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22. (10 分)某商店销售 12 台 A 型和 5 台 B 型空调的利润为 1 950 元,销售 8 台 A 型和 10 台 B 型空调的利润为 2 300 元.
(1)求每台 A 型空调和 B 型空调的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的空调共 99 台,其中 B 型空调的进货量不超过 A 型空调的2 倍,设购进 A 型空调 x 台,这 99 台空调的销售总利润为 y 元,该商店购进 A 型、B 型空调各多少台,才能使销售总利润最大？销售总利润最大为多少元？
(3)实际进货时,厂家对 A 型空调出厂价下调 $m(50 ＜ m ＜ 90)$ 元,且限定商店最多可购进 A 型空调66 台,若商店保持同种空调的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这99 台空调销售总利润最大的进货方案.
(1)求每台 A 型空调和 B 型空调的销售利润；
(2)该商店计划一次购进两种型号的空调共 99 台,其中 B 型空调的进货量不超过 A 型空调的2 倍,设购进 A 型空调 x 台,这 99 台空调的销售总利润为 y 元,该商店购进 A 型、B 型空调各多少台,才能使销售总利润最大？销售总利润最大为多少元？
(3)实际进货时,厂家对 A 型空调出厂价下调 $m(50 ＜ m ＜ 90)$ 元,且限定商店最多可购进 A 型空调66 台,若商店保持同种空调的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这99 台空调销售总利润最大的进货方案.
答案
【点拨】本题考查一次函数的应用、二元一次方程组及一元一次不等式的应用,解题关键是熟练掌握一次函数的性质.
【解析】(1)设每台A型空调的销售利润是$n$元,每台B型空调的销售利润是$t$元,
依题意,得$\begin{cases} 12n + 5t = 1950, \\ 8n + 10t = 2300, \end{cases}$解得$\begin{cases} n=100, \\ t=150. \end{cases}$
答:每台A型空调的销售利润是100元,每台B型空调的销售利润是150元.
(2)依题意,得$y=100x + 150(99-x) = -50x + 14850$.
$\because x ≤ 99$,$99-x ≤ 2x$,$\therefore 33 ≤ x ≤ 99$.
$\because -50 ＜ 0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$ 当$x=33$时,$y_{\mathrm{最大值}} = -50 × 33 + 14850 = 13200$,
$\therefore$ 购进B型空调$99-33=66$(台).
答:商店购进33台A型空调和66台B型空调,才能使销售总利润最大,最大利润为13200元.
(3)由题意,得$y=(100+m)x + 150(99-x) = (m-50)x + 14850$.
又$\because 33 ≤ x ≤ 66$,
$\therefore$ 当$50 ＜ m ＜ 90$时,$m-50 ＞ 0$,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$x=66$时,$y$取得最大值,此时$99-x=33$,
$\therefore$ 商店购进66台A型空调和33台B型空调的销售利润最大.
答:这99台空调销售总利润最大的进货方案是购进66台A型空调和33台B型空调.
【解析】(1)设每台A型空调的销售利润是$n$元,每台B型空调的销售利润是$t$元,
依题意,得$\begin{cases} 12n + 5t = 1950, \\ 8n + 10t = 2300, \end{cases}$解得$\begin{cases} n=100, \\ t=150. \end{cases}$
答:每台A型空调的销售利润是100元,每台B型空调的销售利润是150元.
(2)依题意,得$y=100x + 150(99-x) = -50x + 14850$.
$\because x ≤ 99$,$99-x ≤ 2x$,$\therefore 33 ≤ x ≤ 99$.
$\because -50 ＜ 0$,$\therefore y$随$x$的增大而减小,
$\therefore$ 当$x=33$时,$y_{\mathrm{最大值}} = -50 × 33 + 14850 = 13200$,
$\therefore$ 购进B型空调$99-33=66$(台).
答:商店购进33台A型空调和66台B型空调,才能使销售总利润最大,最大利润为13200元.
