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9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,角平分线$AD,BE$相交于点$I$,$AI=3ID$,$AE=m$,$BD=n$,则$AB=$
4/3 m +n
.(用含$m,n$的式子表示)答案
9. 4/3 m +n 提示:如图,在线段 AB 上截取 AM=AE=m,BN=BD=n,连接 IM,IN,过点 M 作 MH⊥AI 于点 H,MJ⊥IN 于点 J. 因为 AD 平分∠BAC,所以∠IAE=∠IAM=1/2∠CAB. 因为 EA=MA,AI=AI,所以△AEI≌△AMI(SAS),所以∠AIE=∠AIM,IE=IM. 因为 BE 平分∠ABC,所以∠DBI=∠NBI=1/2∠CBA. 因为 BN=BD,BI=BI,所以△DBI≌△NBI(SAS),所以∠DIB=∠NIB,ID=IN. 因为∠C=90°,所以∠DIB=∠IAB+∠IBA=1/2(∠CAB+∠CBA)=45°,所以∠AIM=∠AIE=∠DIB=∠BIN=45°,所以∠MIN=180°-∠BID-∠AIM-∠BIN=45°. 因为 MH⊥IA,MJ⊥IN,所以 MH=MJ. 又因为 AI=3ID,所以 S△AIM/S△IMN = AM/MN = (1/2 AI·MH)/(1/2 IN·MJ) = AI/IN = AI/ID =3,所以 AM=3MN,则 MN=1/3 AM=1/3 m,所以 AB=AM+MN+BN=m+1/3 m +n=4/3 m +n.
10. 在$△ ABC$中,$AB=15,AC=9$. 点$D$在$∠ BAC$的平分线所在的直线上.
(1) 如图 1,当点$D$在$△ ABC$的外部时,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,作$DF ⊥$$AC$交$AC$的延长线于点$F$,且$BE=$$CF$. 求证: 点$D$在$BC$的垂直平分线上.
(2) 如图 2,当点$D$在线段$BC$上时,若$∠ C=90^{ \circ }$,$BE$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$E$,交$AD$于点$F$,过点$F$作$FG ⊥$$BE$,交$BC$于点$G$.
①求$∠ DFG$的大小;
②若$BC=12$,$EC=4$,则$GC=$
(3) 如图 3,过点$A$的直线$l // BC$. 若$∠ C=$$90^{ \circ }$,$BC=12$,点$D$到$△ ABC$三边所在直线的距离相等,则这样的点$D$有
(1) 如图 1,当点$D$在$△ ABC$的外部时,过点$D$作$DE ⊥ AB$于点$E$,作$DF ⊥$$AC$交$AC$的延长线于点$F$,且$BE=$$CF$. 求证: 点$D$在$BC$的垂直平分线上.
(2) 如图 2,当点$D$在线段$BC$上时,若$∠ C=90^{ \circ }$,$BE$平分$∠ ABC$,交$AC$于点$E$,交$AD$于点$F$,过点$F$作$FG ⊥$$BE$,交$BC$于点$G$.
①求$∠ DFG$的大小;
②若$BC=12$,$EC=4$,则$GC=$
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.(3) 如图 3,过点$A$的直线$l // BC$. 若$∠ C=$$90^{ \circ }$,$BC=12$,点$D$到$△ ABC$三边所在直线的距离相等,则这样的点$D$有
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个,点$D$到直线$l$的距离是3或6或9或18
.答案
10. (1) 证明:如图 1,连接 BD,CD. 根据题意,得 DE=DF,∠BED=∠CFD=90°. 在△BDE 和△CDF 中,{BE=CF,∠BED=∠CFD,DE=DF,所以△BDE≌△CDF(SAS),所以 BD=CD,所以点 D 在 BC 的垂直平分线上.
(2) ①解:因为 BE 平分∠ABC,AD 平分∠BAC,∠C=90°,所以∠ABF=1/2∠ABC,∠BAF=1/2∠BAC,∠ABC+∠BAC=90°,所以 1/2∠ABC+1/2∠BAC=1/2×90°=45°,即∠ABF+∠BAF=45°,所以∠DFB=∠ABF+∠BAF=45°. 因为 FG⊥BE,即∠BFG=90°,所以∠DFG=90°-∠DFB=45°.
②2 提示:如图 2,延长 GF 交 AB 于点 H. 因为∠AFH=∠DFG=45°,∠AFE=∠DFB=45°,所以∠AFH=∠AFE. 在△AFH 和△AFE 中,{∠AFH=∠AFE,AF=AF,∠HAF=∠EAF,所以△AFH≌△AFE(ASA),所以 AH=AE. 因为 AB=15,AC=9,BC=12,EC=4,所以 AE=AC-EC=5,所以 AH=AE=5,所以 BH=AB-AH=10. 因为∠CBE=∠ABE,∠BFH=∠BFG=90°,BF=BF,所以△BFG≌△BFH(ASA),所以 BG=BH=10,所以 GC=BC-BG=12-10=2.
(3)4 3或6或9或18 提示:因为点 D 到△ABC 三边所在直线的距离相等,所以点 D 是△ABC 内角的平分线交点或内角平分线与外角平分线的交点. 如图 3,当点 D 在△ABC 内部时,记点 D 到△ABC 各边所在的直线距离为 h. 因为 S△ABC=1/2 AC·BC=1/2 AB·h +1/2 AC·h +1/2 BC·h,所以 9×12=(9+12+15)·h,所以 h=3,点 D 到直线 l 的距离是 AC-h=9-3=6. 如图 4,当点 D 在 BC 的下方时,设点 D 到三边的距离为 x,则由{DE=DK,DB=DB,得 Rt△DEB≌Rt△DKB(HL),所以 BE=BK=12-x,同理 AE=AF,所以 15+12-x=9+x,所以 x=9,点 D 到直线 l 的距离是 AF=9+9=18. 如图 5,当点 D 在 AC 的右边时,设点 D 到三边的距离为 y,同理可得 AM=AJ=9-y,BN=BM,则 12+y=15+9-y,所以 y=6,点 D 到直线 l 的距离是 9-6=3. 如图 6,当点 D 在 AB 的上方时,设点 D 到三边的距离为 z,同理可得 BG=BQ=z-12,AG=AP=z-9,BG+AG=AB,所以 z-12+z-9=15,所以 z=18,点 D 到直线 l 的距离是 18-9=9. 综上所述,这样的点 D 有 4 个,点 D 到直线 l 的距离是 3 或 6 或 9 或 18.
