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7. 如图,在$□ ABCD$中,对角线$AC$,$BD$相交于点$O$,$E$是$CD$的中点,若$BC=8$,则$OE$的长为(
A.16
B.6
C.4
D.10
C
).A.16
B.6
C.4
D.10
答案
7. C 【点拨】本题考查平行四边形的性质,三角形的中位线定理,熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,$\therefore OB = OD. \because E$ 是 $CD$ 的中点,$\therefore OE$ 是 $△ BCD$ 的中位线,$\therefore OE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4$. 故选 C.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,对角线 $AC,BD$ 相交于点 $O$,$\therefore OB = OD. \because E$ 是 $CD$ 的中点,$\therefore OE$ 是 $△ BCD$ 的中位线,$\therefore OE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2} × 8 = 4$. 故选 C.
解析
【分析】
要计算OE的长度，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定点O是BD的中点；再结合E是CD的中点，得出OE是△BCD的中位线；最后根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，代入BC的长度即可算出OE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴OE = ½BC。
已知BC=8，代入得OE = ½×8 = 4。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题结合平行四边形的性质和三角形中位线定理考查，属于基础题型，解题关键是识别出OE为△BCD的中位线，利用中位线定理快速计算。
【难度系数】
0.6
要计算OE的长度，首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，确定点O是BD的中点；再结合E是CD的中点，得出OE是△BCD的中位线；最后根据三角形中位线定理，中位线长度等于第三边的一半，代入BC的长度即可算出OE的长。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD相交于点O，
∴OB = OD（平行四边形的对角线互相平分）。
又
∵E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线。
根据三角形中位线定理：三角形的中位线等于第三边的一半，
∴OE = ½BC。
已知BC=8，代入得OE = ½×8 = 4。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形性质、三角形中位线定理
【点评】
本题结合平行四边形的性质和三角形中位线定理考查，属于基础题型，解题关键是识别出OE为△BCD的中位线，利用中位线定理快速计算。
【难度系数】
0.6
8. 若$△ ABC$的三边分别是$a,b,c$,则下列条件不能判断$△ ABC$是直角三角形的是(
A.$∠ A=2∠ B=2∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$a=5,b=12,c=13$
D.$a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$
B
).A.$∠ A=2∠ B=2∠ C$
B.$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5$
C.$a=5,b=12,c=13$
D.$a=\sqrt{5},b=\sqrt{2},c=\sqrt{3}$
答案
8. B 【点拨】本题考查直角三角形的判定,熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键.
【解析】A. $\because ∠ A = 2∠ B = 2∠ C,\therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°,\therefore 2∠ B + ∠ B + ∠ B = 180°,\therefore ∠ B = 45°,\therefore ∠ A = 90°,\therefore △ ABC$ 是直角三角形,即可以判定 $△ ABC$ 是直角三角形,不符合题意;B. $\because ∠ A: ∠ B: ∠ C = 3:4:5,∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°,\therefore ∠ C = 180° × \dfrac{5}{3 + 4 + 5} = 75°$,即不能判定 $△ ABC$ 是直角三角形,符合题意;C. $\because a = 5,b = 12,c = 13,\therefore a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 169,c^2 = 13^2 = 169,\therefore a^2 + b^2 = c^2$,即可以判定 $△ ABC$ 是直角三角形,不符合题意;D. $\because a = \sqrt{5},b = \sqrt{2},c = \sqrt{3},\therefore a^2 = 5,b^2 = 2,c^2 = 3,\therefore c^2 + b^2 = a^2$,即可以判定 $△ ABC$ 是直角三角形,不符合题意. 故选 B.
【解析】A. $\because ∠ A = 2∠ B = 2∠ C,\therefore ∠ B = ∠ C. \because ∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°,\therefore 2∠ B + ∠ B + ∠ B = 180°,\therefore ∠ B = 45°,\therefore ∠ A = 90°,\therefore △ ABC$ 是直角三角形,即可以判定 $△ ABC$ 是直角三角形,不符合题意;B. $\because ∠ A: ∠ B: ∠ C = 3:4:5,∠ A + ∠ B + ∠ C = 180°,\therefore ∠ C = 180° × \dfrac{5}{3 + 4 + 5} = 75°$,即不能判定 $△ ABC$ 是直角三角形,符合题意;C. $\because a = 5,b = 12,c = 13,\therefore a^2 + b^2 = 5^2 + 12^2 = 169,c^2 = 13^2 = 169,\therefore a^2 + b^2 = c^2$,即可以判定 $△ ABC$ 是直角三角形,不符合题意;D. $\because a = \sqrt{5},b = \sqrt{2},c = \sqrt{3},\therefore a^2 = 5,b^2 = 2,c^2 = 3,\therefore c^2 + b^2 = a^2$,即可以判定 $△ ABC$ 是直角三角形,不符合题意. 故选 B.
