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7. 如图,将直角三角尺放置在刻度尺上,斜边上三个点A,D,B对应的刻度分别为1,4,7(单位:cm),则CD的长度为(
A.6
B.4.5
C.3.5
D.3
D
)cm.A.6
B.4.5
C.3.5
D.3
答案
【点拨】本题考查直角三角形斜边上中线的性质,解题的关键是熟知直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
【解析】由题意可知,$AB = 6\ \mathrm{cm}$,$AD = DB$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD$是$△ ABC$的中线,$\therefore CD = \dfrac{1}{2}AB = 3\ \mathrm{cm}$.故选D.
【解析】由题意可知,$AB = 6\ \mathrm{cm}$,$AD = DB$. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ ACB = 90°$,$CD$是$△ ABC$的中线,$\therefore CD = \dfrac{1}{2}AB = 3\ \mathrm{cm}$.故选D.
解析
【分析】首先根据刻度尺上的刻度计算斜边AB的长度，再确定点D是AB的中点，最后利用直角三角形斜边上中线的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）计算CD的长度。
【解析】由刻度尺刻度可知，A对应刻度1cm，B对应刻度7cm，因此AB的长度为$7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$；D对应刻度4cm，$AD = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$，$DB = 7 - 4 = 3\ \mathrm{cm}$，故D是AB的中点。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，CD是斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上中线的性质，可得$CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线性质、线段中点的判定
【点评】本题考查直角三角形的基础性质，解题关键是准确找到斜边中点并运用中线性质，属于难度较低的基础题，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.7
【解析】由刻度尺刻度可知，A对应刻度1cm，B对应刻度7cm，因此AB的长度为$7 - 1 = 6\ \mathrm{cm}$；D对应刻度4cm，$AD = 4 - 1 = 3\ \mathrm{cm}$，$DB = 7 - 4 = 3\ \mathrm{cm}$，故D是AB的中点。在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，CD是斜边AB上的中线，根据直角三角形斜边上中线的性质，可得$CD = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}×6 = 3\ \mathrm{cm}$。
【答案】D
【知识点】直角三角形斜边上的中线性质、线段中点的判定
【点评】本题考查直角三角形的基础性质，解题关键是准确找到斜边中点并运用中线性质，属于难度较低的基础题，适合巩固相关知识点。
【难度系数】0.7
8. 如图,在菱形ABCD中,AC与BD交于点O,AB=5,BD=6,则菱形ABCD的面积为(
A.48
B.36
C.24
D.12
C
).A.48
B.36
C.24
D.12
答案
【点拨】本题考查菱形的性质、勾股定理,解题关键是正确理解并运用勾股定理.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$DB=6$,$\therefore AC ⊥ BD$,$OB = \dfrac{1}{2}BD = 3$,$AC=2OA$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$,$\therefore AC = 2AO = 2 × 4 = 8$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \dfrac{1}{2}AC · BD = \dfrac{1}{2} × 8 × 6 = 24$,即菱形$ABCD$的面积为24.故选C.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是菱形,$DB=6$,$\therefore AC ⊥ BD$,$OB = \dfrac{1}{2}BD = 3$,$AC=2OA$. 在$\mathrm{Rt}△ AOB$中,$OA = \sqrt{AB^2 - OB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$,$\therefore AC = 2AO = 2 × 4 = 8$,$\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD} = \dfrac{1}{2}AC · BD = \dfrac{1}{2} × 8 × 6 = 24$,即菱形$ABCD$的面积为24.故选C.
