登录
20. (8分)2025年4月24日,搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功,激发了同学们的爱国热情.某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况,对七、八年级学生进行了测试.现从七、八年级各随机抽取了15名学生的测试成绩进行了以下数据的整理与分析:
【数据收集】
七年级:65,70,72,73,78,82,83,84,85,85,89,92,93,96,98;
八年级:56,69,73,77,79,82,85,88,88,88,90,90,93,93,94.
【数据分析】
根据以上信息,解答下列问题:
(1)$a=$
(2)请推断哪个年级的测试成绩较好,并说明理由(写出一条理由即可);
(3)测试成绩在$90 ≤ x ≤ 100$分的学生可以获得奖励,若该校七、八年级各有600名学生,估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少?
【数据收集】
七年级:65,70,72,73,78,82,83,84,85,85,89,92,93,96,98;
八年级:56,69,73,77,79,82,85,88,88,88,90,90,93,93,94.
【数据分析】
根据以上信息,解答下列问题:
(1)$a=$
84
, $b=$88
;(2)请推断哪个年级的测试成绩较好,并说明理由(写出一条理由即可);
(3)测试成绩在$90 ≤ x ≤ 100$分的学生可以获得奖励,若该校七、八年级各有600名学生,估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为多少?
答案
【点拨】本题考查中位数和众数,利用样本估计总体,解题关键是熟练掌握相关知识点.
【解析】(1)由题图中的数据分析可得,把七年级15名学生的测试成绩从小到大排列,排在最中间的数是84,即中位数为84,$\therefore a=84$.
$\because$ 八年级出现次数最多的数据为88,$\therefore b=88$.
故答案为84,88.
(2)八年级的成绩较好. 理由如下:
$\because$ 两个年级的平均数相同,八年级的中位数和众数均比七年级高,
$\therefore$ 八年级的成绩较好.(理由不唯一)
(3)$600 × \dfrac{4}{15} + 600 × \dfrac{5}{15} = 360(\mathrm{人})$.
答:估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为360人.
【解析】(1)由题图中的数据分析可得,把七年级15名学生的测试成绩从小到大排列,排在最中间的数是84,即中位数为84,$\therefore a=84$.
$\because$ 八年级出现次数最多的数据为88,$\therefore b=88$.
故答案为84,88.
(2)八年级的成绩较好. 理由如下:
$\because$ 两个年级的平均数相同,八年级的中位数和众数均比七年级高,
$\therefore$ 八年级的成绩较好.(理由不唯一)
(3)$600 × \dfrac{4}{15} + 600 × \dfrac{5}{15} = 360(\mathrm{人})$.
答:估计七、八年级可以获得奖励的学生总人数为360人.
解析
【分析】
解决本题需分三步思考：第一步，计算七年级的中位数和八年级的众数，需明确奇数个数据的中位数是排序后中间位置的数，众数是一组数据中出现次数最多的数；第二步，比较两个年级成绩好坏，可通过中位数、众数等统计量判断，统计量数值更高的年级成绩更优；第三步，估计获奖总人数，需先算出样本中各年级90分及以上的人数占比，再结合各年级总人数，用样本比例估算总体人数。
【解析】
(1) 将七年级15名学生的测试成绩从小到大排列，第8个数据为84，即中位数为84，故$a=84$；八年级成绩中88出现次数最多，为众数，故$b=88$。
(2) 八年级的测试成绩较好。理由：两个年级平均数相同，八年级的中位数（88）和众数（88）均高于七年级的中位数（84）和众数（85），说明八年级整体成绩更优。
(3) 七年级90≤$x$≤100分的人数有4人，占样本的$\frac{4}{15}$；八年级90≤$x$≤100分的人数有5人，占样本的$\frac{5}{15}$。则七、八年级获奖总人数为：$600×\frac{4}{15} + 600×\frac{5}{15}=160+200=360$（人）。
【答案】
(1) 84，88；(2) 八年级的测试成绩较好，理由见解析；(3) 360人
【知识点】
中位数，众数，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计的基础知识点，涵盖中位数、众数的计算及用样本估计总体的应用，题目难度适中，需熟练掌握统计量的定义和计算方法，以及样本估计总体的思路。
【难度系数】
0.6
解决本题需分三步思考：第一步，计算七年级的中位数和八年级的众数，需明确奇数个数据的中位数是排序后中间位置的数，众数是一组数据中出现次数最多的数；第二步，比较两个年级成绩好坏，可通过中位数、众数等统计量判断，统计量数值更高的年级成绩更优；第三步，估计获奖总人数，需先算出样本中各年级90分及以上的人数占比，再结合各年级总人数，用样本比例估算总体人数。