解析
【分析】判断三角形是否为直角三角形，有两种常用方法：一是根据角的关系，利用三角形内角和为180°，计算是否存在90°的内角；二是根据边的关系，运用勾股定理的逆定理，验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方。接下来对每个选项分别分析，找出无法判定为直角三角形的选项。
【解析】
A选项：已知∠A=2∠B=2∠C，可得∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，代入得2∠B + ∠B + ∠B=180°，解得∠B=45°，则∠A=90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：∠A:∠B:∠C=3:4:5，设三个角分别为3x、4x、5x，由内角和得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则最大角∠C=5×15°=75°，不存在90°内角，故不能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
C选项：a=5，b=12，c=13，计算得a²+b²=5²+12²=25+144=169，c²=13²=169，即a²+b²=c²，符合勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
D选项：a=√5，b=√2，c=√3，计算得b²+c²=(√2)²+(√3)²=2+3=5，a²=(√5)²=5，即b²+c²=a²，符合勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】直角三角形的判定、勾股定理的逆定理
【点评】本题考查直角三角形的两种核心判定方法，需熟练运用三角形内角和计算角度，以及勾股定理的逆定理验证边的关系，逐一分析选项即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】
A选项：已知∠A=2∠B=2∠C，可得∠B=∠C，根据三角形内角和为180°，代入得2∠B + ∠B + ∠B=180°，解得∠B=45°，则∠A=90°，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
B选项：∠A:∠B:∠C=3:4:5，设三个角分别为3x、4x、5x，由内角和得3x+4x+5x=180°，解得x=15°，则最大角∠C=5×15°=75°，不存在90°内角，故不能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
C选项：a=5，b=12，c=13，计算得a²+b²=5²+12²=25+144=169，c²=13²=169，即a²+b²=c²，符合勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合题意；
D选项：a=√5，b=√2，c=√3，计算得b²+c²=(√2)²+(√3)²=2+3=5，a²=(√5)²=5，即b²+c²=a²，符合勾股定理的逆定理，故△ABC是直角三角形，不符合题意。
综上，答案选B。
【答案】B
【知识点】直角三角形的判定、勾股定理的逆定理
【点评】本题考查直角三角形的两种核心判定方法，需熟练运用三角形内角和计算角度，以及勾股定理的逆定理验证边的关系，逐一分析选项即可得出答案，属于基础题型。
【难度系数】0.7
9. 如图,在矩形ABCD中,AC,BD交于点O,DE⊥AC于点E,∠AOD=106°,则∠CDE的度数为(
A.$53°$
B.$37°$
C.$74°$
D.$16°$
B
).A.$53°$
B.$37°$
C.$74°$
D.$16°$
答案
9. B 【点拨】本题考查矩形的性质,等腰三角形的性质,直角三角形的性质,三角形外角的性质,熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore OD = OC. \because ∠ AOD = 106°,DE ⊥ AC,∠ AOD = ∠ ODE + ∠ DEO,\therefore ∠ ODE = ∠ AOD - ∠ DEO = 106° - 90° = 16°. \because OD = OC,∠ AOD = ∠ ODC + ∠ OCD,\therefore ∠ ODC = ∠ OCD = \dfrac{1}{2}∠ AOD = \dfrac{1}{2} × 106° = 53°,\therefore ∠ CDE = ∠ ODC - ∠ ODE = 53° - 16° = 37°$. 故选 B.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是矩形,$\therefore OD = OC. \because ∠ AOD = 106°,DE ⊥ AC,∠ AOD = ∠ ODE + ∠ DEO,\therefore ∠ ODE = ∠ AOD - ∠ DEO = 106° - 90° = 16°. \because OD = OC,∠ AOD = ∠ ODC + ∠ OCD,\therefore ∠ ODC = ∠ OCD = \dfrac{1}{2}∠ AOD = \dfrac{1}{2} × 106° = 53°,\therefore ∠ CDE = ∠ ODC - ∠ ODE = 53° - 16° = 37°$. 故选 B.