解析
【分析】
要计算菱形ABCD的面积，需先利用菱形对角线的性质求出另一条对角线AC的长度。菱形的对角线互相垂直且平分，已知BD=6，可先算出OB的长度；再结合AB=5，在直角三角形AOB中用勾股定理求出OA，进而得到AC的长度；最后根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积，即可得出答案。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB = $\frac{1}{2}$BD，AC = 2OA（菱形的对角线互相垂直且平分）。
已知BD=6，AB=5，
∴OB = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA = $\sqrt{AB^2 - OB^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{25 - 9}$ = 4，
∴AC = 2OA = 2×4 = 8。
根据菱形面积公式：$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×AC×BD$，
代入AC=8，BD=6，得：
$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×8×6 = 24$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质与勾股定理结合的基础计算题，核心考查菱形对角线的性质及面积公式的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
要计算菱形ABCD的面积，需先利用菱形对角线的性质求出另一条对角线AC的长度。菱形的对角线互相垂直且平分，已知BD=6，可先算出OB的长度；再结合AB=5，在直角三角形AOB中用勾股定理求出OA，进而得到AC的长度；最后根据菱形面积公式（对角线乘积的一半）计算面积，即可得出答案。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OB = $\frac{1}{2}$BD，AC = 2OA（菱形的对角线互相垂直且平分）。
已知BD=6，AB=5，
∴OB = $\frac{1}{2}$×6 = 3。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OA = $\sqrt{AB^2 - OB^2}$ = $\sqrt{5^2 - 3^2}$ = $\sqrt{25 - 9}$ = 4，
∴AC = 2OA = 2×4 = 8。
根据菱形面积公式：$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×AC×BD$，
代入AC=8，BD=6，得：
$S_{菱形ABCD} = \frac{1}{2}×8×6 = 24$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、菱形面积计算
【点评】
本题是菱形性质与勾股定理结合的基础计算题，核心考查菱形对角线的性质及面积公式的应用，解题思路清晰，步骤明确，属于常规基础题。
【难度系数】
0.7
9. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形. 设直角三角形的两条直角边长分别为 $ m,n(m＞n) $. 若小正方形面积为 $ 5,(m+n)^2=21 $, 则大正方形面积为(
A.8
B.13
C.15
D.15.5
B
).A.8
B.13
C.15
D.15.5
答案
【点拨】本题考查完全平方公式的几何意义,勾股定理,解题关键是根据勾股定理得出大正方形的面积为$m^2 + n^2$.
【解析】由题意可知,中间小正方形的边长为$m-n$,$\therefore (m-n)^2=5$,即$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①.$\because (m+n)^2=21$,$\therefore m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②.①+②,得$2(m^2 + n^2)=26$,$\therefore$ 大正方形的面积为$m^2 + n^2 = 13$.故选B.
【解析】由题意可知,中间小正方形的边长为$m-n$,$\therefore (m-n)^2=5$,即$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①.$\because (m+n)^2=21$,$\therefore m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②.①+②,得$2(m^2 + n^2)=26$,$\therefore$ 大正方形的面积为$m^2 + n^2 = 13$.故选B.
解析
【分析】
要解决本题，需结合赵爽弦图的结构明确各部分的边长与面积关系：首先，中间小正方形的边长是直角三角形两条直角边的差$m-n$，大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方（由勾股定理，即$m^2 + n^2$）。已知小正方形面积和$(m+n)^2$的值，可通过完全平方公式的变形，求出$m^2 + n^2$，即大正方形的面积。
【解析】
根据赵爽弦图的性质，中间小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形面积为$(m-n)^2$，由题知小正方形面积为5，故：
$(m-n)^2 = 5$，展开得$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①
又已知$(m+n)^2 = 21$，展开得$m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②
将①+②，可得：
$2(m^2 + n^2) = 5 + 21 = 26$，解得$m^2 + n^2 = 13$
而大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，根据勾股定理，斜边平方为$m^2 + n^2$，因此大正方形面积为13。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理