(3)由题意,得$y=(100+m)x + 150(99-x) = (m-50)x + 14850$.
又$\because 33 ≤ x ≤ 66$,
$\therefore$ 当$50 ＜ m ＜ 90$时,$m-50 ＞ 0$,$y$随$x$的增大而增大,
$\therefore$ 当$x=66$时,$y$取得最大值,此时$99-x=33$,
$\therefore$ 商店购进66台A型空调和33台B型空调的销售利润最大.
答:这99台空调销售总利润最大的进货方案是购进66台A型空调和33台B型空调.
解析
【分析】
本题分三小问逐步解决：第(1)问，根据两种销售空调的利润组合，设未知数建立二元一次方程组，求解得到每台A、B型空调的销售利润；第(2)问，先表示总利润的函数表达式，再根据B型进货量不超过A型的2倍确定x的取值范围，结合一次函数的单调性求总利润最大值；第(3)问，调整A型空调利润后重新写出总利润函数，结合限定条件和m的范围，判断函数单调性，确定最优进货方案。
【解析】
(1)设每台A型空调的销售利润为$n$元，每台B型空调的销售利润为$t$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}12n + 5t = 1950 \\ 8n + 10t = 2300\end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边乘2得$24n + 10t = 3900$，减去第二个方程得$16n = 1600$，解得$n=100$；把$n=100$代入第一个方程，得$12×100 +5t=1950$，解得$t=150$。
答：每台A型空调销售利润100元，每台B型空调销售利润150元。
(2)设购进A型空调$x$台，则B型空调为$(99-x)$台，总利润$y=100x +150(99-x)= -50x +14850$。
根据条件：B型进货量不超过A型的2倍，即$99-x ≤2x$，结合$x≥0$、$99-x≥0$，解得$33≤x≤99$。
因为一次函数$y=-50x+14850$中，$k=-50＜0$，所以$y$随$x$增大而减小，故当$x=33$时，$y$取得最大值，最大值为$-50×33 +14850=13200$，此时B型空调数量为$99-33=66$台。
答：购进33台A型空调和66台B型空调时总利润最大，最大利润为13200元。
(3)A型空调利润调整为$(100+m)$元，总利润$y=(100+m)x +150(99-x)=(m-50)x +14850$。
结合限定条件：$33≤x≤66$（最多购进A型空调66台），又$50＜m＜90$，所以$m-50＞0$，一次函数$y=(m-50)x +14850$中$k=m-50＞0$，$y$随$x$增大而增大，故当$x=66$时，$y$取得最大值，此时B型空调数量为$99-66=33$台。
答：购进66台A型空调和33台B型空调时总利润最大。
【答案】
(1)每台A型空调销售利润100元，每台B型空调销售利润150元；
(2)购进33台A型空调和66台B型空调，最大利润13200元；
(3)购进66台A型空调和33台B型空调。
【知识点】
二元一次方程组应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数与方程、不等式结合的实际应用问题，需要学生建立数学模型，利用函数单调性和不等式确定自变量范围求解最值，考查学生的综合应用能力，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
本题分三小问逐步解决：第(1)问，根据两种销售空调的利润组合，设未知数建立二元一次方程组，求解得到每台A、B型空调的销售利润；第(2)问，先表示总利润的函数表达式，再根据B型进货量不超过A型的2倍确定x的取值范围，结合一次函数的单调性求总利润最大值；第(3)问，调整A型空调利润后重新写出总利润函数，结合限定条件和m的范围，判断函数单调性，确定最优进货方案。
【解析】
(1)设每台A型空调的销售利润为$n$元，每台B型空调的销售利润为$t$元，根据题意列方程组：
$\begin{cases}12n + 5t = 1950 \\ 8n + 10t = 2300\end{cases}$
