登录
24. (12 分)如图1,已知函数$y = -\frac{1}{2}x + 3$的图象与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$B$,点$C$与点$A$关于$y$轴对称.
(1)求直线$AB$的函数解析式;
(2)设$M$是$x$轴上的一个动点,过点$M$作$y$轴的平行线,交直线$AB$于点$P$,交直线$BC$于点$Q$.
①若$△ PQB$的面积为$\frac{4}{3}$,求点$M$的坐标;
②连接$BM$,如图2,若$∠ BMP = ∠ BAC$,求点$P$的坐标.
·114·
(1)求直线$AB$的函数解析式;
(2)设$M$是$x$轴上的一个动点,过点$M$作$y$轴的平行线,交直线$AB$于点$P$,交直线$BC$于点$Q$.
①若$△ PQB$的面积为$\frac{4}{3}$,求点$M$的坐标;
②连接$BM$,如图2,若$∠ BMP = ∠ BAC$,求点$P$的坐标.
·114·
答案
【点拨】本题考查一次函数的图象与坐标轴的交点问题,关于$y$轴对称的点的坐标特征,用待定系数法求一次函数解析式,三角形面积公式,勾股定理的应用,解题关键是利用分类讨论思想.
【解析】(1)已知函数$y = -\dfrac{1}{2}x + 3$的图象与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$B$,点$C$与点$A$关于$y$轴对称.
当$x=0$时,得$y=3$,
当$y=0$时,得$0 = -\dfrac{1}{2}x + 3$,解得$x=6$,
$\therefore B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore A(-6,0)$.
设直线$AB$的函数解析式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,将点$A$,$B$的坐标分别代入,得$\begin{cases} -6k + b = 0, \\ b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}, \\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的函数解析式为$y = \dfrac{1}{2}x + 3$.
(2)①设$M(m,0)$,则$P(m,\dfrac{1}{2}m + 3)$,$Q(m,-\dfrac{1}{2}m + 3)$,如图1,过点$B$作$BD ⊥ PQ$于点$D$,
$\therefore PQ = \left| (-\dfrac{1}{2}m + 3) - (\dfrac{1}{2}m + 3) \right| = |m|$,$BD = |m|$,
$\therefore S_{△ PQB} = \dfrac{1}{2}PQ · BD = \dfrac{1}{2}m^2 = \dfrac{4}{3}$,解得$m = \pm \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$,
$\therefore M(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$或$M(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$.
②当点$M$在$y$轴的左侧时,如图2,
$\because$ 点$C$与点$A$关于$y$轴对称,
$\therefore AB=BC$,$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$.
$\because ∠ BMP = ∠ BAC$,$\therefore ∠ BMP = ∠ BCA$.
$\because ∠ BMP + ∠ BMC = 90°$,$\therefore ∠ BMC + ∠ BCA = 90°$,
$\therefore ∠ MBC = 180° - (∠ BMC + ∠ BCA) = 90°$.
由勾股定理,得$BM^2 + BC^2 = MC^2$.
设$M(x,0)$,则$P(x,\dfrac{1}{2}x + 3)$,
由勾股定理,得$BM^2 = OM^2 + OB^2 = x^2 + 9$,
$MC^2 = (6-x)^2$,$BC^2 = OC^2 + OB^2 = 6^2 + 3^2 = 45$,
$\therefore x^2 + 9 + 45 = (6-x)^2$,
解得$x = -\dfrac{3}{2}$,$\therefore P(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$;
当点$M$在$y$轴的右侧时,如图3,
同理可得,$P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$或$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
解析
【分析】
1. 先求已知直线与坐标轴交点B、C，利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A点，再用待定系数法求直线AB的解析式；
2. ①中设动点M的坐标，根据PQ平行于y轴，得到P、Q的坐标，计算PQ的长度和点B到PQ的距离，利用三角形面积公式列方程求解M的坐标；
3. ②中利用A、C关于y轴对称得AB=BC，推出∠BAC=∠BCA，结合已知∠BMP=∠BAC推导∠MBC=90°，再用勾股定理建立方程，分M在y轴左侧和右侧两种情况，求出P点坐标。
【解析】
(1)已知函数$y = -\dfrac{1}{2}x + 3$的图象与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$B$,点$C$与点$A$关于$y$轴对称.
当$x=0$时,得$y=3$,
当$y=0$时,得$0 = -\dfrac{1}{2}x + 3$,解得$x=6$,
$\therefore B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore A(-6,0)$.
设直线$AB$的函数解析式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,将点$A$,$B$的坐标分别代入,得$\begin{cases} -6k + b = 0, \\ b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}, \\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的函数解析式为$y = \dfrac{1}{2}x + 3$.
(2)①设$M(m,0)$,则$P(m,\dfrac{1}{2}m + 3)$,$Q(m,-\dfrac{1}{2}m + 3)$,过点$B$作$BD ⊥ PQ$于点$D$,
$\therefore PQ = \left| (-\dfrac{1}{2}m + 3) - (\dfrac{1}{2}m + 3) \right| = |m|$,$BD = |m|$,
$\therefore S_{△ PQB} = \dfrac{1}{2}PQ · BD = \dfrac{1}{2}m^2 = \dfrac{4}{3}$,解得$m = \pm \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$,
$\therefore M(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$或$M(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$.
