边$AC=3$.现将$△ ABC$沿$AB$所在直线翻折,使点$C$落在直线$AD$上的点$C'$处,点$P$在直线$AD$上,则线段$BP$的长不可能是 （）

A.3
B.4
C.5
D.6

1. A 提示:过点 B 作 BN⊥AC,交 AC 的延长线于点 N,BM ⊥ AD 于点 M.由折叠的性质,得∠C'AB=∠CAB.由角平分线的性质,得 BN=BM.因为△ABC 的面积等于 6,AC=3,所以 BN=BM=4,所以 BP≥4.

2. 如图,在四边形ABDC中,对角线AD平分$∠ BAC$,$∠ ACD=136°$,$∠ BCD=44°$,则$∠ ADB$的度数为（）

A.$54°$
B.$50°$
C.$48°$
D.$46°$

2. D 提示:如图,过点 D 作 DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,DG⊥BC 于点 G. 因为 AD 平分∠BAC,所以 DF=DE. 因为∠DCF=180°-∠ACD=44°,∠BCD=44°,所以 CD 平分∠BCF,所以 DF=DG. 因为 DE=DF=DG,所以 BD 平分∠CBE,所以∠ADB=∠DBE-∠BAD=1/2(∠CBE-∠BAC)=1/2∠ACB=1/2(∠ACD-∠BCD)=46°.

3. 如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$于点$D$,$AE$平分$∠ BAC$交$BC$于点$E$,$F$为$BC$的延长线上一点,$FG ⊥ AE$交$AD$的延长线于点$G$,$AC$的延长线交$FG$于点$H$,连接$BG$,下列结论: ①$∠ DAE = ∠ F$;②$2∠ DAE = ∠ ABD - ∠ ACE$; ③$S_{△ AEB}:S_{△ AEC}=AB:AC$; ④$∠ AGH = ∠ BAE + ∠ ACB$.其中正确的结论有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

3. D 提示:设 AE 交 GF 于点 M. 因为 AD⊥BC,FG ⊥ AE,所以∠ADE=∠AMF=90°,因为∠AED=∠MEF,所以∠DAE=∠F,故①正确;因为 AE 平分∠BAC,所以∠EAC=1/2 ∠BAC,所以∠DAE=90°-∠AED=90°-(∠ACE+∠EAC)=90°-(∠ACE+1/2∠BAC)=1/2(180°-2∠ACE-∠BAC)=1/2(∠ABD-∠ACE),即 2∠DAE=∠ABD-∠ACE,故②正确;又因为 AE 平分∠BAC,所以点 E 到 AB 和 AC 的距离相等,所以 S△AEB:S△AEC=AB:AC,故③正确;因为∠DAE=∠F,∠FDG=∠FME=90°,所以∠AGH=∠MEF,因为∠MEF=∠CAE+∠ACB,所以∠AGH=∠CAE+∠ACB=∠BAE+∠ACB,故④正确.

4. 如图,在$△ ABC$中,$AD$是$∠ BAC$的平分线,$DE ⊥ AB$于点$E$,$DF ⊥ AC$于点$F$.若$S_{△ ABC}=9$,$DE=2$,$AB=6$,则$AC$的长是
.

4. 3 提示:因为 AD 是∠BAC 的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,所以 DF=DE=2. 又因为 S△ABC=S△ABD+S△ACD=9,AB=6,所以 1/2×6×2 + 1/2 AC×2=9,所以 AC=3.

5. 如图,$P$是$∠ AOB$外的一点,$M,N$分别是$∠ AOB$两边上的点,点$P$关于$OA$的对称点$Q$恰好落在线段$MN$上,点$P$关于$OB$的对称点$R$落在$MN$的延长线上. 若$PM=3\ \mathrm{cm},PN=4\ \mathrm{cm},MN=5.5\ \mathrm{cm}$,则线段$QR$的长为$\mathrm{cm}$.

5. 6.5 提示:根据轴对称的性质,可知 OA 垂直平分 PQ,OB 垂直平分 PR,所以 QM=PM=3 cm,RN=PN=4 cm. 因为 MN=5.5 cm,所以 QN=MN-QM=2.5 cm,所以 QR=QN+RN=6.5 cm.

6. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $AD$ 平分 $∠ BAC$, $DG ⊥ BC$ 且平分 $BC$, $DE ⊥ AB$ 于点 $E$, $DF ⊥ AC$, 交 $AC$ 的延长线于点 $F$. 若 $AB=5,AC=3$, 则 $AE$ 的长为.

6. 4 提示:连接 BD,CD. 因为 AD 平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,所以 DE=DF,∠EAD=∠FAD,∠BED=∠CFD=90°. 因为 DG⊥BC 且平分 BC,所以 BD=CD. 在 Rt△BED 和 Rt△CFD 中,{BD=CD,DE=DF,所以 Rt△BED≌Rt△CFD,所以 BE=CF. 在△AED 和△AFD 中,{∠AED=∠AFD,∠EAD=∠FAD,AD=AD,所以△AED≌△AFD,所以 AE=AF. 设 BE=CF=x. 因为 AB=5,AC=3,所以 5-x=3+x,解得 x=1,即 BE=1. 所以 AE=AB-BE=4.

7. 已知直线$l$及其两侧两点$A$,$B$,如图所示.
(1) 在直线$l$上求一点$P$,使$PA=PB$.
(2) 在直线$l$上求一点$Q$,使$l$平分$∠ AQB$.(保留作图痕迹,不写作法)

7. 解:(1)如图,点 P 即为所求.
(2)如图,点 Q 即为所求.

8. 在$△ ABC$中,点$D,E$分别在边$AB,AC$上,连接$DE,CD,EF ⊥ CD$于点$F$,且$DF=CF$.
(1) 如图 1,求证:$DE=CE$.
(2) 如图 2,若$∠ AED=∠ ABC,EG ⊥ BC$于点$G$,连接$BE$交$CD$于点$H$,求证:$∠ ABE=∠ CBE$.
(3) 如图 3,在(2)的条件下,若$BC=6CG$,$DH=4$,求$HF$的长.



思维大爆炸

8. (1) 证明:因为 EF⊥CD,DF=CF,所以 EF 垂直平分 CD,所以 DE=CE.
(2) 证明:如图1,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M. 因为 EG⊥BC,所以∠EMD=∠EGC=90°. 因为∠AED+∠DEC=180°,∠AED=∠ABC,所以∠ABC+∠DEC=180°. 因为∠ABC+∠BCE+∠DEC+∠BDE=360°,所以∠BCE+∠BDE=180°. 因为∠ADE+∠BDE=180°,所以∠ADE=∠BCE. 在△EMD 和△EGC 中,{∠EMD=∠EGC,∠MDE=∠GCE,ED=EC,所以△EMD≌△EGC(AAS),所以 EM=EG. 因为 EM⊥AB,EG⊥BC,所以 BE 平分∠ABC,所以∠ABE=∠CBE.

(3) 解:如图2,过点 B 作 BN⊥CD 于点 N,过点 E 作 EM⊥AB 于点 M,过点 H 作 HQ⊥BC 于点 Q,HP⊥AB 于点 P. 因为△EMD≌△EGC,所以 DM=GC,EM=EG. 在 Rt△BEM 和 Rt△BEG 中,{BE=BE,EM=EG,所以 Rt△BEM≌Rt△BEG(HL),所以 BM=BG,BE 平分∠ABC. 因为 BC=6CG,所以 BD=BM-DM=BG-CG=BC-2CG=4CG. 因为 BH 平分∠ABC,HP⊥AB,HQ⊥BC,所以 HP=HQ,所以 S△DBH:S△CBH=1/2 BD·HP : 1/2 BC·HQ=4:6=2:3. 因为 S△DBH:S△CBH=1/2 DH·BN : 1/2 CH·BN=DH:CH=2:3. 因为 DH=4,所以 CH=6,所以 CD=DH+CH=4+6=10,所以 CF=1/2 CD=5,所以 HF=CH-CF=6-5=1.