三、解答题(本大题共9小题,共75分.解答应写出过程)
16. (8分)计算:
(1)$\sqrt{14} × \sqrt{7} + \sqrt{2}$;
(2)$\sqrt{2}(\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + \sqrt{40}$.

【点拨】本题考查二次根式的混合运算,解题关键是掌握二次根式的乘法法则以及二次根式的加减法法则和二次根式加减乘除的先后运算顺序.
【解析】(1)$\sqrt{14} × \sqrt{7} + \sqrt{2} = \sqrt{14 × 7} + \sqrt{2} = \sqrt{98} + \sqrt{2} = 7\sqrt{2} + \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$.
(2)$\sqrt{2}(\sqrt{2} - 2\sqrt{5}) + \sqrt{40} = \sqrt{2} × \sqrt{2} - \sqrt{2} × 2\sqrt{5} + \sqrt{40} = 2 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 2$.

【分析】
本题考查二次根式的混合运算，解题思路为：（1）先依据二次根式乘法法则计算乘法项，将结果化简为最简二次根式后，合并同类二次根式；（2）利用乘法分配律展开式子，计算乘法项，化简二次根式后合并同类项，需严格遵循运算顺序和二次根式的化简规则。
【解析】
(1) 根据二次根式乘法法则$\sqrt{a} · \sqrt{b} = \sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），计算$\sqrt{14} × \sqrt{7}$：
$\sqrt{14 × 7} = \sqrt{98} = \sqrt{49 × 2} = 7\sqrt{2}$，
再合并同类二次根式：$7\sqrt{2} + \sqrt{2} = 8\sqrt{2}$。
(2) 根据乘法分配律$a(b - c) = ab - ac$，展开$\sqrt{2}(\sqrt{2} - 2\sqrt{5})$：
$\sqrt{2} × \sqrt{2} - \sqrt{2} × 2\sqrt{5} = 2 - 2\sqrt{10}$，
化简$\sqrt{40} = \sqrt{4 × 10} = 2\sqrt{10}$，
合并同类项：$2 - 2\sqrt{10} + 2\sqrt{10} = 2$。
【答案】
(1) $8\sqrt{2}$；(2) $2$
【知识点】
二次根式的乘法运算、二次根式的加减运算
【点评】
本题是二次根式混合运算的基础题，核心考查二次根式的乘法法则、化简及同类二次根式的合并，需牢记运算顺序与法则，避免化简或合并时出错。
【难度系数】
0.7

17. (6分)一次函数图象经过$(-1,-3)$和$(3,1)$两点.
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)当$x=2$时,求$y$的值.

【点拨】本题考查一次函数的解析式,求一次函数的函数值,解题关键是熟练掌握用特定系数法求一次函数解析式的方法.
【解析】(1)设这个一次函数的解析式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,
由题意,得$\begin{cases} -k + b = -3, \\ 3k + b = 1, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=1, \\ b=-2, \end{cases}$
$\therefore$ 这个一次函数的解析式为$y=x-2$.
(2)当$x=2$时,$y=2-2=0$.

【分析】
要确定一次函数的解析式，需运用待定系数法：先设出一次函数的一般形式，再将已知两点坐标代入得到关于系数的方程组，解方程组求出系数即可得到解析式；求x=2时的y值，只需将x=2代入已求得的解析式计算即可。
【解析】
(1)设这个一次函数的解析式为$y=kx+b(k≠0)$，将点$(-1,-3)$和$(3,1)$代入解析式，可得方程组：
$\begin{cases} -k + b = -3 \\ 3k + b = 1 \end{cases}$
用第二个方程减去第一个方程，得$4k=4$，解得$k=1$；将$k=1$代入$-k + b = -3$，得$-1 + b = -3$，解得$b=-2$。
因此这个一次函数的解析式为$y=x-2$。
(2)把$x=2$代入$y=x-2$，得$y=2-2=0$。
【答案】
(1)一次函数的解析式为$y=x-2$；(2)当$x=2$时，$y$的值为$0$。
【知识点】
一次函数解析式、待定系数法、函数值计算
【点评】
本题是一次函数的基础题型，核心考查待定系数法求一次函数解析式和代入求函数值，解题步骤清晰，属于学生应熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.8

18. (6分)如图,$AD ⊥ AC,BC ⊥ AC$,且$AB = CD$,求证:四边形$ABCD$是平行四边形.