解析
【分析】要解决本题，需结合矩形的性质、等腰三角形的性质及直角三角形的角度关系推导。首先利用矩形对角线相等且互相平分，得到OD=OC，确定△ODC为等腰三角形；再结合DE⊥AC得到直角三角形ODE，算出∠ODE；最后利用三角形外角性质求出∠ODC，通过两角差得到∠CDE的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC（矩形的对角线相等且互相平分）。
∵DE⊥AC，
∴∠DEO=90°。
在Rt△ODE中，∠ODE=∠AOD - ∠DEO=106° - 90°=16°。
∵∠AOD是△ODC的外角，且OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=½∠AOD=½×106°=53°。
∴∠CDE=∠ODC - ∠ODE=53° - 16°=37°。
【答案】B
【知识点】矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】本题综合考查几何图形的性质应用，解题关键是利用矩形对角线的性质构造等腰三角形，结合直角三角形和外角的角度关系计算，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】0.5
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，
∴OD=OC（矩形的对角线相等且互相平分）。
∵DE⊥AC，
∴∠DEO=90°。
在Rt△ODE中，∠ODE=∠AOD - ∠DEO=106° - 90°=16°。
∵∠AOD是△ODC的外角，且OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=½∠AOD=½×106°=53°。
∴∠CDE=∠ODC - ∠ODE=53° - 16°=37°。
【答案】B
【知识点】矩形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质
【点评】本题综合考查几何图形的性质应用，解题关键是利用矩形对角线的性质构造等腰三角形，结合直角三角形和外角的角度关系计算，需熟练掌握相关几何定理。
【难度系数】0.5
10. 如图,在菱形ABCD中,AB=10,AC=16,AC交BD于点O,DE⊥BC于点E,连接OE,则OE的长为(
A.6
B.5
C.4
D.3
A
).A.6
B.5
C.4
D.3
答案
10. A 【点拨】本题考查菱形的性质,勾股定理,直角三角形的性质,掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键.
【解析】$\because$ 在菱形 $ABCD$ 中,$AC = 16,AC$ 交 $BD$ 于点 $O$,$\therefore OB = OD = \dfrac{1}{2}BD,OA = OC = \dfrac{1}{2}AC = 8,AC ⊥ BD. \because AB = 10,OA = 8,\therefore OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = 6. \because DE ⊥ BC,OB = OD = \dfrac{1}{2}BD,\therefore OE = \dfrac{1}{2}BD = OB = 6$. 故选 A.
【解析】$\because$ 在菱形 $ABCD$ 中,$AC = 16,AC$ 交 $BD$ 于点 $O$,$\therefore OB = OD = \dfrac{1}{2}BD,OA = OC = \dfrac{1}{2}AC = 8,AC ⊥ BD. \because AB = 10,OA = 8,\therefore OB = \sqrt{AB^2 - OA^2} = 6. \because DE ⊥ BC,OB = OD = \dfrac{1}{2}BD,\therefore OE = \dfrac{1}{2}BD = OB = 6$. 故选 A.
解析
【分析】
要解决这道题，需结合菱形的性质和直角三角形的性质逐步推导：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出OA的长度，再通过勾股定理算出OB的长；其次，由DE⊥BC可知△DEB是直角三角形，O是BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出OE等于BD的一半，而OB同样是BD的一半，因此OE=OB，即可得到结果。
【解析】
在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得：OA=OC=½AC=8，且AC⊥BD。
已知AB=10，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=√(AB² - OA²)=√(10² - 8²)=6。
因为DE⊥BC，所以△DEB是直角三角形，又O是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：OE=½BD。
而OB=½BD，因此OE=OB=6。故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，解题关键是利用直角三角形斜边中线的性质转化线段关系，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，需结合菱形的性质和直角三角形的性质逐步推导：首先利用菱形对角线互相垂直平分的性质求出OA的长度，再通过勾股定理算出OB的长；其次，由DE⊥BC可知△DEB是直角三角形，O是BD中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，得出OE等于BD的一半，而OB同样是BD的一半，因此OE=OB，即可得到结果。
【解析】
在菱形ABCD中，AC与BD交于点O，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得：OA=OC=½AC=8，且AC⊥BD。
已知AB=10，在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB=√(AB² - OA²)=√(10² - 8²)=6。
因为DE⊥BC，所以△DEB是直角三角形，又O是BD的中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得：OE=½BD。
而OB=½BD，因此OE=OB=6。故选A。
【答案】
A
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题综合考查菱形的性质、勾股定理及直角三角形斜边中线的性质，解题关键是利用直角三角形斜边中线的性质转化线段关系，属于基础几何题，需熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.6
二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)
11. 计算$\sqrt{54} - 2\sqrt{\frac{1}{6}}$的结果是________.
