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1. 下列二次根式中,最简二次根式是(
A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{12}$
C
).A.$\sqrt{0.2}$
B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}$
C.$\sqrt{3}$
D.$\sqrt{12}$
答案
【点拨】本题考查最简二次根式的概念和化简方法,解题关键是熟知最简二次根式要求被开方数中不含分母,且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
【解析】A. $\sqrt{0.2} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$,不是最简二次根式,故A错误;B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,不是最简二次根式,故B错误;C.$\sqrt{3}$是最简二次根式,故C正确;D.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,不是最简二次根式,故D错误.故选C.
【解析】A. $\sqrt{0.2} = \sqrt{\dfrac{1}{5}} = \dfrac{\sqrt{5}}{5}$,不是最简二次根式,故A错误;B.$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$,不是最简二次根式,故B错误;C.$\sqrt{3}$是最简二次根式,故C正确;D.$\sqrt{12}=2\sqrt{3}$,不是最简二次根式,故D错误.故选C.
解析
【分析】首先明确最简二次根式的两个判定条件：①被开方数中不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。接下来对每个选项的二次根式进行化简或直接根据条件判断，不符合条件的排除，最终选出正确选项。
【解析】A选项：$\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数含分母，不是最简二次根式，排除；B选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式，排除；C选项：$\sqrt{3}$的被开方数3不含分母，且不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的条件，正确；D选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，排除。故选C。
【答案】C
【知识点】最简二次根式，二次根式的化简
【点评】本题考查最简二次根式的概念，属于基础题，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一分析选项即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
【解析】A选项：$\sqrt{0.2}=\sqrt{\dfrac{1}{5}}=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$，被开方数含分母，不是最简二次根式，排除；B选项：$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$，被开方数含分母，不是最简二次根式，排除；C选项：$\sqrt{3}$的被开方数3不含分母，且不含能开得尽方的因数，符合最简二次根式的条件，正确；D选项：$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，排除。故选C。
【答案】C
【知识点】最简二次根式，二次根式的化简
【点评】本题考查最简二次根式的概念，属于基础题，解题关键是牢记最简二次根式的两个判定条件，逐一分析选项即可快速得出答案。
【难度系数】0.8
2. 在$△ ABC$中，$∠ A,∠ B,∠ C$的对边分别记为$a,b,c$，下列条件中，能判定$△ ABC$是直角三角形的是（
A.$a=1,b=2,c=3$
B.$a^2=(b-c)(b+c)$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
B
）.A.$a=1,b=2,c=3$
B.$a^2=(b-c)(b+c)$
C.$∠ A=∠ C$
D.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
答案
【点拨】本题考查勾股定理的逆定理,三角形内角和定理,解题关键是熟练掌握勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理.
【解析】A.$\because a + b = 1 + 2 = 3 = c$,$\therefore$ 不能构成三角形,故A错误;B.$\because a^2=(b+c)(b-c)=b^2 - c^2$,$\therefore a^2 + c^2 = b^2$,$\therefore$ 能判定$△ ABC$为直角三角形,故B正确;C.$\because ∠ A = ∠ C$,$\therefore a = c$,$\therefore$ 能判定$△ ABC$为等腰三角形,不能判定$△ ABC$为直角三角形,故C错误;D.$\because ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$,$\therefore ∠ C = \dfrac{5}{3+4+5} × 180° = 75°$,$\therefore$ 不能判定$△ ABC$为直角三角形,故D错误.故选B.
【解析】A.$\because a + b = 1 + 2 = 3 = c$,$\therefore$ 不能构成三角形,故A错误;B.$\because a^2=(b+c)(b-c)=b^2 - c^2$,$\therefore a^2 + c^2 = b^2$,$\therefore$ 能判定$△ ABC$为直角三角形,故B正确;C.$\because ∠ A = ∠ C$,$\therefore a = c$,$\therefore$ 能判定$△ ABC$为等腰三角形,不能判定$△ ABC$为直角三角形,故C错误;D.$\because ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$,$\therefore ∠ C = \dfrac{5}{3+4+5} × 180° = 75°$,$\therefore$ 不能判定$△ ABC$为直角三角形,故D错误.故选B.
