23.(9分)如图,正方形ABCD的边长为2,点E在边BC上,BE的中垂线分别交AC,BC于点P,N,延长CB至点F,使$BF=\frac{1}{2}CE$,连结PD,PE,PF。
(1)求证:$PE=PD$。
(2)设$CE=a(a＞0)$,四边形CDPE的面积为S。
①用含a的代数式表示S。
②当$△ PEF$为等腰三角形时,求S的值。

(1)如图,连结PB。因为PN垂直平分BE,所以$PE=PB$。因为四边形ABCD是正方形,所以$BC=CD,∠ACB=∠ACD=45°$。因为$PC=PC$,所以$△BCP≌△DCP$。所以$PD=PB$。所以$PE=PD$。
(2)①如图,过点P作$PM⊥CD$于点M。
因为PN垂直平分BE,$∠ACB=∠ACD=45°$,$CE=a$,
所以$BN=NE=\frac{2-a}{2}=1-\frac{a}{2}$,$PN=PM=CN=1+\frac{a}{2}$。
所以$S=S_{△PCE}+S_{△PCD}=\frac{1}{2}a(1+\frac{a}{2})+\frac{1}{2}×2(1+\frac{a}{2})=(1+\frac{a}{2})^2$。
②因为$BF=\frac{1}{2}CE=\frac{1}{2}a$,所以$FN=\frac{1}{2}a+1-\frac{a}{2}=1$,$FE=\frac{1}{2}a+2-a=2-\frac{a}{2}$。因为$PF＞PB=PE$,所以有两种情况:
Ⅰ.当$FP=FE$时,$FP^2=FE^2$,所以$1^2+(1+\frac{a}{2})^2=(2-\frac{a}{2})^2$,解得$a=\frac{2}{3}$。 所以$S=(1+\frac{a}{2})^2=(1+\frac{1}{3})^2=\frac{16}{9}$。
Ⅱ.当$PE=EF$时,$PE^2=EF^2$,所以$(2-\frac{a}{2})^2=(1+\frac{a}{2})^2+(1-\frac{a}{2})^2$,解得$a=-4±2\sqrt{6}$。
因为$a＞0$,所以$a=-4+2\sqrt{6}$。 所以$S=(1+\frac{a}{2})^2=(1-2+\sqrt{6})^2=7-2\sqrt{6}$。
综上所述,S的值为$\frac{16}{9}$或$7-2\sqrt{6}$。

【分析】
本题为正方形几何综合题，解题思路如下：
1. 第(1)问要证PE=PD，先利用线段垂直平分线性质得PE=PB，再结合正方形对角线AC的性质，通过SAS证明△BCP≌△DCP，推出PB=PD，从而得到PE=PD；
2. 第(2)问①求四边形CDPE的面积，将其拆分为△PCE和△PCD的面积之和，利用PN是BE的中垂线，结合正方形中P到BC、CD的距离相等，求出两个三角形的底和高，进而用含a的代数式表示面积；
3. 第(2)问②当△PEF为等腰三角形时，先计算各边长度表达式，分FP=FE、PE=EF两种情况列方程求解，再代入面积公式得到S的值。
【解析】
(1) 证明：连结PB。
∵ PN垂直平分BE，
∴ PE=PB。
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ BC=CD，∠ACB=∠ACD=45°。
又
∵ PC=PC，
∴ △BCP≌△DCP（SAS），
∴ PD=PB。
∴ PE=PD。
(2) ① 过点P作PM⊥CD于点M。
∵ PN垂直平分BE，CE=a，正方形边长为2，
∴ BE=2 - a，BN=NE=(2 - a)/2，
∴ CN=BC - BN=2 - (2 - a)/2=(2 + a)/2，
∵ P在正方形对角线AC上，
∴ P到BC和CD的距离相等，即PM=PN=(2 + a)/2，
∴ S=S△PCE + S△PCD
= (1/2)×CE×PN + (1/2)×CD×PM
= (1/2)×a×(2 + a)/2 + (1/2)×2×(2 + a)/2
= (1 + a/2)²。
② 计算各边长度：
BF=(1/2)CE=(1/2)a，
FN=FB + BN=(1/2)a + (2 - a)/2=1，
FE=FC - CE=(FB + BC) - CE=(1/2 a + 2) - a=2 - a/2，
$PF²=FN² + PN²=1² + [(2 + a)/2]^2$，
$PE²=PN² + NE²=[(2 + a)/2]^2 + [(2 - a)/2]^2$。
分两种情况：
Ⅰ. 当FP=FE时，FP²=FE²：
$1 + [(2 + a)/2]^2 = (2 - a/2)^2$，
解得a=2/3，代入S=(1 + a/2)²=(1 + 1/3)²=16/9；
Ⅱ. 当PE=EF时，PE²=EF²：
$[(2 + a)/2]^2 + [(2 - a)/2]^2 = (2 - a/2)^2$，
解得a=-4 + 2√6（a＞0），代入S=(1 + a/2)²=(√6 -1)²=7 - 2√6；
综上，S的值为16/9或7 - 2√6。
【答案】
(1) 证明成立；(2)① S=(1 + a/2)²；② S的值为16/9或7 - 2√6
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、等腰三角形性质
【点评】
本题是正方形与线段垂直平分线、全等三角形、等腰三角形的综合题，需熟练运用正方形性质，通过辅助线构造全等三角形，分情况讨论等腰三角形的不同情况，考查逻辑推理与分类讨论能力，难度适中。
【难度系数】
0.4