解方程组：将第一个方程两边乘2得$24n + 10t = 3900$，减去第二个方程得$16n = 1600$，解得$n=100$；把$n=100$代入第一个方程，得$12×100 +5t=1950$，解得$t=150$。
答：每台A型空调销售利润100元，每台B型空调销售利润150元。
(2)设购进A型空调$x$台，则B型空调为$(99-x)$台，总利润$y=100x +150(99-x)= -50x +14850$。
根据条件：B型进货量不超过A型的2倍，即$99-x ≤2x$，结合$x≥0$、$99-x≥0$，解得$33≤x≤99$。
因为一次函数$y=-50x+14850$中，$k=-50＜0$，所以$y$随$x$增大而减小，故当$x=33$时，$y$取得最大值，最大值为$-50×33 +14850=13200$，此时B型空调数量为$99-33=66$台。
答：购进33台A型空调和66台B型空调时总利润最大，最大利润为13200元。
(3)A型空调利润调整为$(100+m)$元，总利润$y=(100+m)x +150(99-x)=(m-50)x +14850$。
结合限定条件：$33≤x≤66$（最多购进A型空调66台），又$50＜m＜90$，所以$m-50＞0$，一次函数$y=(m-50)x +14850$中$k=m-50＞0$，$y$随$x$增大而增大，故当$x=66$时，$y$取得最大值，此时B型空调数量为$99-66=33$台。
答：购进66台A型空调和33台B型空调时总利润最大。
【答案】
(1)每台A型空调销售利润100元，每台B型空调销售利润150元；
(2)购进33台A型空调和66台B型空调，最大利润13200元；
(3)购进66台A型空调和33台B型空调。
【知识点】
二元一次方程组应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是一次函数与方程、不等式结合的实际应用问题，需要学生建立数学模型，利用函数单调性和不等式确定自变量范围求解最值，考查学生的综合应用能力，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
23. (11 分)问题背景:如图 1,正方形 ABCD 的边长为 4,M,N 是边 AB,BC 上两点,且 $BM = CN = 1$,连接 CM,DN,CM 与 DN 相交于点 O.
(1)解决问题:请判断 CM 与 DN 的关系,并说明理由;
(2)探索发现:如图 2,若 E,F 分别是 DN 与 CM 的中点,请求出 EF 的长;
(3)拓展提高:如图 3,延长 CM 至点 P,连接 BP,若 $∠BPC = 45°$,请直接写出线段 PM 的长.
(1)解决问题:请判断 CM 与 DN 的关系,并说明理由;
(2)探索发现:如图 2,若 E,F 分别是 DN 与 CM 的中点,请求出 EF 的长;
(3)拓展提高:如图 3,延长 CM 至点 P,连接 BP,若 $∠BPC = 45°$,请直接写出线段 PM 的长.
答案
【点拨】本题考查正方形的性质,全等三角形的判定与性质,中位线性质和勾股定理,解题关键是构造三角形$CGM$从而使用中位线定理,作$BH ⊥ CM$构造直角三角形$PHB$.
【解析】(1)$CM=DN$,且$DN ⊥ CM$. 理由如下:
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore$ 在$△ BCM$和$△ CDN$中,$\begin{cases} BC=CD, \\ ∠ B = ∠ NCD, \\ BM=CN, \end{cases}$
$\therefore △ BCM ≌ △ CDN(\mathrm{SAS})$,
$\therefore CM=DN$,$∠ BCM = ∠ CDN$.
$\because ∠ BCM + ∠ MCD = 90°$,
$\therefore ∠ CDN + ∠ MCD = 90°$,
$\therefore ∠ COD = 90°$,$\therefore DN ⊥ CM$,
$\therefore$ 线段$CM$和$DN$的关系为$CM=DN$,且$DN ⊥ CM$.
(2)如图1,连接$CE$并延长交$AD$于点$G$,连接$GM$.
$\because$ 四边形$ABCD$是正方形,
$\therefore AD=AB$,$∠ A=90°$,$BC// AD$,$\therefore ∠ ENC = ∠ EDG$.