【解析】
(1) 将七年级15名学生的测试成绩从小到大排列，第8个数据为84，即中位数为84，故$a=84$；八年级成绩中88出现次数最多，为众数，故$b=88$。
(2) 八年级的测试成绩较好。理由：两个年级平均数相同，八年级的中位数（88）和众数（88）均高于七年级的中位数（84）和众数（85），说明八年级整体成绩更优。
(3) 七年级90≤$x$≤100分的人数有4人，占样本的$\frac{4}{15}$；八年级90≤$x$≤100分的人数有5人，占样本的$\frac{5}{15}$。则七、八年级获奖总人数为：$600×\frac{4}{15} + 600×\frac{5}{15}=160+200=360$（人）。
【答案】
(1) 84，88；(2) 八年级的测试成绩较好，理由见解析；(3) 360人
【知识点】
中位数，众数，用样本估计总体
【点评】
本题考查统计的基础知识点，涵盖中位数、众数的计算及用样本估计总体的应用，题目难度适中，需熟练掌握统计量的定义和计算方法，以及样本估计总体的思路。
【难度系数】
0.6
21. (8分)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,过点O的直线EF分别交DA,BC的延长线于点E,F,连接BE,DF.
(1)求证:$△ AOE≌△ COF$;
(2)若$EF = BD$,$BE = 8$,$DE = 16$,求菱形ABCD的面积.
(1)求证:$△ AOE≌△ COF$;
(2)若$EF = BD$,$BE = 8$,$DE = 16$,求菱形ABCD的面积.
答案
【点拨】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定、平行四边形和矩形的判定以及勾股定理,解题的关键是掌握相关判定和性质的灵活应用.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AO=CO$,$AD// BC$,$\therefore DE// BF$,
$\therefore ∠ AEO = ∠ CFO$.
在$△ AOE$和$△ COF$中,$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ CFO, \\ ∠ AOE = ∠ COF, \\ AO=CO, \end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ COF(\mathrm{AAS})$.
(2)$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AD=AB=BC=DC$,$AD// BC$. 由(1)可得,$△ AOE ≌ △ COF$,
$\therefore AE=CF$,$\therefore AD+AE=BC+CF$,即$DE=BF$.
又$\because DE// BF$,$\therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
又$\because EF=BD$,$\therefore$ 四边形$EBFD$是矩形,
$\therefore ∠ DEB=90°$.
设$AD=x$,则$AB=x$,$AE=16-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$AE^2 + BE^2 = AB^2$,
即$(16-x)^2 + 8^2 = x^2$,解得$x=10$,$\therefore AD=10$,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD} = BE · AD = 8 × 10 = 80$.
【解析】(1)证明:$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AO=CO$,$AD// BC$,$\therefore DE// BF$,
$\therefore ∠ AEO = ∠ CFO$.
在$△ AOE$和$△ COF$中,$\begin{cases} ∠ AEO = ∠ CFO, \\ ∠ AOE = ∠ COF, \\ AO=CO, \end{cases}$
$\therefore △ AOE ≌ △ COF(\mathrm{AAS})$.
(2)$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,
$\therefore AD=AB=BC=DC$,$AD// BC$. 由(1)可得,$△ AOE ≌ △ COF$,
$\therefore AE=CF$,$\therefore AD+AE=BC+CF$,即$DE=BF$.
又$\because DE// BF$,$\therefore$ 四边形$EBFD$是平行四边形.
又$\because EF=BD$,$\therefore$ 四边形$EBFD$是矩形,
$\therefore ∠ DEB=90°$.