11. 计算$\sqrt{54} - 2\sqrt{\frac{1}{6}}$的结果是________.
答案
11. $\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$ 【点拨】本题考查二次根式的加减法,二次根式的性质与化简,掌握相应的运算法则是解题的关键.
【解析】$\sqrt{54} - 2\sqrt{\dfrac{1}{6}} = 3\sqrt{6} - 2 × \dfrac{\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{6}}{3} = \dfrac{8\sqrt{6}}{3}$. 故答案为$\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$.
【解析】$\sqrt{54} - 2\sqrt{\dfrac{1}{6}} = 3\sqrt{6} - 2 × \dfrac{\sqrt{6}}{6} = 3\sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{6}}{3} = \dfrac{8\sqrt{6}}{3}$. 故答案为$\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$.
解析
【分析】
本题考查二次根式的加减运算，解题思路为：先将算式中的每个二次根式化为最简二次根式，再识别同类二次根式，最后合并同类二次根式得到结果。具体步骤：第一步化简$\sqrt{54}$，第二步化简$2\sqrt{\frac{1}{6}}$，第三步合并两个化简后的二次根式。
【解析】
$\sqrt{54} - 2\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
$= \sqrt{9×6} - 2×\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ （将二次根式化为最简二次根式）
$= 3\sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ （计算化简后的结果）
$= \dfrac{9\sqrt{6}}{3} - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ （通分，统一分母以便合并）
$= \dfrac{8\sqrt{6}}{3}$ （合并同类二次根式）
【答案】
$\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减法
【点评】
本题是二次根式加减的基础运算题，核心是掌握二次根式的化简规则与同类二次根式的合并方法，属于初中数学需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.7
本题考查二次根式的加减运算，解题思路为：先将算式中的每个二次根式化为最简二次根式，再识别同类二次根式，最后合并同类二次根式得到结果。具体步骤：第一步化简$\sqrt{54}$，第二步化简$2\sqrt{\frac{1}{6}}$，第三步合并两个化简后的二次根式。
【解析】
$\sqrt{54} - 2\sqrt{\dfrac{1}{6}}$
$= \sqrt{9×6} - 2×\dfrac{\sqrt{6}}{6}$ （将二次根式化为最简二次根式）
$= 3\sqrt{6} - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ （计算化简后的结果）
$= \dfrac{9\sqrt{6}}{3} - \dfrac{\sqrt{6}}{3}$ （通分，统一分母以便合并）
$= \dfrac{8\sqrt{6}}{3}$ （合并同类二次根式）
【答案】
$\dfrac{8\sqrt{6}}{3}$
【知识点】
二次根式的化简、二次根式的加减法
【点评】
本题是二次根式加减的基础运算题，核心是掌握二次根式的化简规则与同类二次根式的合并方法，属于初中数学需熟练掌握的基础知识点。
【难度系数】
0.7
12. 若二次根式$\sqrt{2024 - x}$有意义，则实数$x$的取值范围是
$x ≤ 2024$
.答案
12. $x ≤ 2\ 024$ 【点拨】本题考查二次根式有意义的条件,关键是掌握二次根式有意义的条件是被开方数大于等于零.
【解析】要使二次根式 $\sqrt{2\ 024 - x}$ 有意义,则 $2\ 024 - x ≥ 0,\therefore x ≤ 2\ 024$. 故答案为 $x ≤ 2\ 024$.
