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1. 下列等式成立的是(
A.$\pm 5 = \sqrt{25}$
B.$-5 = \sqrt{(-5)^2}$
C.$\sqrt[3]{(-1)^3} = 1$
D.$(\sqrt{1})^2 = 1$
D
).A.$\pm 5 = \sqrt{25}$
B.$-5 = \sqrt{(-5)^2}$
C.$\sqrt[3]{(-1)^3} = 1$
D.$(\sqrt{1})^2 = 1$
答案
【点拨】本题考查算术平方根和立方根,解题的关键是熟练掌握相关定义.
【解析】A. $\sqrt{25} = 5$,故 A 错误;B. $\sqrt{(-5)^2} = 5$,故 B 错误;C. $\sqrt[3]{(-1)^3} = -1$,故 C 错误;D. $(\sqrt{1})^2 = 1$,故 D 正确. 故选 D.
【解析】A. $\sqrt{25} = 5$,故 A 错误;B. $\sqrt{(-5)^2} = 5$,故 B 错误;C. $\sqrt[3]{(-1)^3} = -1$,故 C 错误;D. $(\sqrt{1})^2 = 1$,故 D 正确. 故选 D.
解析
【分析】
本题考查算术平方根与立方根的定义，解题思路是依据算术平方根和立方根的相关性质，逐一计算每个选项中等式两边的值，判断是否相等，从而确定正确选项。
【解析】
A. 根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$\sqrt{25}=5$，而$\pm5$是25的平方根，故$\pm5=\sqrt{25}$不成立，A错误；
B. 先计算$(-5)^2=25$，再根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}=5$，故$-5=\sqrt{(-5)^2}$不成立，B错误；
C. 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{(-1)^3}=-1$，故$\sqrt[3]{(-1)^3}=1$不成立，C错误；
D. 先计算$\sqrt{1}=1$，再计算$(\sqrt{1})^2=1^2=1$，故$(\sqrt{1})^2=1$成立，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根、立方根
【点评】
本题考查算术平方根与立方根的基本概念，属于基础题，只要牢记相关定义和性质即可正确解答，是对基础知识掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.7
本题考查算术平方根与立方根的定义，解题思路是依据算术平方根和立方根的相关性质，逐一计算每个选项中等式两边的值，判断是否相等，从而确定正确选项。
【解析】
A. 根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}$表示25的算术平方根，算术平方根为非负数，因此$\sqrt{25}=5$，而$\pm5$是25的平方根，故$\pm5=\sqrt{25}$不成立，A错误；
B. 先计算$(-5)^2=25$，再根据算术平方根的定义，$\sqrt{25}=5$，故$-5=\sqrt{(-5)^2}$不成立，B错误；
C. 根据立方根的性质$\sqrt[3]{a^3}=a$，可得$\sqrt[3]{(-1)^3}=-1$，故$\sqrt[3]{(-1)^3}=1$不成立，C错误；
D. 先计算$\sqrt{1}=1$，再计算$(\sqrt{1})^2=1^2=1$，故$(\sqrt{1})^2=1$成立，D正确。
【答案】
D
【知识点】
算术平方根、立方根
【点评】
本题考查算术平方根与立方根的基本概念，属于基础题，只要牢记相关定义和性质即可正确解答，是对基础知识掌握程度的直接考查。
【难度系数】
0.7
2. 四边形具有不稳定性,从数学角度看,不稳定性主要体现在(
A.内角可发生变化
B.边长可发生变化
C.周长可发生变化
D.内角和可发生变化
A
).A.内角可发生变化
B.边长可发生变化
C.周长可发生变化
D.内角和可发生变化
答案
【点拨】本题考查四边形的不稳定性,解题的关键是熟知四边形不稳定的原因.
【解析】四边形具有不稳定性,从数学角度看,不稳定性主要体现在四边形的四条边确定后,四个角并不确定. 故选 A.
【解析】四边形具有不稳定性,从数学角度看,不稳定性主要体现在四边形的四条边确定后,四个角并不确定. 故选 A.