设$AD=x$,则$AB=x$,$AE=16-x$.
在$\mathrm{Rt}△ AEB$中,$AE^2 + BE^2 = AB^2$,
即$(16-x)^2 + 8^2 = x^2$,解得$x=10$,$\therefore AD=10$,
$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD} = BE · AD = 8 × 10 = 80$.
解析
【分析】
本题分为两小问，第(1)问需利用菱形的性质结合全等三角形判定定理证明；第(2)问需结合全等三角形性质、平行四边形与矩形的判定，再通过勾股定理求解菱形面积。
第(1)问思路：菱形对角线互相平分、对边平行，可得到△AOE和△COF的两组角相等及一组边相等，用AAS判定全等。
第(2)问思路：由(1)的全等得线段相等，推出四边形EBFD是平行四边形，结合EF=BD判定其为矩形，得到直角后设菱形边长，用勾股定理列方程求解，最后计算菱形面积。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD//BC，即DE//BF，
∴∠AEO=∠CFO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEO=∠CFO \\ ∠AOE=∠COF \\ AO=CO\end{array} $
∴△AOE≌△COF（AAS）。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AD//BC。
由(1)中△AOE≌△COF，得AE=CF，
∴AD + AE = BC + CF，即DE=BF。
又
∵DE//BF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
∵EF=BD，
∴平行四边形EBFD是矩形，
∴∠DEB=90°。
设AD=x，则AB=x，AE=DE - AD=16 - x。
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(16 - x)^2 + 8^2 = x^2$，
展开得$256 - 32x + x^2 + 64 = x^2$，
化简得$320 - 32x = 0$，解得$x=10$，即AD=10。
∴菱形ABCD的面积=AD×BE=10×8=80。
【答案】
80
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形、矩形的核心知识点，解题关键是利用菱形性质推导边与角的关系，结合全等判定得到线段等量关系，再通过平行四边形和矩形的判定推出直角，最后用勾股定理求解边长，注重知识点的串联应用，能有效考查学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.5
本题分为两小问，第(1)问需利用菱形的性质结合全等三角形判定定理证明；第(2)问需结合全等三角形性质、平行四边形与矩形的判定，再通过勾股定理求解菱形面积。
第(1)问思路：菱形对角线互相平分、对边平行，可得到△AOE和△COF的两组角相等及一组边相等，用AAS判定全等。
第(2)问思路：由(1)的全等得线段相等，推出四边形EBFD是平行四边形，结合EF=BD判定其为矩形，得到直角后设菱形边长，用勾股定理列方程求解，最后计算菱形面积。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=CO，AD//BC，即DE//BF，
∴∠AEO=∠CFO。
在△AOE和△COF中，
$\{\begin{array}{l}∠AEO=∠CFO \\ ∠AOE=∠COF \\ AO=CO\end{array} $
∴△AOE≌△COF（AAS）。
(2) 解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，AD//BC。
由(1)中△AOE≌△COF，得AE=CF，
∴AD + AE = BC + CF，即DE=BF。
又
∵DE//BF，
∴四边形EBFD是平行四边形。
∵EF=BD，
∴平行四边形EBFD是矩形，
∴∠DEB=90°。
设AD=x，则AB=x，AE=DE - AD=16 - x。
在Rt△AEB中，由勾股定理得：
$AE^2 + BE^2 = AB^2$，
即$(16 - x)^2 + 8^2 = x^2$，
展开得$256 - 32x + x^2 + 64 = x^2$，
化简得$320 - 32x = 0$，解得$x=10$，即AD=10。
∴菱形ABCD的面积=AD×BE=10×8=80。
【答案】
80
【知识点】
菱形的性质、全等三角形的判定、矩形的判定、勾股定理
【点评】
本题综合考查菱形、全等三角形、矩形的核心知识点，解题关键是利用菱形性质推导边与角的关系，结合全等判定得到线段等量关系，再通过平行四边形和矩形的判定推出直角，最后用勾股定理求解边长，注重知识点的串联应用，能有效考查学生的逻辑推理和计算能力。
【难度系数】
0.5