【解析】要使二次根式 $\sqrt{2\ 024 - x}$ 有意义,则 $2\ 024 - x ≥ 0,\therefore x ≤ 2\ 024$. 故答案为 $x ≤ 2\ 024$.
解析
【分析】
要确定二次根式有意义时x的取值范围，需牢记二次根式的核心性质：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。因此，本题中二次根式$\sqrt{2024 - x}$的被开方数$2024 - x$需满足≥0，据此列出不等式并求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得不等式：
$2024 - x ≥ 0$
移项得：$-x ≥ -2024$
不等式两边同时乘以-1（注意不等号方向改变），得：
$x ≤ 2024$
【答案】
$x ≤ 2024$
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查二次根式有意义的基本条件，解题思路清晰，步骤简单，只需掌握被开方数非负的知识点即可快速解答，是初中数学的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
要确定二次根式有意义时x的取值范围，需牢记二次根式的核心性质：二次根式的被开方数必须是非负数（即大于等于0）。因此，本题中二次根式$\sqrt{2024 - x}$的被开方数$2024 - x$需满足≥0，据此列出不等式并求解即可得到x的取值范围。
【解析】
根据二次根式有意义的条件：被开方数≥0，可得不等式：
$2024 - x ≥ 0$
移项得：$-x ≥ -2024$
不等式两边同时乘以-1（注意不等号方向改变），得：
$x ≤ 2024$
【答案】
$x ≤ 2024$
【知识点】
二次根式有意义的条件，解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念题，直接考查二次根式有意义的基本条件，解题思路清晰，步骤简单，只需掌握被开方数非负的知识点即可快速解答，是初中数学的常规基础题型。
【难度系数】
0.9
13. 某兴趣小组在用边长相同的正多边形纸板铺平面图形时，将两块正方形纸板和一块正三角形纸板绕点O如图放置.若将一块正多边形纸板恰好无空隙、不重叠地拼在∠AOB处，则这块正多边形纸板的边数是
6
.答案
13. 6 【点拨】本题考查平面镶嵌,正多边形的内角与外角.
【解析】$\because$ 正三角形、正方形的内角分别为 $60°,90°$,$\therefore ∠ AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$,$\therefore$ 这块正多边形纸板的边数是 $\dfrac{360°}{180° - 120°} = 6$. 故答案为 6.
【解析】$\because$ 正三角形、正方形的内角分别为 $60°,90°$,$\therefore ∠ AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°$,$\therefore$ 这块正多边形纸板的边数是 $\dfrac{360°}{180° - 120°} = 6$. 故答案为 6.
解析
【分析】首先，绕点O的角总和为周角360°，已知两个正方形和一个正三角形的内角，先计算出∠AOB的度数；要将正多边形拼在∠AOB处，说明该正多边形的内角等于∠AOB，再利用正多边形内角公式计算边数。
【解析】正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，周角为360°，因此∠AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°。设该正多边形的边数为n，根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}=120°$，解得n=6。
【答案】6
【知识点】平面镶嵌、正多边形内角
【点评】本题结合平面镶嵌的性质，利用周角和正多边形内角公式求解，关键是先求出待求正多边形的内角，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
【解析】正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，周角为360°，因此∠AOB = 360° - 90° - 90° - 60° = 120°。设该正多边形的边数为n，根据正多边形内角公式$\frac{(n-2)×180°}{n}=120°$，解得n=6。
【答案】6
【知识点】平面镶嵌、正多边形内角
【点评】本题结合平面镶嵌的性质，利用周角和正多边形内角公式求解，关键是先求出待求正多边形的内角，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.6
14. 如图,四边形ABCD为平行四边形,且DB平分∠ABC,作DE⊥BC,垂足为E.若BD=24,AC=10,则$DE=$
$\dfrac{120}{13}$
.答案
14. $\dfrac{120}{13}$ 【点拨】本题考查平行四边形的性质,菱形的判定和性质,勾股定理,利用菱形的面积列方程求 $DE$ 的长是解题的关键.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD // BC,\therefore ∠ ADB = ∠ CBD. \because DB$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABD = ∠ CBD,\therefore ∠ ADB = ∠ ABD$,$\therefore AB = AD,\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore OB = \dfrac{1}{2}BD = 12,OC = \dfrac{1}{2}AC = 5,AC ⊥ BD,\therefore ∠ BOC = 90°$,$\therefore BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13. \because DE ⊥ BC,\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD} = BC · DE = \dfrac{1}{2}AC · BD$,即 $13 · DE = \dfrac{1}{2} × 10 × 24$,解得 $DE = \dfrac{120}{13}$. 故答案为 $\dfrac{120}{13}$.