解析
【分析】
要判定△ABC是否为直角三角形，需结合三角形三边关系、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，逐一分析每个选项：先判断选项A的三边能否构成三角形，再验证是否满足直角三角形条件；对选项B的等式变形后，利用勾股定理逆定理判断；选项C根据角相等判断三角形类型；选项D按角的比例计算各角，看是否存在直角。
【解析】
A. 因为$a + b = 1 + 2 = 3 = c$，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形，故A错误；
B. 对$a^2=(b - c)(b + c)$变形得$a^2 = b^2 - c^2$，即$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形，故B正确；
C. 因为$∠A = ∠C$，所以$a = c$，只能判定△ABC为等腰三角形，无法判定为直角三角形，故C错误；
D. 因为$∠A:∠B:∠C = 3:4:5$，三角形内角和为$180°$，所以$∠C = \frac{5}{3+4+5}×180° = 75°$，三个角都小于$90°$，不是直角三角形，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题考查直角三角形的判定，核心是掌握三角形三边关系、勾股定理逆定理及三角形内角和定理，通过逐一分析选项即可得出结论，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
要判定△ABC是否为直角三角形，需结合三角形三边关系、勾股定理的逆定理、三角形内角和定理，逐一分析每个选项：先判断选项A的三边能否构成三角形，再验证是否满足直角三角形条件；对选项B的等式变形后，利用勾股定理逆定理判断；选项C根据角相等判断三角形类型；选项D按角的比例计算各角，看是否存在直角。
【解析】
A. 因为$a + b = 1 + 2 = 3 = c$，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），不能构成三角形，故A错误；
B. 对$a^2=(b - c)(b + c)$变形得$a^2 = b^2 - c^2$，即$a^2 + c^2 = b^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC为直角三角形，故B正确；
C. 因为$∠A = ∠C$，所以$a = c$，只能判定△ABC为等腰三角形，无法判定为直角三角形，故C错误；
D. 因为$∠A:∠B:∠C = 3:4:5$，三角形内角和为$180°$，所以$∠C = \frac{5}{3+4+5}×180° = 75°$，三个角都小于$90°$，不是直角三角形，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系
【点评】
本题考查直角三角形的判定，核心是掌握三角形三边关系、勾股定理逆定理及三角形内角和定理，通过逐一分析选项即可得出结论，属于基础题型，难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 如图,在平行四边形ABCD中,∠A + ∠C = 120°,则∠B的度数为(
A.50°
B.60°
C.70°
D.120°
D
).A.50°
B.60°
C.70°
D.120°
答案
【点拨】本题考查平行四边形的性质,解题关键是熟知平行四边形的性质.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore ∠ A = ∠ C$,$AD// BC$.$\because ∠ A + ∠ C = 120°$,$\therefore ∠ A = 60°$.$\because ∠ A + ∠ B = 180°$,$\therefore ∠ B = 120°$.故选D.
【解析】$\because$ 四边形$ABCD$是平行四边形,$\therefore ∠ A = ∠ C$,$AD// BC$.$\because ∠ A + ∠ C = 120°$,$\therefore ∠ A = 60°$.$\because ∠ A + ∠ B = 180°$,$\therefore ∠ B = 120°$.故选D.
解析
【分析】要解决这道题，需利用平行四边形的核心性质：平行四边形的对角相等，邻角互补。题目给出∠A与∠C的和，先通过对角相等算出∠A的度数，再用邻角互补求出∠B的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C，且AD//BC（平行四边形对角相等，邻角互补）。
已知∠A + ∠C = 120°，结合∠A=∠C，可得∠A = 120°÷2 = 60°。
又
∵AD//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”，∠A + ∠B = 180°，
因此∠B = 180° - 60° = 120°。
故选D。
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质、对角相等、邻角互补
【点评】本题考查平行四边形的基础性质应用，属于简单题型，主要检验学生对平行四边形核心性质的掌握，解题逻辑清晰，易于理解。
【难度系数】0.7
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A = ∠C，且AD//BC（平行四边形对角相等，邻角互补）。
已知∠A + ∠C = 120°，结合∠A=∠C，可得∠A = 120°÷2 = 60°。
又
∵AD//BC，根据“两直线平行，同旁内角互补”，∠A + ∠B = 180°，
因此∠B = 180° - 60° = 120°。
故选D。
【答案】D
【知识点】平行四边形的性质、对角相等、邻角互补
【点评】本题考查平行四边形的基础性质应用，属于简单题型，主要检验学生对平行四边形核心性质的掌握，解题逻辑清晰，易于理解。
【难度系数】0.7
4. 匀速地向如图所示的容器内注水,直到把容器注满.在注水过程中,容器内水面高度$ h $随时间$ t $变化的大致图象是(
B
).答案
【点拨】本题考查函数的函数值随自变量的变化而变化的快慢问题,解题关键是正确理解题目意思.
