1. 下列运算正确的是().

A.$\sqrt{4 + 9}=2 + 3$
B.$\sqrt{4 × 9}=\sqrt{2 × 3}$

1. C 【点拨】本题考查二次根式的运算,熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键.
【解析】A. $\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$,故原式错误,不符合题意;B. $\sqrt{4 × 9} = 2 × 3$,故原式错误,不符合题意;C. $(\sqrt{9})^2 = 9 = 3^2$,故原式正确,符合题意;D. $4 × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = 4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$,故原式错误,不符合题意. 故选 C.

【分析】
本题考查二次根式的运算，需依据二次根式的相关运算法则逐一分析各选项，判断运算是否正确。解题时要牢记二次根式的加减、乘除及平方运算的规则，避免常见运算错误。
【解析】
选项A：$\sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$，而$2 + 3 = 5$，$\sqrt{13} ≠ 5$，故该运算错误；
选项B：$\sqrt{4 × 9} = \sqrt{4} × \sqrt{9} = 2 × 3 = 6$，而$\sqrt{2} × 3 = 3\sqrt{2} ≠ 6$，故该运算错误；
选项C：$(\sqrt{9})^2 = 9$，$3^2 = 9$，故该运算正确；
选项D：$4 × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = 4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$，若原式运算结果不符则错误，综上选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的运算，二次根式的性质
【点评】
本题是基础题，考查二次根式的基本运算法则，解题关键是熟练掌握二次根式的加减、乘除及平方运算规则，避免错误拆分根号下的加法、错误应用乘法法则等误区。
【难度系数】
0.7

C. $(\sqrt{9})^2 = 3^2$
D. $4 × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = \sqrt{2}$

解：
分别验证两个选项的等式是否成立：
验证选项C
左边：$(\sqrt{9})^2 = 3^2 = 9$
右边：$3^2 = 9$
左边=右边，等式成立。
验证选项D
左边：$4 × \sqrt{\dfrac{1}{2}} = 4 × \dfrac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$
右边：$\sqrt{2}$
$2\sqrt{2} ≠ \sqrt{2}$，等式不成立。
结论：选项C的等式正确，选项D的等式错误。

【分析】
要判断选项C和D中的等式是否成立，需分别计算每个选项中等式左右两边的结果，再比较两者是否相等，进而得出结论。
【解析】
1. 验证选项C：
左边：根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{9})^2=9$；
右边：$3^2=9$；
左边=右边，故选项C的等式成立。
2. 验证选项D：
左边：先化简$\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$4×\sqrt{\frac{1}{2}}=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$；
右边：$\sqrt{2}$；
$2\sqrt{2}≠\sqrt{2}$，故选项D的等式不成立。
【答案】
选项C的等式成立，选项D的等式不成立。
【知识点】
二次根式的性质、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的基本运算，需熟练运用二次根式的性质进行计算，通过对比等式左右两边的值判断等式是否成立，属于基础运算类题目。
【难度系数】
0.6

2. 下面几组数中,能作为直角三角形三边长的是().

A.2,4,6
B.$1,\sqrt{2},\sqrt{3}$
C.$8,\sqrt{7},1$
D.6,6,6

2. B 【点拨】本题考查勾股定理的逆定理.
【解析】A. $\because 2 + 4 = 6,\therefore 2,4,6$不能作为直角三角形的三边长,故不符合题意;B. $\because 1^2 + (\sqrt{2})^2 = (\sqrt{3})^2,\therefore 1,\sqrt{2},\sqrt{3}$能作为直角三角形的三边长,故符合题意;C. $\because 1 + \sqrt{7} ＜ 8,\therefore 8,\sqrt{7},1$不能作为直角三角形的三边长,故不符合题意;D. $\because 6^2 + 6^2 ≠ 6^2,\therefore 6,6,6$不能作为直角三角形的三边长,故不符合题意. 故选 B.

【分析】要判断一组数能否作为直角三角形的三边长，需遵循两个步骤：一是验证三边能否构成三角形（任意两边之和大于第三边），二是依据勾股定理的逆定理，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，两者都满足则符合要求。
【解析】
选项A：三边中2+4=6，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形，排除；
选项B：先验证三边关系，1+√2≈2.414＞√3≈1.732，1+√3≈2.732＞√2，√2+√3≈3.146＞1，可构成三角形；再计算平方：$1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1+2=3$，$(\sqrt{3})^2=3$，满足勾股定理逆定理，符合要求；
选项C：三边中$1+\sqrt{7}≈3.645＜8$，不满足三边关系，无法构成三角形，排除；
选项D：$6^2+6^2=72≠6^2=36$，不满足勾股定理逆定理，是等边三角形，排除；
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】勾股定理逆定理、三角形三边关系
【点评】本题考查勾股定理逆定理的基础应用，需先判断三角形的构成条件，再验证平方关系，属于初中数学的基础题型，难度较低。
【难度系数】0.8

3. 设直角三角形的两条直角边长分别为$a$和$b$，斜边长为$c$，且已知$a = 5$，$c = 13$，则$b$为().

A.8
B.10
C.12
D.18

3. C 【点拨】本题考查勾股定理,掌握勾股定理的公式及变形是解题的关键.
【解析】由勾股定理,得 $b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = 12$. 故选 C.

【分析】本题是直角三角形边长计算问题，需运用勾股定理求解。首先回忆勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$。已知直角边$a=5$，斜边$c=13$，要求另一条直角边$b$，需将勾股定理变形为$b = \sqrt{c^2 - a^2}$，代入数值计算后即可得到结果，再对应选项选出答案。
【解析】根据勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即$a^2 + b^2 = c^2$，变形可得$b = \sqrt{c^2 - a^2}$。将$a=5$，$c=13$代入公式：$b = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$，因此$b=12$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】勾股定理
【点评】本题为勾股定理的基础应用题目，直接套用公式变形计算即可，难度较低，主要考查学生对勾股定理的掌握程度和基本运算能力。
【难度系数】0.9

4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B=90°,∠ C=30°,AD$平分$∠ BAC$交$BC$边于点$D$,若$BC=6$,则$BD$的长度为().

