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24. (12 分)如图 1,直线 $ y = -2x + 4 $ 与 $ x $ 轴、$ y $ 轴分别交于点 $ A,B $.
(1)点 $ A $ 的坐标是________,点 $ B $ 的坐标是________,$ △ AOB $ 的面积是________;
(2)如图 2,直线 $ y = kx + 1(k ＞ 0) $ 分别与 $ y $ 轴、$ AB $ 交于点 $ C,D $,若 $ ∠ DBC = ∠ BCD $,求 $ k $ 的值;
(3)如图 3,平移直线 $ AB $,平移后的直线与 $ x $ 轴交于点 $ M $,与 $ y $ 轴交于点 $ N $,分别延长 $ BM,AN $ 交于点 $ Q $,试说明点 $ Q $ 在一条定直线上运动.
(1)点 $ A $ 的坐标是________,点 $ B $ 的坐标是________,$ △ AOB $ 的面积是________;
(2)如图 2,直线 $ y = kx + 1(k ＞ 0) $ 分别与 $ y $ 轴、$ AB $ 交于点 $ C,D $,若 $ ∠ DBC = ∠ BCD $,求 $ k $ 的值;
(3)如图 3,平移直线 $ AB $,平移后的直线与 $ x $ 轴交于点 $ M $,与 $ y $ 轴交于点 $ N $,分别延长 $ BM,AN $ 交于点 $ Q $,试说明点 $ Q $ 在一条定直线上运动.
答案
24. 【点拨】本题考查一次函数的图象和性质、等腰三角形的性质、用待定系数法求一次函数解析式及三角形面积公式,掌握一次函数的图象和性质是解题的关键.
【解析】(1)
∵ 当x=0时,y=4,
∴ B(0,4).
∵ 当y=0时,-2x + 4 = 0,解得x=2,
∴ A(2,0),
∴ OA = 2,OB = 4,
∴ $S_{△ AOB} = \frac{1}{2}OA · OB = \frac{1}{2}×2×4 = 4$.故答案为(2,0),(0,4),4.
(2)直线y = kx + 1与y轴交点C的坐标为(0,1),
∴ OC = 1,
∴ BC = OB - OC = 4 - 1 = 3.
∵ ∠DBC = ∠BCD,
∴ △BCD是等腰三角形,
∴ 点D的纵坐标为$\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
当-2x + 4 = $\frac{5}{2}$时,解得x = $\frac{3}{4}$,
∴ $D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$.
将点$D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$代入y = kx + 1,得$\frac{3}{4}k + 1 = \frac{5}{2}$,解得k = 2.
(3)设平移后的直线解析式为y = -2x + 4 - m.
当y=0时,-2x + 4 - m = 0,解得$x = \frac{4 - m}{2}$,则点$M(\frac{4 - m}{2},0)$.
当x=0时,y = 4 - m,则N(0,4 - m).
设直线MB的解析式为$y = k_1x + b_1(k_1 ≠ 0)$,
把$M(\frac{4 - m}{2},0),B(0,4)$代入$y = k_1x + b_1$,得$\begin{cases}\frac{4 - m}{2}k_1 + b_1 = 0,\\b_1 = 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = \frac{8}{m - 4},\\b_1 = 4,\end{cases}$
∴ 直线MB的解析式为$y = \frac{8}{m - 4}x + 4$.
设直线AN的解析式为$y = k_2x + b_2(k_2 ≠ 0)$,
把A(2,0),N(0,4 - m)代入$y = k_2x + b_2$,得$\begin{cases}2k_2 + b_2 = 0,\\b_2 = 4 - m,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2 = \frac{m - 4}{2},\\b_2 = 4 - m,\end{cases}$
∴ 直线AN的解析式为$y = \frac{m - 4}{2}x + 4 - m$.
联立函数解析式,得$\begin{cases}y = \frac{8}{m - 4}x + 4,\\y = \frac{m - 4}{2}x + 4 - m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = \frac{2m - 8}{m - 8},\\y = \frac{2(2m - 8)}{m - 8},\end{cases}$
∴ $Q(\frac{2m - 8}{m - 8},\frac{2(2m - 8)}{m - 8})$,
∴ 点Q在直线y = 2x上运动.