解析
【分析】要解决本题，需先明确四边形不稳定性的数学本质：三角形具有稳定性，是因为三边确定后形状、角度均固定；而四边形不同，当四条边长度确定时，其内角大小可发生变化，进而导致形状改变，这就是四边形的不稳定性。接下来逐一分析选项：B选项描述的边长变化不是不稳定性的体现；C选项周长是边长之和，边长不变时周长固定；D选项四边形内角和恒为360°，不会变化；只有A选项符合不稳定性的体现，据此可确定答案。
【解析】四边形的不稳定性核心是：四条边长度确定时，内角大小可发生变化，使四边形形状改变。对各选项分析如下：
A选项：内角可发生变化，符合四边形不稳定性的体现，正确；
B选项：四边形边长确定后，边长不会随意改变，不是不稳定性的体现，错误；
C选项：周长是边长的总和，边长不变则周长固定，错误；
D选项：任意四边形内角和均为360°，是固定值，不会变化，错误。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】四边形的不稳定性、四边形内角和
【点评】本题考查对四边形不稳定性这一基础概念的理解，需准确区分各选项描述的性质，属于概念识记类基础题目，难度较低。
【难度系数】0.7
【解析】四边形的不稳定性核心是：四条边长度确定时，内角大小可发生变化，使四边形形状改变。对各选项分析如下：
A选项：内角可发生变化，符合四边形不稳定性的体现，正确；
B选项：四边形边长确定后，边长不会随意改变，不是不稳定性的体现，错误；
C选项：周长是边长的总和，边长不变则周长固定，错误；
D选项：任意四边形内角和均为360°，是固定值，不会变化，错误。
综上，答案选A。
【答案】A
【知识点】四边形的不稳定性、四边形内角和
【点评】本题考查对四边形不稳定性这一基础概念的理解，需准确区分各选项描述的性质，属于概念识记类基础题目，难度较低。
【难度系数】0.7
3. 在平整的路面上,某型号汽车紧急刹车后仍将滑行$s$ m,一般地有经验公式$s = \dfrac{v^2}{290}$,其中$v$表示刹车前汽车的速度(单位:km/h).下列说法正确的是(
A.$s$是$v$的一次函数
B.$s$与$v$是变量
C.$v$的取值为全体实数
D.$s$是自变量
B
).A.$s$是$v$的一次函数
B.$s$与$v$是变量
C.$v$的取值为全体实数
D.$s$是自变量
答案
【点拨】本题考查常量和变量.
【解析】根据常量和变量的定义,可得 s 和 v 是变量;s 是 v 的二次函数;v 是自变量;v 的取值为非负数. 故选 B.
【解析】根据常量和变量的定义,可得 s 和 v 是变量;s 是 v 的二次函数;v 是自变量;v 的取值为非负数. 故选 B.
解析
【分析】
要判断各选项的正确性，需先明确常量、变量、一次函数、自变量的定义，再结合公式$s = \dfrac{v^2}{290}$逐一分析：
1. 先回忆概念：变量是数值会变化的量，一次函数形式为$y=kx+b(k≠0)$，自变量是主动变化的量，因变量随自变量变化。
2. 逐个分析选项，排除错误选项，确定正确答案。
【解析】
根据公式$s = \dfrac{v^2}{290}$，其中290是常量，$s$和$v$是变量，逐一分析选项：
选项A：一次函数要求自变量的次数为1，而该公式中$v$的次数是2，$s$是$v$的二次函数，不是一次函数，故A错误；
选项B：$s$随$v$的变化而变化，两者都是可取值不同的量，属于变量，故B正确；
选项C：$v$表示刹车前汽车的速度，速度为非负数，不可能是全体实数，故C错误；
选项D：$s$的取值由$v$决定，因此$v$是自变量，$s$是因变量，故D错误；
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
常量与变量、二次函数、自变量
【点评】
本题考查常量、变量及函数的基础概念，属于初中数学的基础题型，需准确区分自变量、因变量，以及函数的类型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要判断各选项的正确性，需先明确常量、变量、一次函数、自变量的定义，再结合公式$s = \dfrac{v^2}{290}$逐一分析：
1. 先回忆概念：变量是数值会变化的量，一次函数形式为$y=kx+b(k≠0)$，自变量是主动变化的量，因变量随自变量变化。