【点评】
本题结合赵爽弦图的几何背景，考查完全平方公式的变形应用与勾股定理，解题关键是利用面积关系和完全平方公式的加减消元求出目标值，属于代数与几何结合的中等难度题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合赵爽弦图的结构明确各部分的边长与面积关系：首先，中间小正方形的边长是直角三角形两条直角边的差$m-n$，大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方（由勾股定理，即$m^2 + n^2$）。已知小正方形面积和$(m+n)^2$的值，可通过完全平方公式的变形，求出$m^2 + n^2$，即大正方形的面积。
【解析】
根据赵爽弦图的性质，中间小正方形的边长为$m-n$，因此小正方形面积为$(m-n)^2$，由题知小正方形面积为5，故：
$(m-n)^2 = 5$，展开得$m^2 + n^2 - 2mn = 5$ ①
又已知$(m+n)^2 = 21$，展开得$m^2 + n^2 + 2mn = 21$ ②
将①+②，可得：
$2(m^2 + n^2) = 5 + 21 = 26$，解得$m^2 + n^2 = 13$
而大正方形的面积等于直角三角形斜边的平方，根据勾股定理，斜边平方为$m^2 + n^2$，因此大正方形面积为13。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式、勾股定理
【点评】
本题结合赵爽弦图的几何背景，考查完全平方公式的变形应用与勾股定理，解题关键是利用面积关系和完全平方公式的加减消元求出目标值，属于代数与几何结合的中等难度题。
【难度系数】
0.5
10. 已知直线$y_1 = -x$，$y_2 = -\dfrac{1}{2}x + 2$，$y_3 = \dfrac{2}{3}x + 3$的图象如图所示. 若无论$x$取何值，$y$总取$y_1,y_2,y_3$中的最大值，则$y$的最小值是（
A.$4$
B.$3$
C.$\dfrac{17}{7}$
D.$\dfrac{9}{5}$
C
）.A.$4$
B.$3$
C.$\dfrac{17}{7}$
D.$\dfrac{9}{5}$
答案
【点拨】本题考查一次函数图象的性质,解题关键是找出符合条件的$y$的取值范围,确定$y$的最小值为$y_2$,$y_3$交点坐标的纵坐标值,通过联立两直线解析式求出交点坐标.
【解析】如图,过$y_1$,$y_2$的交点作$y$轴的平行线$l$,过$y_2$,$y_3$的交点作$y$轴的平行线$m$. 由题意,根据一次函数图象的性质可知,符合条件的$y$的取值如图所示,
$\therefore y$的最小值是$y_2$,$y_3$交点坐标的纵坐标值. 联立两直线解析式,得$-\dfrac{1}{2}x + 2 = \dfrac{2}{3}x + 3$,解得$x = -\dfrac{6}{7}$,代入$y_2$或$y_3$解析式,得$y = \dfrac{17}{7}$.故选C.
解析
【分析】要解决“无论x取何值，y总取$y_1,y_2,y_3$中的最大值，求y的最小值”的问题，需明确：由多个一次函数的最大值构成的函数，其图象为分段折线，该函数的最小值出现在相邻两个一次函数的交点处（即折线的最低点）。需判断哪两个函数的交点是最大值函数的最低点，结合图象可知，$y_2$与$y_3$的交点即为所求的最小值点。
【解析】联立$y_2 = -\frac{1}{2}x + 2$与$y_3 = \frac{2}{3}x + 3$的解析式，得方程：
$-\frac{1}{2}x + 2 = \frac{2}{3}x + 3$
移项合并同类项：
$-\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x = 3 - 2 \implies -\frac{7}{6}x = 1$
解得$x = -\frac{6}{7}$。将$x = -\frac{6}{7}$代入$y_2 = -\frac{1}{2}x + 2$，计算得：
$y = -\frac{1}{2} × (-\frac{6}{7}) + 2 = \frac{3}{7} + 2 = \frac{17}{7}$
即y的最小值为$\frac{17}{7}$。
【答案】C
【知识点】一次函数图象、函数最值、交点坐标
【点评】本题考查一次函数的图象性质，核心是理解多个函数最大值构成的函数的最小值的位置，通过联立方程求交点坐标，是一次函数应用的典型题型，需掌握分段函数最值的分析方法。
【难度系数】0.5
【解析】联立$y_2 = -\frac{1}{2}x + 2$与$y_3 = \frac{2}{3}x + 3$的解析式，得方程：
$-\frac{1}{2}x + 2 = \frac{2}{3}x + 3$
移项合并同类项：
$-\frac{1}{2}x - \frac{2}{3}x = 3 - 2 \implies -\frac{7}{6}x = 1$
解得$x = -\frac{6}{7}$。将$x = -\frac{6}{7}$代入$y_2 = -\frac{1}{2}x + 2$，计算得：
$y = -\frac{1}{2} × (-\frac{6}{7}) + 2 = \frac{3}{7} + 2 = \frac{17}{7}$
即y的最小值为$\frac{17}{7}$。
【答案】C
【知识点】一次函数图象、函数最值、交点坐标
【点评】本题考查一次函数的图象性质，核心是理解多个函数最大值构成的函数的最小值的位置，通过联立方程求交点坐标，是一次函数应用的典型题型，需掌握分段函数最值的分析方法。
【难度系数】0.5
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11. 要使式子$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义,则实数$x$的取值范围是
11. 要使式子$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义,则实数$x$的取值范围是
x＞2
.答案
【点拨】本题考查分式和二次根式有意义的条件,解题关键是熟知分式和二次根式有意义的条件.