【解析】(1)
∵ 当x=0时,y=4,
∴ B(0,4).
∵ 当y=0时,-2x + 4 = 0,解得x=2,
∴ A(2,0),
∴ OA = 2,OB = 4,
∴ $S_{△ AOB} = \frac{1}{2}OA · OB = \frac{1}{2}×2×4 = 4$.故答案为(2,0),(0,4),4.
(2)直线y = kx + 1与y轴交点C的坐标为(0,1),
∴ OC = 1,
∴ BC = OB - OC = 4 - 1 = 3.
∵ ∠DBC = ∠BCD,
∴ △BCD是等腰三角形,
∴ 点D的纵坐标为$\frac{3}{2} + 1 = \frac{5}{2}$.
当-2x + 4 = $\frac{5}{2}$时,解得x = $\frac{3}{4}$,
∴ $D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$.
将点$D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$代入y = kx + 1,得$\frac{3}{4}k + 1 = \frac{5}{2}$,解得k = 2.
(3)设平移后的直线解析式为y = -2x + 4 - m.
当y=0时,-2x + 4 - m = 0,解得$x = \frac{4 - m}{2}$,则点$M(\frac{4 - m}{2},0)$.
当x=0时,y = 4 - m,则N(0,4 - m).
设直线MB的解析式为$y = k_1x + b_1(k_1 ≠ 0)$,
把$M(\frac{4 - m}{2},0),B(0,4)$代入$y = k_1x + b_1$,得$\begin{cases}\frac{4 - m}{2}k_1 + b_1 = 0,\\b_1 = 4,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_1 = \frac{8}{m - 4},\\b_1 = 4,\end{cases}$
∴ 直线MB的解析式为$y = \frac{8}{m - 4}x + 4$.
设直线AN的解析式为$y = k_2x + b_2(k_2 ≠ 0)$,
把A(2,0),N(0,4 - m)代入$y = k_2x + b_2$,得$\begin{cases}2k_2 + b_2 = 0,\\b_2 = 4 - m,\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2 = \frac{m - 4}{2},\\b_2 = 4 - m,\end{cases}$
∴ 直线AN的解析式为$y = \frac{m - 4}{2}x + 4 - m$.
联立函数解析式,得$\begin{cases}y = \frac{8}{m - 4}x + 4,\\y = \frac{m - 4}{2}x + 4 - m,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x = \frac{2m - 8}{m - 8},\\y = \frac{2(2m - 8)}{m - 8},\end{cases}$
∴ $Q(\frac{2m - 8}{m - 8},\frac{2(2m - 8)}{m - 8})$,
∴ 点Q在直线y = 2x上运动.
解析
【分析】
本题分三个小问逐步求解：第(1)问，求直线与坐标轴交点时，分别令x=0、y=0代入直线解析式，得到A、B坐标，再用直角三角形面积公式计算△AOB的面积；第(2)问，由∠DBC=∠BCD可知△BCD为等腰三角形，先求直线y=kx+1与y轴交点C的坐标，计算BC长度，确定点D的纵坐标，代入AB解析式求出D点坐标，再用待定系数法求k；第(3)问，先设平移后直线解析式，求M、N坐标，再分别求直线MB和AN的解析式，联立得交点Q的坐标，消去参数确定Q所在定直线。
【解析】
(1) 对于直线$y=-2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$；令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，故$A(2,0)$。则$OA=2$，$OB=4$，所以$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(2) 直线$y=kx+1$与y轴交于$C$，令$x=0$得$y=1$，故$C(0,1)$，则$BC=OB-OC=4-1=3$。因为$∠ DBC=∠ BCD$，所以$△ BCD$为等腰三角形，点$D$的纵坐标为$\frac{5}{2}$。将$y=\frac{5}{2}$代入$y=-2x+4$，得$\frac{5}{2}=-2x+4$，解得$x=\frac{3}{4}$，故$D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$。将$D$代入$y=kx+1$，得$\frac{3}{4}k+1=\frac{5}{2}$，解得$k=2$。
