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17.(8分)
(1)计算:$\sqrt{8}-\sqrt{6} × \sqrt{3}$。
(2)解方程:$x^2 - 4x = 0$。
(1)计算:$\sqrt{8}-\sqrt{6} × \sqrt{3}$。
(2)解方程:$x^2 - 4x = 0$。
答案
(1)原式$=-\sqrt{2}$。
(2)$x_1=0,x_2=4$。
(2)$x_1=0,x_2=4$。
解析
【分析】
第(1)题是二次根式的混合运算，解题思路：先根据二次根式乘法法则计算乘法项，再将各项化为最简二次根式后合并同类二次根式得到结果；第(2)题是一元二次方程，解题思路：通过因式分解将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再利用“因式乘积为0则至少一个因式为0”的性质求解方程的根。
【解析】
(1) 先计算乘法：$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{6×3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；再化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；因此原式$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$。
(2) 对原方程左边因式分解：$x^2 -4x = x(x-4)$，则方程转化为$x(x-4)=0$；根据因式乘积为0的性质，得$x=0$或$x-4=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)原式$=-\sqrt{2}$。(2)$x_1=0,x_2=4$。
【知识点】
二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为初中数学基础题型，分别考查二次根式的乘法运算、最简二次根式的合并，以及一元二次方程的因式分解解法，知识点单一且基础，是巩固代数运算能力的典型题目。
【难度系数】
0.8
第(1)题是二次根式的混合运算，解题思路：先根据二次根式乘法法则计算乘法项，再将各项化为最简二次根式后合并同类二次根式得到结果；第(2)题是一元二次方程，解题思路：通过因式分解将方程转化为两个一次因式乘积为0的形式，再利用“因式乘积为0则至少一个因式为0”的性质求解方程的根。
【解析】
(1) 先计算乘法：$\sqrt{6}×\sqrt{3}=\sqrt{6×3}=\sqrt{18}=3\sqrt{2}$；再化简$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$；因此原式$=2\sqrt{2}-3\sqrt{2}=-\sqrt{2}$。
(2) 对原方程左边因式分解：$x^2 -4x = x(x-4)$，则方程转化为$x(x-4)=0$；根据因式乘积为0的性质，得$x=0$或$x-4=0$，解得$x_1=0$，$x_2=4$。
【答案】
(1)原式$=-\sqrt{2}$。(2)$x_1=0,x_2=4$。
【知识点】
二次根式的混合运算；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题为初中数学基础题型，分别考查二次根式的乘法运算、最简二次根式的合并，以及一元二次方程的因式分解解法，知识点单一且基础，是巩固代数运算能力的典型题目。
【难度系数】
0.8
18.(7分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC。
(1)用直尺和圆规在平面上作点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,并作出这个菱形。(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AB=3,BC=2,求(1)中所作菱形对角线AD的长。
(1)用直尺和圆规在平面上作点D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是菱形,并作出这个菱形。(不写作法,保留作图痕迹)
(2)若AB=3,BC=2,求(1)中所作菱形对角线AD的长。
答案
(1)如图,四边形ABDC为所求菱形。
(2)如图,连结AD与BC交于点E。
因为四边形ABDC为菱形,$BC=2,AB=3$,所以$BE=1,AE=DE,BC⊥AD$,
所以$AE=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$。所以$AD=2AE=4\sqrt{2}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需构造以A、B、C、D为顶点的菱形，利用菱形四条边相等的性质，结合等腰三角形AB=AC的特点，在BC的另一侧确定点D，使AB=BD=DC=CA，即可得到菱形；第(2)问利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算对角线AD的长度，需先找到对角线交点，再利用直角三角形的勾股定理求线段长。
【解析】
(1) 作图：以点B为圆心、AB长为半径画弧，以点C为圆心、AB长为半径画弧，两弧在BC的另一侧（与点A异侧）交于点D，连接AB、BD、DC、CA，四边形ABDC即为所求菱形（保留作图痕迹）。
(2) 连接AD，交BC于点E。
∵ 四边形ABDC是菱形，
∴ AD⊥BC，且BE = ½BC，AE = DE（菱形的对角线互相垂直且平分）。
已知BC=2，AB=3，
∴ BE = ½×2 = 1。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE = √(AB² - BE²) = √(3² - 1²) = √(9 - 1) = 2√2。
∴ AD = 2AE = 2×2√2 = 4√2。
【答案】
4√2
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题综合考查菱形的作图与性质应用，结合等腰三角形的特征，利用菱形对角线垂直平分的性质，通过勾股定理计算对角线长度，属于基础几何题，需掌握菱形的基本性质和尺规作图的方法。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需构造以A、B、C、D为顶点的菱形，利用菱形四条边相等的性质，结合等腰三角形AB=AC的特点，在BC的另一侧确定点D，使AB=BD=DC=CA，即可得到菱形；第(2)问利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理计算对角线AD的长度，需先找到对角线交点，再利用直角三角形的勾股定理求线段长。
【解析】
(1) 作图：以点B为圆心、AB长为半径画弧，以点C为圆心、AB长为半径画弧，两弧在BC的另一侧（与点A异侧）交于点D，连接AB、BD、DC、CA，四边形ABDC即为所求菱形（保留作图痕迹）。
(2) 连接AD，交BC于点E。
∵ 四边形ABDC是菱形，
∴ AD⊥BC，且BE = ½BC，AE = DE（菱形的对角线互相垂直且平分）。
已知BC=2，AB=3，
∴ BE = ½×2 = 1。
在Rt△ABE中，由勾股定理得：
AE = √(AB² - BE²) = √(3² - 1²) = √(9 - 1) = 2√2。
∴ AD = 2AE = 2×2√2 = 4√2。
【答案】
4√2
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、尺规作图
【点评】
本题综合考查菱形的作图与性质应用，结合等腰三角形的特征，利用菱形对角线垂直平分的性质，通过勾股定理计算对角线长度，属于基础几何题，需掌握菱形的基本性质和尺规作图的方法。
【难度系数】
0.6
19.(7分)学校广播站要招聘一名编辑,甲、乙、丙三名同学报名并参加了三项素质测试,成绩如下表(单位:分)。
(1)计算得甲、乙的平均分分别为80分、79分,请求出丙的平均分,并根据三人的平均分从高到低将三人进行排序。
(2)学校认为:①单项最低分不能低于75分;②三项测试的重要程度有所不同,每名应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按$5:2:3$计入最终成绩。请问:谁能成功应聘?