【解析】要使式子$\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义,则$\begin{cases} x-2≥ 0, \\ \sqrt{x-2} ≠ 0, \end{cases}$解得$x＞2$. 故答案为$x＞2$.
【解析】要使式子$\dfrac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义,则$\begin{cases} x-2≥ 0, \\ \sqrt{x-2} ≠ 0, \end{cases}$解得$x＞2$. 故答案为$x＞2$.
解析
【分析】要确定使式子$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义的$x$的取值范围，需结合二次根式和分式有意义的条件思考：二次根式的被开方数必须是非负数，且分式的分母不能为0，因此需同时满足这两个条件，进而列出不等式求解。
【解析】要使式子$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义，需满足：①二次根式的被开方数非负，即$x-2≥0$；②分式的分母不为0，即$\sqrt{x-2}≠0$，也就是$x-2≠0$。将两个条件合并，可得$x-2＞0$，解得$x＞2$。
【答案】$x＞2$
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】本题属于基础题型，主要考查二次根式和分式有意义的基本条件，解题关键是准确把握两个条件的结合要求，难度较低，侧重考查学生对基础概念的掌握。
【难度系数】0.8
【解析】要使式子$\frac{1}{\sqrt{x-2}}$在实数范围内有意义，需满足：①二次根式的被开方数非负，即$x-2≥0$；②分式的分母不为0，即$\sqrt{x-2}≠0$，也就是$x-2≠0$。将两个条件合并，可得$x-2＞0$，解得$x＞2$。
【答案】$x＞2$
【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件
【点评】本题属于基础题型，主要考查二次根式和分式有意义的基本条件，解题关键是准确把握两个条件的结合要求，难度较低，侧重考查学生对基础概念的掌握。
【难度系数】0.8
12. 将直线$y = 2x - 1$沿$y$轴向上平移3个单位长度，则平移后的直线解析式为$\underline{\hspace{10cm}}$.
答案
【点拨】本题考查一次函数的平移规律,解题关键是熟知一次函数图象的平移规律.
【解析】由一次函数图象的平移规律可知,将直线$y=2x-1$向上平移3个单位长度变为$y=2x-1+3$,化简,得$y=2x+2$. 故答案为$y=2x+2$.
【解析】由一次函数图象的平移规律可知,将直线$y=2x-1$向上平移3个单位长度变为$y=2x-1+3$,化简,得$y=2x+2$. 故答案为$y=2x+2$.
解析
【分析】首先明确一次函数图象沿y轴平移的规律：对于一次函数$y=kx+b$，沿y轴向上平移$m$个单位时，解析式变为$y=kx+b+m$，向下平移则变为$y=kx+b-m$，平移过程中$x$的系数$k$保持不变。本题中直线$y=2x-1$沿y轴向上平移3个单位，只需在原常数项上加3即可，无需改变$x$的系数，据此可求出平移后的解析式。
【解析】根据一次函数图象的平移规律：沿y轴向上平移时，常数项加上平移的单位数。原直线解析式为$y=2x-1$，向上平移3个单位后，新的解析式为$y=2x -1 +3$，化简得$y=2x+2$。
【答案】$y=2x+2$
【知识点】一次函数的平移规律
【点评】本题考查一次函数图象的平移，属于基础题型，核心是掌握“上加下减”的平移规律，只要牢记该规律即可轻松解答，是一次函数部分的基础考点。
【难度系数】0.8
【解析】根据一次函数图象的平移规律：沿y轴向上平移时，常数项加上平移的单位数。原直线解析式为$y=2x-1$，向上平移3个单位后，新的解析式为$y=2x -1 +3$，化简得$y=2x+2$。
【答案】$y=2x+2$
【知识点】一次函数的平移规律
【点评】本题考查一次函数图象的平移，属于基础题型，核心是掌握“上加下减”的平移规律，只要牢记该规律即可轻松解答，是一次函数部分的基础考点。
【难度系数】0.8
13. 某射击队计划从甲、乙、丙三名运动员中选拔一人参加射击比赛，在选拔过程中，每人射击10次，计算他们的平均成绩及方差如表所示：
射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是
射击队决定依据他们成绩的平均数及稳定性进行选拔，那么被选中的运动员是
丙
.答案
【点拨】本题考查方差的意义,解题关键是熟知方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越大,数据波动越大,数据越不稳定;反之,方差越小,数据越稳定.