【点拨】本题考查平行四边形的判定,全等三角形的判定及性质,解题关键是熟练掌握全等三角形的判定,平行四边形的判定.
【解析】证明:$\because AD ⊥ AC$,$BC ⊥ AC$,
$\therefore ∠ CAD = ∠ BCA = 90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ACB$与$\mathrm{Rt}△ CAD$中,$\begin{cases} AB=CD, \\ AC=CA, \end{cases}$
$\therefore \mathrm{Rt}△ ACB ≌ \mathrm{Rt}△ CAD(\mathrm{HL})$,
$\therefore AD=BC$.
又$\because AB=CD$,
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形.

【分析】要证明四边形ABCD是平行四边形，已知AB=CD，需再证另一组对边相等或平行。由AD⊥AC、BC⊥AC可得∠CAD=∠BCA=90°，AC为两个直角三角形的公共边，结合AB=CD，可通过HL判定Rt△ACB与Rt△CAD全等，进而得到AD=BC，最后依据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”完成证明。
【解析】证明：
∵AD⊥AC，BC⊥AC，
∴∠CAD=∠BCA=90°。
在$\mathrm{Rt}△ACB$和$\mathrm{Rt}△CAD$中，
$\begin{cases} AB=CD, \\ AC=CA, \end{cases}$
∴$\mathrm{Rt}△ACB≌\mathrm{Rt}△CAD(\mathrm{HL})$，
∴AD=BC。
又
∵AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形。
【答案】四边形ABCD是平行四边形。
【知识点】平行四边形的判定、直角三角形全等的判定（HL）
【点评】本题综合考查直角三角形全等的HL判定定理和平行四边形的判定定理，属于基础几何证明题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】0.6

19. (6分)如图,把摆钟的摆锤看作一个点,当它摆动到最低点时,摆锤离底座的垂直高度 $ DE = 5 \, \mathrm{cm} $,当它摆动到最高点时,摆锤离底座的垂直高度 $ BF = 7 \, \mathrm{cm} $,且与摆锤在最低点时的水平距离 $ BC = 10 \, \mathrm{cm} $,求钟摆 $ AD $ 的长度.

【点拨】本题考查勾股定理的应用,解题的关键是熟练掌握勾股定理的实际应用.
【解析】设$AD=AB=x\ \mathrm{cm}$,依题意,得$BC=10\ \mathrm{cm}$,$CD=CE-DE=BF-DE=7-5=2(\mathrm{cm})$,$AC=AD-CD=(x-2)\mathrm{cm}$.
$\because ∠ ACB=90°$,$\therefore AB^2=AC^2+BC^2$,即$(x-2)^2 + 10^2 = x^2$,
解得$x=26$.
答:钟摆$AD$的长为$26\ \mathrm{cm}$.

【分析】首先明确摆锤摆动时，摆长AD与AB长度相等，设AD的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，则AB也为$ x \, \mathrm{cm} $。接着计算直角三角形ACB的各边：CD是最高点与最低点的垂直高度差，即$ CD = BF - DE = 7 - 5 = 2 \, \mathrm{cm} $，因此$ AC = AD - CD = (x - 2) \, \mathrm{cm} $，已知水平距离$ BC = 10 \, \mathrm{cm} $，且$ ∠ ACB = 90° $，利用勾股定理建立方程即可求解钟摆长度。
【解析】设钟摆$ AD $的长度为$ x \, \mathrm{cm} $，由摆长相等得$ AB = AD = x \, \mathrm{cm} $。
根据题意，$ CD = BF - DE = 7 - 5 = 2 \, \mathrm{cm} $，故$ AC = AD - CD = (x - 2) \, \mathrm{cm} $。
在$ \mathrm{Rt} △ ACB $中，由勾股定理得：
$ AB^2 = AC^2 + BC^2 $，代入$ AB = x $，$ AC = x - 2 $，$ BC = 10 $，得：
$x^2 = (x - 2)^2 + 10^2$
展开并整理方程：
$x^2 = x^2 - 4x + 4 + 100$
消去$ x^2 $后解得：$ 4x = 104 $，即$ x = 26 $。
【答案】$ 26 \, \mathrm{cm} $
【知识点】勾股定理的应用
【点评】本题结合摆钟的实际场景，考查勾股定理的实际应用，解题关键是找准直角三角形的边的关系，通过设未知数列方程求解，属于基础应用题型，难度适中。
【难度系数】0.6