2. 逐个分析选项，排除错误选项，确定正确答案。
【解析】
根据公式$s = \dfrac{v^2}{290}$，其中290是常量，$s$和$v$是变量，逐一分析选项：
选项A：一次函数要求自变量的次数为1，而该公式中$v$的次数是2，$s$是$v$的二次函数，不是一次函数，故A错误；
选项B：$s$随$v$的变化而变化，两者都是可取值不同的量，属于变量，故B正确；
选项C：$v$表示刹车前汽车的速度，速度为非负数，不可能是全体实数，故C错误；
选项D：$s$的取值由$v$决定，因此$v$是自变量，$s$是因变量，故D错误；
综上，正确答案为B。
【答案】
B
【知识点】
常量与变量、二次函数、自变量
【点评】
本题考查常量、变量及函数的基础概念，属于初中数学的基础题型，需准确区分自变量、因变量，以及函数的类型，难度较低。
【难度系数】
0.7
4. 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ A, ∠ B, ∠ C$的对边分别为$a,b,c$。若$c^2 = a^2 - b^2$，则（
A.$∠ A - ∠ B = 90°$
B.$∠ A + ∠ B = 90°$
C.$∠ B = 90°$
D.$∠ A = 90°$
D
）。A.$∠ A - ∠ B = 90°$
B.$∠ A + ∠ B = 90°$
C.$∠ B = 90°$
D.$∠ A = 90°$
答案
【点拨】本题考查勾股定理,直角三角形的性质,解题的关键是熟知勾股定理和直角三角形的性质.
【解析】$\because c^2 = a^2 - b^2$,$\therefore c^2 + b^2 = a^2$,$\therefore ∠ A = 90°$. 故选 D.
【解析】$\because c^2 = a^2 - b^2$,$\therefore c^2 + b^2 = a^2$,$\therefore ∠ A = 90°$. 故选 D.
解析
【分析】首先将已知的边的平方关系变形为$c^2 + b^2 = a^2$，结合勾股定理的核心内容：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，由此可判断边$a$是该直角三角形的斜边，斜边对应的角为直角，进而确定直角的位置，选出正确选项。
【解析】已知$c^2 = a^2 - b^2$，移项可得$c^2 + b^2 = a^2$。根据勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可知边$a$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，斜边对应的角为直角，即$∠ A = 90°$，因此答案选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理，直角三角形的性质
【点评】本题是勾股定理的基础应用题，关键是通过边的平方关系确定斜边，进而确定直角，解题思路清晰，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7
【解析】已知$c^2 = a^2 - b^2$，移项可得$c^2 + b^2 = a^2$。根据勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方，可知边$a$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边，斜边对应的角为直角，即$∠ A = 90°$，因此答案选D。
【答案】D
【知识点】勾股定理，直角三角形的性质
【点评】本题是勾股定理的基础应用题，关键是通过边的平方关系确定斜边，进而确定直角，解题思路清晰，难度较低，适合巩固基础知识点。
【难度系数】0.7
5. 如图,在$3×2$的方形网格中,每个小方格的形状都为正方形,六个小方格组成一个轴对称图形,若剪掉其中一个小方格,剩下的5个小方格仍组成轴对称图形,则剪掉一个小方格的办法有(
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种及以上
B
).A.1种
B.2种
C.3种
D.4种及以上
答案
【点拨】本题考查轴对称图形,解题的关键是熟知轴对称图形的定义.