$\because E$,$F$分别是$DN$与$CM$的中点,
$\therefore NE=DE$,$MF=CF$.
在$△ CNE$和$△ GDE$中,$\begin{cases} ∠ ENC = ∠ EDG, \\ NE=DE, \\ ∠ NEC = ∠ DEG, \end{cases}$
$\therefore △ CNE ≌ △ GDE(\mathrm{ASA})$,
$\therefore CE=EG$,$GD=CN=1$.
又$\because MF=CF$,$\therefore EF$为$△ CMG$的中位线,$\therefore EF = \dfrac{1}{2}MG$.
$\because$ 正方形的边长为4,$BM=DG=1$,$\therefore AM=AG=3$.
在$\mathrm{Rt}△ AGM$中,由勾股定理,得$AM^2 + AG^2 = GM^2$,
$\therefore 3^2 + 3^2 = GM^2$,$\therefore GM=3\sqrt{2}$,
$\therefore EF = \dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
(3)如图2,过点$B$作$BH ⊥ CM$于点$H$.
$\because CM^2 = BC^2 + BM^2$,
$\therefore CM = \sqrt{4^2 + 1^2} = \sqrt{17}$.
$\because S_{△ CMB} = \dfrac{1}{2}CM · BH = \dfrac{1}{2}BC · BM$,
$\therefore BH = \dfrac{4\sqrt{17}}{17}$,
$\therefore MH = \sqrt{BM^2 - BH^2} = \dfrac{\sqrt{17}}{17}$.
$\because ∠ BPC = 45°$,
$\therefore PH = BH = \dfrac{4\sqrt{17}}{17}$,
$\therefore PM = PH - MH = \dfrac{4\sqrt{17}}{17} - \dfrac{\sqrt{17}}{17} = \dfrac{3\sqrt{17}}{17}$.
解析
【分析】
本题是正方形的综合几何题，分三小问逐步推导：第(1)问需从边和位置两方面判断CM与DN的关系，利用正方形性质构造全等三角形，再通过角的等量代换证明垂直；第(2)问利用中点构造中位线，通过全等三角形转化线段，结合勾股定理计算；第(3)问通过作高构造直角三角形，用面积法求高，结合等腰直角三角形性质计算PM的长度。
【解析】
(1) CM=DN，且DN⊥CM，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，
在△BCM和△CDN中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD \\ ∠B=∠NCD \\ BM=CN \end{array} $
∴△BCM≌△CDN(SAS)，
∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，
∵∠BCM + ∠MCD=90°，
∴∠CDN + ∠MCD=90°，
∴∠COD=90°，即DN⊥CM，
∴CM与DN的关系为CM=DN且DN⊥CM。
(2) 如图1，连接CE并延长交AD于点G，连接GM。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AD=AB=4，∠A=90°，
∴∠ENC=∠EDG，
∵E是DN中点，
∴NE=DE，
在△CNE和△GDE中，
$\{\begin{array}{l} ∠ENC=∠EDG \\ NE=DE \\ ∠NEC=∠DEG \end{array} $
∴△CNE≌△GDE(ASA)，
∴CE=EG，GD=CN=1，
∵F是CM中点，
∴EF是△CMG的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$MG，
∵AM=AB - BM=4 - 1=3，AG=AD - GD=4 - 1=3，
在Rt△AGM中，GM=$\sqrt{AM^2 + AG^2}$=$\sqrt{3^2 + 3^2}$=3$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
(3) 如图2，过点B作BH⊥CM于点H，
在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{BC^2 + BM^2}$=$\sqrt{4^2 +1^2}$=$\sqrt{17}$，
∵S△CMB=$\frac{1}{2}$CM·BH=$\frac{1}{2}$BC·BM，
∴BH=$\frac{BC·BM}{CM}$=$\frac{4×1}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