(1)计算得甲、乙的平均分分别为80分、79分,请求出丙的平均分,并根据三人的平均分从高到低将三人进行排序。
(2)学校认为:①单项最低分不能低于75分;②三项测试的重要程度有所不同,每名应聘者的语言文字能力、运用媒体能力、创意设计能力的成绩应按$5:2:3$计入最终成绩。请问:谁能成功应聘?
答案
(1)$\overline x_丙=\frac{80+78+85}{3}=81$(分),所以三名应聘者的排名顺序为丙、甲、乙。
(2)由题意得,乙不符合条件①。
$\overline x_甲=\frac{86×5+77×2+77×3}{10}=81.5$(分),$\overline x_丙=\frac{80×5+78×2+85×3}{10}=81.1$(分),所以$\overline x_甲＞\overline x_丙$。所以甲应聘成功。
(2)由题意得,乙不符合条件①。
$\overline x_甲=\frac{86×5+77×2+77×3}{10}=81.5$(分),$\overline x_丙=\frac{80×5+78×2+85×3}{10}=81.1$(分),所以$\overline x_甲＞\overline x_丙$。所以甲应聘成功。
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需计算算术平均分，即各科目成绩之和除以科目数量，再根据平均分高低排序；第(2)问需先根据“单项最低分不低于75分”的条件排除不符合的应聘者，再按给定的权重比例计算加权平均分，比较后确定录取者。解题时需注意区分算术平均数与加权平均数的计算规则，同时不能忽略题目中的限制条件。
【解析】
(1) 计算丙的算术平均分：根据算术平均数公式，$\overline{x}_丙=\frac{80+78+85}{3}=\frac{243}{3}=81$（分）。已知甲平均分80分，乙平均分79分，比较得$81＞80＞79$，因此三人排名顺序为丙、甲、乙。
(2) 先检查单项最低分要求：乙的创意设计能力成绩为74分，低于75分，不符合条件①，排除乙。
再计算加权平均分，权重比为$5:2:3$，总权重为$5+2+3=10$：
甲的加权平均分：$\overline{x}_甲=\frac{86×5 + 77×2 + 77×3}{10}=\frac{430 + 154 + 231}{10}=81.5$（分）；
丙的加权平均分：$\overline{x}_丙=\frac{80×5 + 78×2 + 85×3}{10}=\frac{400 + 156 + 255}{10}=81.1$（分）；
比较得$81.5＞81.1$，故甲的加权平均分更高，甲成功应聘。
【答案】
(1) 丙的平均分为81分，排名顺序为丙、甲、乙；(2) 甲成功应聘。
【知识点】
算术平均数、加权平均数、数据的分析
【点评】
本题考查基础统计知识的应用，需掌握算术平均数与加权平均数的计算方法，同时注意题目中的限制条件，避免遗漏条件导致错误，属于难度适中的应用题。
【难度系数】
0.6
本题分为两小问，第(1)问需计算算术平均分，即各科目成绩之和除以科目数量，再根据平均分高低排序；第(2)问需先根据“单项最低分不低于75分”的条件排除不符合的应聘者，再按给定的权重比例计算加权平均分，比较后确定录取者。解题时需注意区分算术平均数与加权平均数的计算规则，同时不能忽略题目中的限制条件。
【解析】
(1) 计算丙的算术平均分：根据算术平均数公式，$\overline{x}_丙=\frac{80+78+85}{3}=\frac{243}{3}=81$（分）。已知甲平均分80分，乙平均分79分，比较得$81＞80＞79$，因此三人排名顺序为丙、甲、乙。
(2) 先检查单项最低分要求：乙的创意设计能力成绩为74分，低于75分，不符合条件①，排除乙。
再计算加权平均分，权重比为$5:2:3$，总权重为$5+2+3=10$：
甲的加权平均分：$\overline{x}_甲=\frac{86×5 + 77×2 + 77×3}{10}=\frac{430 + 154 + 231}{10}=81.5$（分）；
丙的加权平均分：$\overline{x}_丙=\frac{80×5 + 78×2 + 85×3}{10}=\frac{400 + 156 + 255}{10}=81.1$（分）；
比较得$81.5＞81.1$，故甲的加权平均分更高，甲成功应聘。
【答案】
(1) 丙的平均分为81分，排名顺序为丙、甲、乙；(2) 甲成功应聘。
【知识点】
算术平均数、加权平均数、数据的分析
【点评】
本题考查基础统计知识的应用，需掌握算术平均数与加权平均数的计算方法，同时注意题目中的限制条件，避免遗漏条件导致错误，属于难度适中的应用题。
【难度系数】
0.6