【解析】$\because$ 甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等,甲、乙、丙三人中丙的方差最小,$\therefore$ 丙的成绩最稳定,$\therefore$ 综合平均数和方差两个方面,说明丙的成绩既高又稳定,$\therefore$ 最合适的人选是丙. 故答案为丙.
【解析】$\because$ 甲、乙、丙三人中甲和丙的平均数最大且相等,甲、乙、丙三人中丙的方差最小,$\therefore$ 丙的成绩最稳定,$\therefore$ 综合平均数和方差两个方面,说明丙的成绩既高又稳定,$\therefore$ 最合适的人选是丙. 故答案为丙.
解析
【分析】
选拔运动员需结合平均成绩（反映成绩水平）和稳定性（由方差体现）判断：首先对比三人的平均成绩，选出平均成绩较高的；再在平均成绩相同的人中，通过方差判断稳定性，方差越小成绩越稳定，最终确定合适人选。
【解析】
1. 对比平均成绩：甲的平均成绩为9.7环，乙为9.6环，丙为9.7环，因此甲和丙的平均成绩更高，乙的平均成绩更低，先排除乙。
2. 对比方差：方差越小，成绩越稳定，甲的方差是0.095，丙的方差是0.023，丙的方差更小，说明丙的成绩更稳定。
3. 综合平均成绩和稳定性，丙的成绩既高又稳定，故被选中的运动员是丙。
【答案】
丙
【知识点】
平均数、方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际选拔中的应用，核心是理解平均数反映平均水平、方差反映数据稳定性，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6
选拔运动员需结合平均成绩（反映成绩水平）和稳定性（由方差体现）判断：首先对比三人的平均成绩，选出平均成绩较高的；再在平均成绩相同的人中，通过方差判断稳定性，方差越小成绩越稳定，最终确定合适人选。
【解析】
1. 对比平均成绩：甲的平均成绩为9.7环，乙为9.6环，丙为9.7环，因此甲和丙的平均成绩更高，乙的平均成绩更低，先排除乙。
2. 对比方差：方差越小，成绩越稳定，甲的方差是0.095，丙的方差是0.023，丙的方差更小，说明丙的成绩更稳定。
3. 综合平均成绩和稳定性，丙的成绩既高又稳定，故被选中的运动员是丙。
【答案】
丙
【知识点】
平均数、方差的意义
【点评】
本题是统计知识在实际选拔中的应用，核心是理解平均数反映平均水平、方差反映数据稳定性，属于基础题型，难度不大。
【难度系数】
0.6
14. 如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使$CE = BD$,连接AE.若$∠ADB = 30°$,则$∠E$的度数是
15°
.答案
【点拨】本题考查矩形的性质,等腰三角形的判定与性质,解题关键是熟知矩形的性质,等腰三角形的判定与性质.
【解析】如图,连接$AC$,交$BD$于点$O$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,$\therefore AD// BE$,$AC=BD$,$OA=OC$,$OB=OD$,$\therefore ∠ E = ∠ DAE$,$OA=OD$. $\because ∠ ADB=30°$,$\therefore ∠ ADB = ∠ CAD = 30°$.又$\because BD=CE$,$\therefore CE=CA$,$\therefore ∠ E = ∠ CAE$. $\because ∠ CAD = ∠ CAE + ∠ DAE$,$\therefore ∠ E + ∠ E = 30°$,即$∠ E=15°$. 故答案为$15°$.