【解析】如图,剪掉一个实线小方格后仍组成轴对称图形,有 2 种办法. 故选 B.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先确定原图形是由3列2行的6个小方格组成的轴对称图形，其对称轴为中间竖列所在的直线。要使剪掉1个小方格后，剩下的5个仍为轴对称图形，需保证剩余部分沿原对称轴对折后完全重合，因此只能选择对称轴上的小方格进行剪掉，据此分析符合条件的方法数量。
【解析】
原图形的对称轴是中间竖列的直线，对称轴上的小方格有2个，分别是中间竖列的上方小方格和下方小方格：
1. 剪掉中间竖列上方的小方格，剩余5个小方格沿原对称轴对折后，左右两边完全重合，是轴对称图形；
2. 剪掉中间竖列下方的小方格，剩余5个小方格沿原对称轴对折后，左右两边完全重合，是轴对称图形；
若剪掉其他位置的小方格，剩余部分无法沿原对称轴对折重合，不再是轴对称图形。因此共有2种剪掉方法，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形
【点评】
本题考查轴对称图形的定义，核心是理解轴对称图形沿对称轴对折后两边完全重合的特征，通过分析对称轴上的小方格，即可快速确定符合条件的剪掉方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，首先确定原图形是由3列2行的6个小方格组成的轴对称图形，其对称轴为中间竖列所在的直线。要使剪掉1个小方格后，剩下的5个仍为轴对称图形，需保证剩余部分沿原对称轴对折后完全重合，因此只能选择对称轴上的小方格进行剪掉，据此分析符合条件的方法数量。
【解析】
原图形的对称轴是中间竖列的直线，对称轴上的小方格有2个，分别是中间竖列的上方小方格和下方小方格：
1. 剪掉中间竖列上方的小方格，剩余5个小方格沿原对称轴对折后，左右两边完全重合，是轴对称图形；
2. 剪掉中间竖列下方的小方格，剩余5个小方格沿原对称轴对折后，左右两边完全重合，是轴对称图形；
若剪掉其他位置的小方格，剩余部分无法沿原对称轴对折重合，不再是轴对称图形。因此共有2种剪掉方法，故选B。
【答案】
B
【知识点】
轴对称图形
【点评】
本题考查轴对称图形的定义，核心是理解轴对称图形沿对称轴对折后两边完全重合的特征，通过分析对称轴上的小方格，即可快速确定符合条件的剪掉方法，难度适中。
【难度系数】
0.5
6. 如图,为测量位于一水塘旁的两点A,B间的距离,在地面上确定点P,分别取PA,PB的中点D,C,已知等边$△ PCD$的周长为18 m,则A,B之间的距离是(
A.6 m
B.12 m
C.18 m
D.24 m
B
).A.6 m
B.12 m
C.18 m
D.24 m
答案
【点拨】本题考查三角形的中位线定理,解题的关键是熟知三角形的中位线等于第三边的一半.
【解析】$\because$ 等边$△ PCD$的周长为 18 m,$\therefore CD = \frac{1}{3} × 18 = 6(\mathrm{m})$.$\because D,C$ 分别是 $PA,PB$ 的中点,$\therefore CD$ 是 $△ PAB$ 的中位线,$\therefore AB = 2CD = 2 × 6 = 12(\mathrm{m})$. 故选 B.
【解析】$\because$ 等边$△ PCD$的周长为 18 m,$\therefore CD = \frac{1}{3} × 18 = 6(\mathrm{m})$.$\because D,C$ 分别是 $PA,PB$ 的中点,$\therefore CD$ 是 $△ PAB$ 的中位线,$\therefore AB = 2CD = 2 × 6 = 12(\mathrm{m})$. 故选 B.