【解析】$\because$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形,$\therefore AD // BC,\therefore ∠ ADB = ∠ CBD. \because DB$ 平分 $∠ ABC,\therefore ∠ ABD = ∠ CBD,\therefore ∠ ADB = ∠ ABD$,$\therefore AB = AD,\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 是菱形,$\therefore OB = \dfrac{1}{2}BD = 12,OC = \dfrac{1}{2}AC = 5,AC ⊥ BD,\therefore ∠ BOC = 90°$,$\therefore BC = \sqrt{OB^2 + OC^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13. \because DE ⊥ BC,\therefore S_{\mathrm{菱形}ABCD} = BC · DE = \dfrac{1}{2}AC · BD$,即 $13 · DE = \dfrac{1}{2} × 10 × 24$,解得 $DE = \dfrac{120}{13}$. 故答案为 $\dfrac{120}{13}$.
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据平行四边形的性质结合角平分线的条件，判定四边形ABCD是菱形；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；最后利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，求解DE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠CBD。
又
∵ DB平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
∴ ∠ADB = ∠ABD，
∴ AB = AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，BD=24，AC=10，
∴ OB = $\frac{1}{2}$BD = 12，OC = $\frac{1}{2}$AC = 5，且AC⊥BD，即∠BOC=90°。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
BC = $\sqrt{OB^2 + OC^2}$ = $\sqrt{12^2 + 5^2}$ = $\sqrt{144 + 25}$ = $\sqrt{169}$ = 13。
∵ DE⊥BC，
∴ 菱形ABCD的面积可表示为：$S = BC·DE$，也可表示为$S = \frac{1}{2}AC·BD$，
因此有：$13·DE = \frac{1}{2}×10×24$，
计算得：$13·DE = 120$，
解得：$DE = \frac{120}{13}$。
【答案】
$\dfrac{120}{13}$
【知识点】
平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，核心是先通过平行四边形与角平分线的条件判定菱形，再利用菱形对角线的性质结合勾股定理求边长，最后通过面积的两种计算方法建立等式求解高DE，解题关键是判定菱形，需熟练掌握平行四边形、菱形的性质及面积计算方法。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，首先根据平行四边形的性质结合角平分线的条件，判定四边形ABCD是菱形；再利用菱形对角线互相垂直平分的性质，结合勾股定理求出菱形的边长；最后利用菱形面积的两种计算方法（对角线乘积的一半、底乘高）建立等式，求解DE的长度。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，
∴ ∠ADB = ∠CBD。
又
∵ DB平分∠ABC，
∴ ∠ABD = ∠CBD，
∴ ∠ADB = ∠ABD，
∴ AB = AD，
∴ 平行四边形ABCD是菱形。
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，BD=24，AC=10，
∴ OB = $\frac{1}{2}$BD = 12，OC = $\frac{1}{2}$AC = 5，且AC⊥BD，即∠BOC=90°。
在Rt△BOC中，由勾股定理得：
BC = $\sqrt{OB^2 + OC^2}$ = $\sqrt{12^2 + 5^2}$ = $\sqrt{144 + 25}$ = $\sqrt{169}$ = 13。
∵ DE⊥BC，
∴ 菱形ABCD的面积可表示为：$S = BC·DE$，也可表示为$S = \frac{1}{2}AC·BD$，
因此有：$13·DE = \frac{1}{2}×10×24$，
计算得：$13·DE = 120$，
解得：$DE = \frac{120}{13}$。
【答案】
$\dfrac{120}{13}$
【知识点】
平行四边形性质、菱形判定与性质、勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，核心是先通过平行四边形与角平分线的条件判定菱形，再利用菱形对角线的性质结合勾股定理求边长，最后通过面积的两种计算方法建立等式求解高DE，解题关键是判定菱形，需熟练掌握平行四边形、菱形的性质及面积计算方法。
【难度系数】
0.5