解析
【分析】
要解决本题，需结合矩形的性质推导线段和角度关系：首先添加辅助线连接矩形的对角线AC，利用矩形对角线相等的性质，将已知的CE=BD转化为CE=AC，得到等腰三角形ACE；再结合矩形对边平行的内错角相等、等腰三角形底角相等的性质，最终通过角度和的关系计算出∠E的度数。
【解析】
如图,连接$AC$,交$BD$于点$O$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AD// BE$,$AC=BD$,$OA=OD$,
$\therefore ∠DAE=∠E$（两直线平行，内错角相等），$∠CAD=∠ADB=30°$（矩形对角线相等且互相平分，等边对等角）.
又$\because CE=BD$,
$\therefore CE=CA$,
$\therefore △ ACE$为等腰三角形，$∠E=∠CAE$.
$\because ∠CAD=∠CAE + ∠DAE$,
$\therefore ∠CAD=∠E + ∠E=2∠E$,
即$2∠E=30°$,
$\therefore ∠E=15°$.
【答案】
15°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是矩形与等腰三角形性质的综合应用，解题关键是通过添加辅助线AC，利用矩形对角线相等的性质转化已知线段关系，再结合平行线和等腰三角形的角度规律推导结果，重点考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合矩形的性质推导线段和角度关系：首先添加辅助线连接矩形的对角线AC，利用矩形对角线相等的性质，将已知的CE=BD转化为CE=AC，得到等腰三角形ACE；再结合矩形对边平行的内错角相等、等腰三角形底角相等的性质，最终通过角度和的关系计算出∠E的度数。
【解析】
如图,连接$AC$,交$BD$于点$O$.
$\because$ 四边形$ABCD$是矩形,
$\therefore AD// BE$,$AC=BD$,$OA=OD$,
$\therefore ∠DAE=∠E$（两直线平行，内错角相等），$∠CAD=∠ADB=30°$（矩形对角线相等且互相平分，等边对等角）.
又$\because CE=BD$,
$\therefore CE=CA$,
$\therefore △ ACE$为等腰三角形，$∠E=∠CAE$.
$\because ∠CAD=∠CAE + ∠DAE$,
$\therefore ∠CAD=∠E + ∠E=2∠E$,
即$2∠E=30°$,
$\therefore ∠E=15°$.
【答案】
15°
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质
【点评】
本题是矩形与等腰三角形性质的综合应用，解题关键是通过添加辅助线AC，利用矩形对角线相等的性质转化已知线段关系，再结合平行线和等腰三角形的角度规律推导结果，重点考查学生对几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.5
15. 如图,正方形ABCD的边长为3,E为与点D不重合的动点,以DE为一边作正方形DEFG.设DE=$d_1$,点F,G与点C的距离分别为$d_2,d_3$,则$d_1 + d_2 + d_3$的最小值为
$3\sqrt{2}$
.答案
【点拨】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理,解题关键是熟练掌握全等三角形的性质.
【解析】如图,连接$CF$,$CG$,$AE$,$AC$,
$\because$ 四边形$ABCD$和四边形$DEFG$都是正方形,
$\therefore ∠ ADC = ∠ EDG = 90°$,$AD=CD$,$DE=DG=EF$,$\therefore ∠ ADE = ∠ CDG$.
在$△ ADE$和$△ CDG$中,$\begin{cases} AD=CD, \\ ∠ ADE = ∠ CDG, \\ DE=DG, \end{cases}$$\therefore △ ADE ≌ △ CDG(\mathrm{SAS})$,
$\therefore AE=CG$,$\therefore d_1 + d_2 + d_3 = DE + CF + CG = EF + CF + AE$,
$\therefore$ 当$A$,$E$,$F$,$C$四点共线时,$EF + CF + AE$最小,最小值为$AC$的长.
