20. (7分)如图,已知$□ ABCD$,延长AB至点E,使$BE=AB$,连结CE,DE,DB。
(1)求证:四边形BECD是平行四边形。
(2)当$∠ A=∠ ADB$时,求证:$BC⊥ DE$。

(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以$AB//CD,AB=CD$。
又因为$BE=AB$,所以$BE=CD$。所以四边形BECD是平行四边形。
(2)因为$∠A=∠ADB$,所以$AB=BD$。因为$BE=AB$,所以$BE=BD$。
所以平行四边形BECD是菱形。所以$BC⊥ED$。

【分析】
要证明四边形BECD是平行四边形，利用已知平行四边形ABCD的对边平行且相等，结合BE=AB，可得到BE与CD平行且相等，根据平行四边形判定定理即可完成证明；要证明BC⊥DE，先由∠A=∠ADB推出AB=BD，结合BE=AB得BE=BD，结合已证的平行四边形BECD，邻边相等的平行四边形是菱形，再利用菱形对角线互相垂直的性质即可得证。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AB=CD（平行四边形的对边平行且相等）。
又
∵BE=AB，
∴BE=CD，且BE//CD（AB与BE共线，AB//CD，故BE//CD），
∴四边形BECD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。
(2) 证明：
∵∠A=∠ADB，
∴AB=BD（等角对等边）。
又
∵BE=AB，
∴BE=BD。
由(1)知四边形BECD是平行四边形，且BE=BD，
∴平行四边形BECD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）。
∵菱形的对角线互相垂直，
∴BC⊥DE。
【答案】
(1) 四边形BECD是平行四边形；(2) BC⊥DE。
【知识点】
平行四边形的判定，菱形的判定与性质
【点评】
本题考查平行四边形、菱形的判定与性质，是几何证明的基础题型，需熟练掌握相关定理，注重逻辑推理能力的运用。
【难度系数】
0.6

21. (7分)已知一元二次方程$x^2+bx+c=0$。
(1)当$b=2$时,若方程的一个根为$-3$,求$c$的值以及方程的另一个根。
(2)当$c+1=\frac{1}{4}b^2$时,请判断方程根的情况。

(1)因为当$b=2$时,方程的一个根为$-3$,所以$(-3)^2+2×(-3)+c=0$,解得$c=-3$。
所以方程为$x^2+2x-3=0$,解得$x_1=-3,x_2=1$。所以方程的另一个根为1。
(2)因为$c+1=\frac{1}{4}b^2$,所以$\Delta=b^2-4c=b^2-4(\frac{1}{4}b^2-1)=b^2-b^2+4=4＞0$。所以原方程有两个不相等的实数根。

【分析】
第(1)问，已知b的值和方程的一个根，根据一元二次方程根的定义，将已知根代入方程可求出c的值，再代入原方程求解，即可得到另一个根；第(2)问，判断一元二次方程根的情况需计算判别式Δ，结合题目给出的c与b的关系，将c用b表示后代入Δ计算，根据Δ的正负判断根的情况。
【解析】
(1)当b=2时，方程为$x^2+2x+c=0$，将根$x=-3$代入方程得：$(-3)^2 + 2×(-3) + c = 0$，计算得$9 - 6 + c = 0$，解得$c=-3$。此时方程为$x^2+2x-3=0$，因式分解得$(x+3)(x-1)=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故方程的另一个根为1。
(2)由$c+1=\frac{1}{4}b^2$，可得$c=\frac{1}{4}b^2 -1$。一元二次方程$x^2+bx+c=0$的判别式$\Delta = b^2 - 4c$，将$c=\frac{1}{4}b^2 -1$代入得：$\Delta = b^2 - 4×(\frac{1}{4}b^2 -1) = b^2 - b^2 +4 = 4＞0$，因此原方程有两个不相等的实数根。
【答案】
(1)$c=-3$，方程的另一个根为1；(2)原方程有两个不相等的实数根。
【知识点】
一元二次方程根的定义、一元二次方程根的判别式
【点评】
本题考查一元二次方程的基础知识点，包括根的定义应用和根的判别式的计算，属于常规基础题型，难度适中，需学生掌握判别式的计算方法及方程根的求解技巧。
【难度系数】
0.7