A.$2$
B.$3$
C.$4$
D.$5$

4. A 【点拨】本题考查含30°角的直角三角形的性质,等边对等角,角平分线的定义. 熟练掌握含30°角的直角三角形的性质是解题的关键.
【解析】$\because ∠ B = 90°, ∠ C = 30°,\therefore ∠ CAB = 90° - 30° = 60°. \because AD$平分$∠ CAB,\therefore ∠ BAD = ∠ CAD = \dfrac{1}{2} × 60° = 30°,\therefore ∠ CAD = ∠ C = 30°$,$\therefore AD = CD. \because ∠ BAD = 30°, ∠ B = 90°,\therefore AD = 2BD,\therefore CD = 2BD$.$\because BD + CD = BC,\therefore BD + 2BD = 6,\therefore BD = 2$. 故选 A.

【分析】
要解决本题，首先利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数，再结合角平分线的定义得到相等的角，通过等角对等边和含30°角的直角三角形的性质推导出边的关系，最后根据BC的长度计算BD的长度。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=30°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC=90°-30°=60°$。
因为$AD$平分$∠ BAC$，根据角平分线的定义，所以$∠ BAD=∠ CAD=\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{2}×60°=30°$。
由此可得$∠ CAD=∠ C=30°$，根据等角对等边，得$AD=CD$。
在$\mathrm{Rt}△ABD$中，$∠ BAD=30°$，$∠ B=90°$，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以$AD=2BD$，因此$CD=2BD$。
已知$BC=BD+CD$，且$BC=6$，代入得$BD+2BD=6$，即$3BD=6$，解得$BD=2$。
【答案】
A
【知识点】
含30°角的直角三角形性质、角平分线定义、等腰三角形性质
【点评】
本题是直角三角形与角平分线结合的基础题型，解题关键是利用角平分线得到等角，结合直角三角形性质推导边的关系，难度适中，侧重考查几何性质的应用能力。
【难度系数】
0.6

5. 若直角三角形的两直角边长分别为$ m,n $，且满足$\sqrt{(m - 3)^2} + |n - 4| = 0$，则该直角三角形的第三边长为().

A.3
B.4
C.$\sqrt{7}$
D.5

5. D 【点拨】本题考查二次根式和绝对值的非负性,勾股定理,熟练掌握以上知识是解题的关键.
【解析】$\because m,n$ 满足 $\sqrt{(m - 3)^2} + |n - 4| = 0,\therefore m - 3 = 0,n - 4 = 0$,解得 $m = 3,n = 4. \because$ 两直角边的长分别为 $m,n,\therefore$ 第三边即斜边的长为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5$. 故选 D.

【分析】
要解决这道题，首先利用“几个非负数的和为0时，每个非负数都为0”的性质求出直角三角形两直角边的长度，再根据勾股定理计算第三边即可。
【解析】
因为二次根式$\sqrt{(m - 3)^2}$和绝对值$|n - 4|$都是非负数，它们的和为0，所以：
$\sqrt{(m - 3)^2}=0$，即$m - 3=0$，解得$m=3$；
$|n - 4|=0$，即$n - 4=0$，解得$n=4$。
已知$m$、$n$是直角三角形的两直角边长，根据勾股定理，第三边（斜边）的长度为：
$\sqrt{m^2 + n^2}=\sqrt{3^2 + 4^2}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的非负性、绝对值的非负性、勾股定理
【点评】
本题结合非负数的性质与勾股定理，属于基础题型，重点考查学生对基本知识点的掌握和应用能力，解题时需注意明确直角边与斜边的关系。
【难度系数】
0.8

6. 如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD相交于点O,∠BAD=135°,∠ACD=80°,∠CBD=20°,则∠COD的度数为().

A.75°
B.53°
C.85°
D.90°

6. A 【点拨】本题考查平行线与平行四边形的性质,掌握平行线的性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AB // CD,AD // BC,\therefore ∠ BAC = ∠ ACD = 80°. \because ∠ BAD = 135°,\therefore ∠ CAD = 135° - 80° = 55°. \because AD // BC,\therefore ∠ BCA = ∠ CAD = 55°. \because ∠ CBD = 20°,\therefore ∠ COD = ∠ CBD + ∠ BCA = 20° + 55° = 75°$. 故选 A.

【分析】
本题是平行四边形相关的角度计算问题，解题思路为：先利用平行四边形对边平行的性质，得到内错角相等，求出∠CAD的度数；再根据平行线的性质得到∠BCA的度数；最后利用三角形外角的性质，计算出∠COD的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//CD，AD//BC，
∴∠BAC = ∠ACD = 80°，
又
∵∠BAD = 135°，
∴∠CAD = ∠BAD - ∠BAC = 135° - 80° = 55°，
∵AD//BC，
∴∠BCA = ∠CAD = 55°，
∵∠COD是△BOC的外角，
∴∠COD = ∠CBD + ∠BCA = 20° + 55° = 75°，
故选A。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题考查平行四边形的性质及三角形外角性质的应用，解题关键是利用平行四边形对边平行的性质得到内错角相等，进而求出相关角度，再结合外角性质计算目标角，属于基础几何角度计算题型，难度不大。
【难度系数】
0.7