【解析】由容器形状可知,注水过程中水面高度的上升速度先快后慢再快,且第三段的上升速度比第一段慢,结合四个选项可知选B.故选B.
【解析】由容器形状可知,注水过程中水面高度的上升速度先快后慢再快,且第三段的上升速度比第一段慢,结合四个选项可知选B.故选B.
解析
【分析】
要解决这个问题，需结合容器结构分析水面高度随时间的变化规律：容器由三段横截面积不同的圆柱组成，从下到上依次为底部小圆柱、中间大圆柱、上部小圆柱。匀速注水时，单位时间注水量固定，根据体积公式$V=S· h$，可得水面上升速度$v=\frac{Q}{S}$（$Q$为单位时间注水量，$S$为容器横截面积），即横截面积越大，水面上升越慢，对应$h-t$图像的斜率越小。因此，注水分为三个阶段：①注底部小圆柱：横截面积小，水面上升快，图像斜率大；②注中间大圆柱：横截面积最大，水面上升最慢，图像斜率最小；③注上部小圆柱：横截面积比中间小，水面上升速度比中间快，且横截面积比底部大，上升速度比第一段慢，对应斜率介于前两段之间。据此判断符合的图像。
【解析】
匀速注水时，$h$随$t$的变化斜率与容器横截面积成反比：
1. 底部小圆柱阶段：横截面积小，斜率大（上升快）；
2. 中间大圆柱阶段：横截面积最大，斜率最小（上升慢）；
3. 上部小圆柱阶段：横截面积介于中间和底部之间，斜率介于前两段之间（上升速度比中间快，比底部慢）。
观察选项：A选项最后$h$下降，不符合注水过程；C选项中间阶段斜率为0（不上升），错误；D选项第三段斜率比第一段大，错误；只有B选项的图像符合上述变化规律，故选B。
【答案】
B
【知识点】
函数图像变化、圆柱体积与高度关系
【点评】
本题结合实际容器的注水过程，考查函数图像的理解，核心是分析容器横截面积对水面上升速度的影响，属于基础应用类题目，需建立几何图形与函数图像的对应关系。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需结合容器结构分析水面高度随时间的变化规律：容器由三段横截面积不同的圆柱组成，从下到上依次为底部小圆柱、中间大圆柱、上部小圆柱。匀速注水时，单位时间注水量固定，根据体积公式$V=S· h$，可得水面上升速度$v=\frac{Q}{S}$（$Q$为单位时间注水量，$S$为容器横截面积），即横截面积越大，水面上升越慢，对应$h-t$图像的斜率越小。因此，注水分为三个阶段：①注底部小圆柱：横截面积小，水面上升快，图像斜率大；②注中间大圆柱：横截面积最大，水面上升最慢，图像斜率最小；③注上部小圆柱：横截面积比中间小，水面上升速度比中间快，且横截面积比底部大，上升速度比第一段慢，对应斜率介于前两段之间。据此判断符合的图像。
【解析】
匀速注水时，$h$随$t$的变化斜率与容器横截面积成反比：
1. 底部小圆柱阶段：横截面积小，斜率大（上升快）；
2. 中间大圆柱阶段：横截面积最大，斜率最小（上升慢）；
3. 上部小圆柱阶段：横截面积介于中间和底部之间，斜率介于前两段之间（上升速度比中间快，比底部慢）。
观察选项：A选项最后$h$下降，不符合注水过程；C选项中间阶段斜率为0（不上升），错误；D选项第三段斜率比第一段大，错误；只有B选项的图像符合上述变化规律，故选B。
【答案】
B
【知识点】
函数图像变化、圆柱体积与高度关系
【点评】
本题结合实际容器的注水过程，考查函数图像的理解，核心是分析容器横截面积对水面上升速度的影响，属于基础应用类题目，需建立几何图形与函数图像的对应关系。
【难度系数】
0.5
5. 一次函数$y=4x+1$的图象不经过(
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
D
).A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
【点拨】本题考查一次函数图象与系数的关系.
【解析】$\because k=4＞0$,$b=1＞0$,$\therefore$ 一次函数$y=4x+1$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
【解析】$\because k=4＞0$,$b=1＞0$,$\therefore$ 一次函数$y=4x+1$的图象经过第一、二、三象限,不经过第四象限.故选D.
