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22.(7分)根据以下素材,探索完成任务。
探索设计停车场
背景
社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场,其布局如图1所示,空地四周围墙,需留出通道出行,入口在左上角,出口在右下角。已知$AB=18\ \mathrm{m}, BC=32\ \mathrm{m}$。按照中小车型停车位划线标准,停车位的宽度都相同,且停车位的宽度不小于$4.8\ \mathrm{m}$。
方案
如图2,设计四列阴影部分为停车位,且停车位的宽度相同,即$GH=2BE=2DF$,其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位的总面积为$180\ \mathrm{m}^2$,请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4 m,当停车位的宽度取多少时,停车位的总面积大?请求出最大停车位总面积。
探索设计停车场
背景
社区利用一块矩形空地建了一个小型停车场,其布局如图1所示,空地四周围墙,需留出通道出行,入口在左上角,出口在右下角。已知$AB=18\ \mathrm{m}, BC=32\ \mathrm{m}$。按照中小车型停车位划线标准,停车位的宽度都相同,且停车位的宽度不小于$4.8\ \mathrm{m}$。
方案
如图2,设计四列阴影部分为停车位,且停车位的宽度相同,即$GH=2BE=2DF$,其余部分是等宽的通道。
任务1 若停车位的总面积为$180\ \mathrm{m}^2$,请计算停车位的宽度是否符合标准。
任务2 若通道的宽度要求不小于4 m,当停车位的宽度取多少时,停车位的总面积大?请求出最大停车位总面积。
答案
任务1:设停车位的宽度为$x$ m,通道的宽度为$y$ m。由题意可知$4x+2y=32$,所以$y=16-2x$。
因为停车位总面积为$180\ \mathrm{m}^2$,所以$x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180$,把$y=16-2x$代入,得$x(18-16+2x)×2+2x×(18-32+4x)=180$,解得$x=5$或$x=-3$(舍去)。因为$5＞4.8$,所以停车位符合标准。
任务2:设停车位的总面积为$S\ \mathrm{m}^2$。由任务1可知:$y=16-2x$,所以$S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x)×2+2x×(18-32+4x)=12x^2-24x=12(x-1)^2-12$。因为$y=16-2x≥4$且$x≥4.8$,所以$4.8≤x≤6$。所以当$x=6$时,$S_{最大}=12×(6-1)^2-12=288$。所以当停车位的宽度为6 m时,停车位的总面积最大为$288\ \mathrm{m}^2$。
因为停车位总面积为$180\ \mathrm{m}^2$,所以$x(18-y)×2+2x×(18-2y)=180$,把$y=16-2x$代入,得$x(18-16+2x)×2+2x×(18-32+4x)=180$,解得$x=5$或$x=-3$(舍去)。因为$5＞4.8$,所以停车位符合标准。
任务2:设停车位的总面积为$S\ \mathrm{m}^2$。由任务1可知:$y=16-2x$,所以$S=x(18-y)×2+2x×(18-2y)=x(18-16+2x)×2+2x×(18-32+4x)=12x^2-24x=12(x-1)^2-12$。因为$y=16-2x≥4$且$x≥4.8$,所以$4.8≤x≤6$。所以当$x=6$时,$S_{最大}=12×(6-1)^2-12=288$。所以当停车位的宽度为6 m时,停车位的总面积最大为$288\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
首先设停车位宽度为$ x \, \mathrm{m} $，通道宽度为$ y \, \mathrm{m} $，根据图2的横向总长度关系得出$ y $与$ x $的表达式。任务1利用停车位总面积建立一元二次方程，求解$ x $并与标准值比较判断是否符合要求；任务2结合通道宽度和停车位宽度的限制确定$ x $的取值范围，将停车位总面积表示为关于$ x $的二次函数，利用二次函数的性质求最大值。
【解析】
任务1：
设停车位的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，通道的宽度为$ y \, \mathrm{m} $。
由图2的横向长度关系，总长度$ BC = 32 \, \mathrm{m} $，可得：
$ 4x + 2y = 32 $，整理得$ y = 16 - 2x $。
已知停车位总面积为$ 180 \, \mathrm{m}^2 $，结合停车位的面积组成，列方程：
$ x(18 - y) × 2 + 2x(18 - 2y) = 180 $。