在Rt△BMH中，MH=$\sqrt{BM^2 - BH^2}$=$\sqrt{1^2 - (\frac{4\sqrt{17}}{17})^2}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∵∠BPC=45°，BH⊥CM，
∴△BPH是等腰直角三角形，
∴PH=BH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴PM=PH - MH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$ - $\frac{\sqrt{17}}{17}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$。
【答案】
(1) CM=DN，且DN⊥CM；
(2) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(3) $\frac{3\sqrt{17}}{17}$；
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题为正方形综合题，分层考察几何核心知识，从基础全等应用到中位线构造，再到等腰直角三角形与面积法结合，需掌握辅助线构造技巧，逻辑推理要求较高。
【难度系数】
0.5
本题是正方形的综合几何题，分三小问逐步推导：第(1)问需从边和位置两方面判断CM与DN的关系，利用正方形性质构造全等三角形，再通过角的等量代换证明垂直；第(2)问利用中点构造中位线，通过全等三角形转化线段，结合勾股定理计算；第(3)问通过作高构造直角三角形，用面积法求高，结合等腰直角三角形性质计算PM的长度。
【解析】
(1) CM=DN，且DN⊥CM，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC=CD，∠B=∠NCD=90°，
在△BCM和△CDN中，
$\{\begin{array}{l} BC=CD \\ ∠B=∠NCD \\ BM=CN \end{array} $
∴△BCM≌△CDN(SAS)，
∴CM=DN，∠BCM=∠CDN，
∵∠BCM + ∠MCD=90°，
∴∠CDN + ∠MCD=90°，
∴∠COD=90°，即DN⊥CM，
∴CM与DN的关系为CM=DN且DN⊥CM。
(2) 如图1，连接CE并延长交AD于点G，连接GM。
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD//BC，AD=AB=4，∠A=90°，
∴∠ENC=∠EDG，
∵E是DN中点，
∴NE=DE，
在△CNE和△GDE中，
$\{\begin{array}{l} ∠ENC=∠EDG \\ NE=DE \\ ∠NEC=∠DEG \end{array} $
∴△CNE≌△GDE(ASA)，
∴CE=EG，GD=CN=1，
∵F是CM中点，
∴EF是△CMG的中位线，
∴EF=$\frac{1}{2}$MG，
∵AM=AB - BM=4 - 1=3，AG=AD - GD=4 - 1=3，
在Rt△AGM中，GM=$\sqrt{AM^2 + AG^2}$=$\sqrt{3^2 + 3^2}$=3$\sqrt{2}$，
∴EF=$\frac{1}{2}$×3$\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
(3) 如图2，过点B作BH⊥CM于点H，
在Rt△BCM中，CM=$\sqrt{BC^2 + BM^2}$=$\sqrt{4^2 +1^2}$=$\sqrt{17}$，
∵S△CMB=$\frac{1}{2}$CM·BH=$\frac{1}{2}$BC·BM，
∴BH=$\frac{BC·BM}{CM}$=$\frac{4×1}{\sqrt{17}}$=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
在Rt△BMH中，MH=$\sqrt{BM^2 - BH^2}$=$\sqrt{1^2 - (\frac{4\sqrt{17}}{17})^2}$=$\frac{\sqrt{17}}{17}$，
∵∠BPC=45°，BH⊥CM，
∴△BPH是等腰直角三角形，
∴PH=BH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$，
∴PM=PH - MH=$\frac{4\sqrt{17}}{17}$ - $\frac{\sqrt{17}}{17}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$。
【答案】
(1) CM=DN，且DN⊥CM；
(2) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$；
(3) $\frac{3\sqrt{17}}{17}$；
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理
【点评】
本题为正方形综合题，分层考察几何核心知识，从基础全等应用到中位线构造，再到等腰直角三角形与面积法结合，需掌握辅助线构造技巧，逻辑推理要求较高。
【难度系数】
0.5