②当点$M$在$y$轴的左侧时,
$\because$ 点$C$与点$A$关于$y$轴对称,
$\therefore AB=BC$,$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$.
$\because ∠ BMP = ∠ BAC$,$\therefore ∠ BMP = ∠ BCA$.
$\because ∠ BMP + ∠ BMC = 90°$,$\therefore ∠ BMC + ∠ BCA = 90°$,
$\therefore ∠ MBC = 90°$.
设$M(x,0)$,则$P(x,\dfrac{1}{2}x + 3)$,
由勾股定理得:$BM^2 = x^2 + 9$,$MC^2 = (6-x)^2$,$BC^2 = 6^2 + 3^2 = 45$,
$\because BM^2 + BC^2 = MC^2$,
$\therefore x^2 + 9 + 45 = (6-x)^2$,解得$x = -\dfrac{3}{2}$,$\therefore P(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$;
当点$M$在$y$轴的右侧时,同理可得$P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$或$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
【答案】
(1)直线$AB$的函数解析式为$y = \dfrac{1}{2}x + 3$；
(2)①点$M$的坐标为$(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$或$(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$；
②点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$或$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
【知识点】
一次函数、三角形面积、勾股定理
【点评】
本题是一次函数的综合应用题，考查待定系数法求函数解析式、三角形面积计算、勾股定理的应用，关键是利用对称关系和角度推导直角，需分类讨论动点位置，体现了分类思想与数形结合思想，综合性较强。
【难度系数】
0.5
1. 先求已知直线与坐标轴交点B、C，利用关于y轴对称的点的坐标特征得到A点，再用待定系数法求直线AB的解析式；
2. ①中设动点M的坐标，根据PQ平行于y轴，得到P、Q的坐标，计算PQ的长度和点B到PQ的距离，利用三角形面积公式列方程求解M的坐标；
3. ②中利用A、C关于y轴对称得AB=BC，推出∠BAC=∠BCA，结合已知∠BMP=∠BAC推导∠MBC=90°，再用勾股定理建立方程，分M在y轴左侧和右侧两种情况，求出P点坐标。
【解析】
(1)已知函数$y = -\dfrac{1}{2}x + 3$的图象与$x$轴交于点$C$,与$y$轴交于点$B$,点$C$与点$A$关于$y$轴对称.
当$x=0$时,得$y=3$,
当$y=0$时,得$0 = -\dfrac{1}{2}x + 3$,解得$x=6$,
$\therefore B(0,3)$,$C(6,0)$,$\therefore A(-6,0)$.
设直线$AB$的函数解析式为$y=kx+b(k ≠ 0)$,将点$A$,$B$的坐标分别代入,得$\begin{cases} -6k + b = 0, \\ b=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=\dfrac{1}{2}, \\ b=3, \end{cases}$
$\therefore$ 直线$AB$的函数解析式为$y = \dfrac{1}{2}x + 3$.
(2)①设$M(m,0)$,则$P(m,\dfrac{1}{2}m + 3)$,$Q(m,-\dfrac{1}{2}m + 3)$,过点$B$作$BD ⊥ PQ$于点$D$,
$\therefore PQ = \left| (-\dfrac{1}{2}m + 3) - (\dfrac{1}{2}m + 3) \right| = |m|$,$BD = |m|$,
$\therefore S_{△ PQB} = \dfrac{1}{2}PQ · BD = \dfrac{1}{2}m^2 = \dfrac{4}{3}$,解得$m = \pm \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$,
$\therefore M(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$或$M(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$.
②当点$M$在$y$轴的左侧时,
$\because$ 点$C$与点$A$关于$y$轴对称,
$\therefore AB=BC$,$\therefore ∠ BAC = ∠ BCA$.
$\because ∠ BMP = ∠ BAC$,$\therefore ∠ BMP = ∠ BCA$.
$\because ∠ BMP + ∠ BMC = 90°$,$\therefore ∠ BMC + ∠ BCA = 90°$,
$\therefore ∠ MBC = 90°$.
设$M(x,0)$,则$P(x,\dfrac{1}{2}x + 3)$,
由勾股定理得:$BM^2 = x^2 + 9$,$MC^2 = (6-x)^2$,$BC^2 = 6^2 + 3^2 = 45$,
$\because BM^2 + BC^2 = MC^2$,
$\therefore x^2 + 9 + 45 = (6-x)^2$,解得$x = -\dfrac{3}{2}$,$\therefore P(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$;
当点$M$在$y$轴的右侧时,同理可得$P(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
综上所述,点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$或$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$.
【答案】
(1)直线$AB$的函数解析式为$y = \dfrac{1}{2}x + 3$；
(2)①点$M$的坐标为$(\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$或$(-\dfrac{2\sqrt{6}}{3},0)$；
②点$P$的坐标为$(-\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4})$或$(\dfrac{3}{2},\dfrac{15}{4})$。
【知识点】
一次函数、三角形面积、勾股定理
【点评】
本题是一次函数的综合应用题，考查待定系数法求函数解析式、三角形面积计算、勾股定理的应用，关键是利用对称关系和角度推导直角，需分类讨论动点位置，体现了分类思想与数形结合思想，综合性较强。
【难度系数】
0.5