将$ y = 16 - 2x $代入方程：
$\begin{aligned}x(18 - (16 - 2x)) × 2 + 2x(18 - 2(16 - 2x)) &= 180 \\x(2 + 2x) × 2 + 2x(-14 + 4x) &= 180 \\4x + 4x^2 - 28x + 8x^2 &= 180 \\12x^2 - 24x &= 180 \\x^2 - 2x - 15 &= 0\end{aligned}$
解得$ x = 5 $或$ x = -3 $（舍去）。
因为$ 5 ＞ 4.8 $，所以停车位的宽度符合标准。
任务2：
设停车位的总面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，由任务1知$ y = 16 - 2x $，则：
$ S = x(18 - y) × 2 + 2x(18 - 2y) = 12x^2 - 24x $。
根据通道宽度要求$ y ≥ 4 $，即$ 16 - 2x ≥ 4 $，解得$ x ≤ 6 $；
又停车位宽度$ x ≥ 4.8 $，所以$ x $的取值范围是$ 4.8 ≤ x ≤ 6 $。
将$ S $配方得：$ S = 12(x - 1)^2 - 12 $，
因为二次函数开口向上，对称轴为$ x = 1 $，在$ 4.8 ≤ x ≤ 6 $上，$ S $随$ x $的增大而增大，
所以当$ x = 6 $时，$ S $取得最大值，$ S_{\mathrm{最大}} = 12(6 - 1)^2 - 12 = 288 $。
【答案】
任务1：停车位的宽度为5 m，符合标准；任务2：当停车位宽度为6 m时，停车位总面积最大，最大为288 m²。
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的应用
【点评】
本题结合实际停车场设计场景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，关键是根据图形的长度关系建立数学模型，确定变量的取值范围，利用方程求解和函数性质解决问题，体现了数学建模的核心素养。
【难度系数】
0.5
首先设停车位宽度为$ x \, \mathrm{m} $，通道宽度为$ y \, \mathrm{m} $，根据图2的横向总长度关系得出$ y $与$ x $的表达式。任务1利用停车位总面积建立一元二次方程，求解$ x $并与标准值比较判断是否符合要求；任务2结合通道宽度和停车位宽度的限制确定$ x $的取值范围，将停车位总面积表示为关于$ x $的二次函数，利用二次函数的性质求最大值。
【解析】
任务1：
设停车位的宽度为$ x \, \mathrm{m} $，通道的宽度为$ y \, \mathrm{m} $。
由图2的横向长度关系，总长度$ BC = 32 \, \mathrm{m} $，可得：
$ 4x + 2y = 32 $，整理得$ y = 16 - 2x $。
已知停车位总面积为$ 180 \, \mathrm{m}^2 $，结合停车位的面积组成，列方程：
$ x(18 - y) × 2 + 2x(18 - 2y) = 180 $。
将$ y = 16 - 2x $代入方程：
$\begin{aligned}x(18 - (16 - 2x)) × 2 + 2x(18 - 2(16 - 2x)) &= 180 \\x(2 + 2x) × 2 + 2x(-14 + 4x) &= 180 \\4x + 4x^2 - 28x + 8x^2 &= 180 \\12x^2 - 24x &= 180 \\x^2 - 2x - 15 &= 0\end{aligned}$
解得$ x = 5 $或$ x = -3 $（舍去）。
因为$ 5 ＞ 4.8 $，所以停车位的宽度符合标准。
任务2：
设停车位的总面积为$ S \, \mathrm{m}^2 $，由任务1知$ y = 16 - 2x $，则：
$ S = x(18 - y) × 2 + 2x(18 - 2y) = 12x^2 - 24x $。
根据通道宽度要求$ y ≥ 4 $，即$ 16 - 2x ≥ 4 $，解得$ x ≤ 6 $；
又停车位宽度$ x ≥ 4.8 $，所以$ x $的取值范围是$ 4.8 ≤ x ≤ 6 $。
将$ S $配方得：$ S = 12(x - 1)^2 - 12 $，
因为二次函数开口向上，对称轴为$ x = 1 $，在$ 4.8 ≤ x ≤ 6 $上，$ S $随$ x $的增大而增大，
所以当$ x = 6 $时，$ S $取得最大值，$ S_{\mathrm{最大}} = 12(6 - 1)^2 - 12 = 288 $。
【答案】
任务1：停车位的宽度为5 m，符合标准；任务2：当停车位宽度为6 m时，停车位总面积最大，最大为288 m²。
【知识点】
一元二次方程的应用、二次函数的应用
【点评】
本题结合实际停车场设计场景，考查一元二次方程和二次函数的实际应用，关键是根据图形的长度关系建立数学模型，确定变量的取值范围，利用方程求解和函数性质解决问题，体现了数学建模的核心素养。
【难度系数】
0.5