$\because$ 正方形$ABCD$的边长为3,$\therefore AD=DC=3$,$∠ ADC=90°$. 在直角三角形$ACD$中,由勾股定理,得$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$,
$\therefore d_1 + d_2 + d_3$的最小值为$3\sqrt{2}$. 故答案为$3\sqrt{2}$.
解析
【分析】
要解决$d_1 + d_2 + d_3$的最小值问题，需先通过正方形性质和全等三角形转化线段，再利用“两点之间线段最短”求最值：首先连接辅助线，证明$△ ADE$与$△ CDG$全等，将$d_3$（$CG$）转化为$AE$，结合$d_1=DE=EF$，把总和转化为$AE + EF + CF$；当$A、E、F、C$四点共线时，该和最小，最小值为正方形$ABCD$的对角线$AC$的长度，最后用勾股定理计算$AC$即可。
【解析】
如图，连接$CF$，$CG$，$AE$，$AC$，
∵ 四边形$ABCD$和四边形$DEFG$都是正方形，
∴ $∠ ADC = ∠ EDG = 90°$，$AD=CD$，$DE=DG=EF$，
∴ $∠ ADE = ∠ ADC - ∠ EDC$，$∠ CDG = ∠ EDG - ∠ EDC$，故$∠ ADE = ∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ ADE = ∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDG(\mathrm{SAS})$，
∴ $AE=CG$，即$d_3=AE$。
又
∵ $d_1=DE=EF$，
∴ $d_1 + d_2 + d_3 = DE + CF + CG = EF + CF + AE$。
根据两点之间线段最短，当$A、E、F、C$四点共线时，$EF + CF + AE$取得最小值，最小值为线段$AC$的长度。
∵ 正方形$ABCD$的边长为$3$，$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$，
∴ $d_1 + d_2 + d_3$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题通过正方形性质构造全等三角形，将所求线段和转化为两点间的线段，利用几何基本性质求最值，核心是线段的转化，属于几何最值的典型题型，需熟练掌握全等三角形和正方形的性质。
【难度系数】
0.5
要解决$d_1 + d_2 + d_3$的最小值问题，需先通过正方形性质和全等三角形转化线段，再利用“两点之间线段最短”求最值：首先连接辅助线，证明$△ ADE$与$△ CDG$全等，将$d_3$（$CG$）转化为$AE$，结合$d_1=DE=EF$，把总和转化为$AE + EF + CF$；当$A、E、F、C$四点共线时，该和最小，最小值为正方形$ABCD$的对角线$AC$的长度，最后用勾股定理计算$AC$即可。
【解析】
如图，连接$CF$，$CG$，$AE$，$AC$，
∵ 四边形$ABCD$和四边形$DEFG$都是正方形，
∴ $∠ ADC = ∠ EDG = 90°$，$AD=CD$，$DE=DG=EF$，
∴ $∠ ADE = ∠ ADC - ∠ EDC$，$∠ CDG = ∠ EDG - ∠ EDC$，故$∠ ADE = ∠ CDG$。
在$△ ADE$和$△ CDG$中，
$\begin{cases} AD=CD \\ ∠ ADE = ∠ CDG \\ DE=DG \end{cases}$
∴ $△ ADE ≌ △ CDG(\mathrm{SAS})$，
∴ $AE=CG$，即$d_3=AE$。
又
∵ $d_1=DE=EF$，
∴ $d_1 + d_2 + d_3 = DE + CF + CG = EF + CF + AE$。
根据两点之间线段最短，当$A、E、F、C$四点共线时，$EF + CF + AE$取得最小值，最小值为线段$AC$的长度。
∵ 正方形$ABCD$的边长为$3$，$∠ ADC=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ADC$中，由勾股定理得：$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$，
∴ $d_1 + d_2 + d_3$的最小值为$3\sqrt{2}$。
【答案】
$3\sqrt{2}$
【知识点】
正方形性质、全等三角形判定、勾股定理
【点评】
本题通过正方形性质构造全等三角形，将所求线段和转化为两点间的线段，利用几何基本性质求最值，核心是线段的转化，属于几何最值的典型题型，需熟练掌握全等三角形和正方形的性质。
【难度系数】
0.5