(3) 设平移后的直线解析式为$y=-2x+b$，当$y=0$时，$0=-2x+b$，得$x=\frac{b}{2}$，故$M(\frac{b}{2},0)$；当$x=0$时，$y=b$，故$N(0,b)$。设直线$MB$的解析式为$y=k_1x+4$，代入$M(\frac{b}{2},0)$得$0=\frac{b}{2}k_1+4$，解得$k_1=-\frac{8}{b}$，故直线$MB$：$y=-\frac{8}{b}x+4$。设直线$AN$的解析式为$y=k_2x+b$，代入$A(2,0)$得$0=2k_2+b$，解得$k_2=-\frac{b}{2}$，故直线$AN$：$y=-\frac{b}{2}x+b$。联立两直线解析式：$-\frac{8}{b}x+4=-\frac{b}{2}x+b$，解得$x=\frac{2b}{b+4}$，$y=\frac{4b}{b+4}$，即$Q(\frac{2b}{b+4},\frac{4b}{b+4})$，故点$Q$在直线$y=2x$上运动。
【答案】
(1) $(2,0)$，$(0,4)$，$4$；(2) $k=2$；(3) 点$Q$在直线$y=2x$上运动
【知识点】
一次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查一次函数相关知识，结合等腰三角形性质、待定系数法等，需掌握一次函数与坐标轴交点求法及方程思想的应用，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
本题分三个小问逐步求解：第(1)问，求直线与坐标轴交点时，分别令x=0、y=0代入直线解析式，得到A、B坐标，再用直角三角形面积公式计算△AOB的面积；第(2)问，由∠DBC=∠BCD可知△BCD为等腰三角形，先求直线y=kx+1与y轴交点C的坐标，计算BC长度，确定点D的纵坐标，代入AB解析式求出D点坐标，再用待定系数法求k；第(3)问，先设平移后直线解析式，求M、N坐标，再分别求直线MB和AN的解析式，联立得交点Q的坐标，消去参数确定Q所在定直线。
【解析】
(1) 对于直线$y=-2x+4$，令$x=0$，得$y=4$，故$B(0,4)$；令$y=0$，得$-2x+4=0$，解得$x=2$，故$A(2,0)$。则$OA=2$，$OB=4$，所以$S_{△ AOB}=\frac{1}{2}OA·OB=\frac{1}{2}×2×4=4$。
(2) 直线$y=kx+1$与y轴交于$C$，令$x=0$得$y=1$，故$C(0,1)$，则$BC=OB-OC=4-1=3$。因为$∠ DBC=∠ BCD$，所以$△ BCD$为等腰三角形，点$D$的纵坐标为$\frac{5}{2}$。将$y=\frac{5}{2}$代入$y=-2x+4$，得$\frac{5}{2}=-2x+4$，解得$x=\frac{3}{4}$，故$D(\frac{3}{4},\frac{5}{2})$。将$D$代入$y=kx+1$，得$\frac{3}{4}k+1=\frac{5}{2}$，解得$k=2$。
(3) 设平移后的直线解析式为$y=-2x+b$，当$y=0$时，$0=-2x+b$，得$x=\frac{b}{2}$，故$M(\frac{b}{2},0)$；当$x=0$时，$y=b$，故$N(0,b)$。设直线$MB$的解析式为$y=k_1x+4$，代入$M(\frac{b}{2},0)$得$0=\frac{b}{2}k_1+4$，解得$k_1=-\frac{8}{b}$，故直线$MB$：$y=-\frac{8}{b}x+4$。设直线$AN$的解析式为$y=k_2x+b$，代入$A(2,0)$得$0=2k_2+b$，解得$k_2=-\frac{b}{2}$，故直线$AN$：$y=-\frac{b}{2}x+b$。联立两直线解析式：$-\frac{8}{b}x+4=-\frac{b}{2}x+b$，解得$x=\frac{2b}{b+4}$，$y=\frac{4b}{b+4}$，即$Q(\frac{2b}{b+4},\frac{4b}{b+4})$，故点$Q$在直线$y=2x$上运动。
【答案】
(1) $(2,0)$，$(0,4)$，$4$；(2) $k=2$；(3) 点$Q$在直线$y=2x$上运动
【知识点】
一次函数的图象与性质、等腰三角形的性质、待定系数法求一次函数解析式
【点评】
本题综合考查一次函数相关知识，结合等腰三角形性质、待定系数法等，需掌握一次函数与坐标轴交点求法及方程思想的应用，注重知识的综合运用。
【难度系数】
0.6