解析
【分析】要判断一次函数图象不经过的象限，需依据一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）中$k$和$b$的符号确定图象经过的象限：$k$决定直线的升降趋势，$b$决定直线与$y$轴的交点位置。先确定本题中$k=4＞0$、$b=1＞0$，再结合$k$、$b$符号对应的象限分布，即可得出结论。
【解析】对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
1. $k$的符号决定直线升降：$k＞0$时直线从左向右上升，$k＜0$时直线从左向右下降。本题中$k=4＞0$，直线呈上升趋势。
2. $b$的符号决定直线与$y$轴交点：$b＞0$时交点在$y$轴正半轴，$b＜0$时在负半轴，$b=0$时过原点。本题中$b=1＞0$，直线与$y$轴交于正半轴。
结合两点，$k＞0$且$b＞0$时，一次函数图象经过第一、二、三象限，因此不经过第四象限，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一次函数图象与系数的关系
【点评】本题是一次函数的基础题型，核心考查一次函数图象与系数的对应关系，牢记$k$、$b$符号对图象象限的影响即可快速解答，属于易得分题。
【难度系数】0.8
【解析】对于一次函数$y=kx+b$（$k≠0$）：
1. $k$的符号决定直线升降：$k＞0$时直线从左向右上升，$k＜0$时直线从左向右下降。本题中$k=4＞0$，直线呈上升趋势。
2. $b$的符号决定直线与$y$轴交点：$b＞0$时交点在$y$轴正半轴，$b＜0$时在负半轴，$b=0$时过原点。本题中$b=1＞0$，直线与$y$轴交于正半轴。
结合两点，$k＞0$且$b＞0$时，一次函数图象经过第一、二、三象限，因此不经过第四象限，对应选项D。
【答案】D
【知识点】一次函数图象与系数的关系
【点评】本题是一次函数的基础题型，核心考查一次函数图象与系数的对应关系，牢记$k$、$b$符号对图象象限的影响即可快速解答，属于易得分题。
【难度系数】0.8
6. 小明学了在数轴上表示无理数的方法后，进行了练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=1；再以点O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，那么点P表示的数是(
A.2.2
B.$\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}$
B
).A.2.2
B.$\sqrt{5}$
C.$1+\sqrt{2}$
D.$\sqrt{6}$
答案
【点拨】本题考查勾股定理的应用及数轴上实数的表示,解题关键是熟知勾股定理的应用及数轴上实数的表示方法.
【解析】在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$OA=2$,$AB=1$,$\therefore OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$,$\therefore$ 以点$O$为圆心,$OB$为半径作弧与正半轴交点$P$表示的数为$\sqrt{5}$.故选B.
【解析】在$\mathrm{Rt}△ OAB$中,$OA=2$,$AB=1$,$\therefore OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$,$\therefore$ 以点$O$为圆心,$OB$为半径作弧与正半轴交点$P$表示的数为$\sqrt{5}$.故选B.
解析
【分析】
要确定点P表示的数，需先求出OB的长度：已知OA垂直AB，△OAB是直角三角形，结合OA、AB的长度，利用勾股定理可算出OB；再根据圆的半径相等的性质，OP=OB，点P在数轴正半轴，因此P表示的数等于OB的长度。
【解析】
在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，根据勾股定理：
OB = √(OA² + AB²) = √(2² + 1²) = √5
以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，故OP=OB=√5，因此点P表示的数是√5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、数轴表示实数
【点评】
本题结合勾股定理与数轴，考查无理数在数轴上的表示，核心是利用勾股定理计算线段长度，结合圆的半径性质确定数轴上的点，属于基础题型，需掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
要确定点P表示的数，需先求出OB的长度：已知OA垂直AB，△OAB是直角三角形，结合OA、AB的长度，利用勾股定理可算出OB；再根据圆的半径相等的性质，OP=OB，点P在数轴正半轴，因此P表示的数等于OB的长度。
【解析】
在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，根据勾股定理：
OB = √(OA² + AB²) = √(2² + 1²) = √5
以点O为圆心，OB为半径作弧，交数轴正半轴于点P，故OP=OB=√5，因此点P表示的数是√5，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、数轴表示实数
【点评】
本题结合勾股定理与数轴，考查无理数在数轴上的表示，核心是利用勾股定理计算线段长度，结合圆的半径性质确定数轴上的点，属于基础题型，需掌握勾股定理的应用。
【难度系数】
0.7