解析
【分析】
要计算A、B间的距离，需分两步推导：首先根据等边三角形的周长求出边长CD；再利用三角形中位线定理，结合D、C是PA、PB中点的条件，得到AB与CD的数量关系，进而算出AB的长度。
【解析】
1. 因为△PCD是等边三角形，周长为18 m，等边三角形三边相等，所以边长$ CD = \frac{18}{3} = 6\ \mathrm{m} $。
2. 已知D是PA的中点，C是PB的中点，因此CD是△PAB的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$ AB = 2CD $。
3. 代入$ CD=6\ \mathrm{m} $，计算得$ AB = 2×6 = 12\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质
【点评】
本题结合等边三角形性质与三角形中位线定理考查几何计算，属于基础题型，解题核心是准确识别中位线并应用其性质，难度较低。
【难度系数】
0.6
要计算A、B间的距离，需分两步推导：首先根据等边三角形的周长求出边长CD；再利用三角形中位线定理，结合D、C是PA、PB中点的条件，得到AB与CD的数量关系，进而算出AB的长度。
【解析】
1. 因为△PCD是等边三角形，周长为18 m，等边三角形三边相等，所以边长$ CD = \frac{18}{3} = 6\ \mathrm{m} $。
2. 已知D是PA的中点，C是PB的中点，因此CD是△PAB的中位线。根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，可得$ AB = 2CD $。
3. 代入$ CD=6\ \mathrm{m} $，计算得$ AB = 2×6 = 12\ \mathrm{m} $。
【答案】
B
【知识点】
三角形中位线定理，等边三角形的性质
【点评】
本题结合等边三角形性质与三角形中位线定理考查几何计算，属于基础题型，解题核心是准确识别中位线并应用其性质，难度较低。
【难度系数】
0.6
7. 如图,在单位长度为1的$4×3$的方形网格中,$P,E,F,G,H,M$各点都在格点上,其中能表示长度为$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的两条线段是(
A.$PE,PG$
B.$PE,PH$
C.$PG,PF$
D.$PG,PH$
A
).A.$PE,PG$
B.$PE,PH$
C.$PG,PF$
D.$PG,PH$
答案
【点拨】本题考查勾股定理,解题的关键是熟知勾股定理的内容并灵活应用.
【解析】由勾股定理,得 $PE = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$,$PF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$,$PH = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$,$PG = PM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$,$\therefore$ 能表示长度为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{5}$ 的两条线段是 $PE,PG$(或 $PM$). 故选 A.
【解析】由勾股定理,得 $PE = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$,$PF = \sqrt{1^2 + 3^2} = \sqrt{10}$,$PH = \sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt{2}$,$PG = PM = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5}$,$\therefore$ 能表示长度为 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{5}$ 的两条线段是 $PE,PG$(或 $PM$). 故选 A.
解析
【分析】要找出长度为$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的线段，需利用勾股定理计算各线段长度。在单位网格中，任意两点间的线段可作为直角三角形的斜边，直角边长度为两点水平、垂直方向的格数差，根据勾股定理，斜边长度为$\sqrt{(\mathrm{水平格数差})^2 + (\mathrm{垂直格数差})^2}$，据此计算各选项中线段的长度，再匹配目标长度即可。
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算各线段长度：
$PE$：水平格数差为1，垂直格数差为1，故$PE=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；
$PG$：水平格数差为1，垂直格数差为2，故$PG=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$；
$PF$：水平格数差为1，垂直格数差为3，故$PF=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$；
$PH$：水平格数差为2，垂直格数差为2，故$PH=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$；
$PM$：水平格数差为2，垂直格数差为1，故$PM=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
因此，长度为$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的线段是$PE$和$PG$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】勾股定理、网格中线段长度计算
【点评】本题是勾股定理在网格中的基础应用，核心是利用直角三角形的边长关系计算线段长度，只要掌握勾股定理的基本应用，就能轻松解决，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】设每个小正方形的边长为1，根据勾股定理分别计算各线段长度：
$PE$：水平格数差为1，垂直格数差为1，故$PE=\sqrt{1^2 + 1^2}=\sqrt{2}$；
$PG$：水平格数差为1，垂直格数差为2，故$PG=\sqrt{1^2 + 2^2}=\sqrt{5}$；
$PF$：水平格数差为1，垂直格数差为3，故$PF=\sqrt{1^2 + 3^2}=\sqrt{10}$；
$PH$：水平格数差为2，垂直格数差为2，故$PH=\sqrt{2^2 + 2^2}=2\sqrt{2}$；
$PM$：水平格数差为2，垂直格数差为1，故$PM=\sqrt{2^2 + 1^2}=\sqrt{5}$。
因此，长度为$\sqrt{2}$和$\sqrt{5}$的线段是$PE$和$PG$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】勾股定理、网格中线段长度计算
【点评】本题是勾股定理在网格中的基础应用，核心是利用直角三角形的边长关系计算线段长度，只要掌握勾股定理的基本应用，就能轻松解决，属于基础题型。
【难度系数】0.7
