24. (12 分)在平面直角坐标系中有矩形 $ABCD,A(-3,\sqrt{3}),∠ ABD=30°$.
(1)如图1,矩形的顶点 B 的坐标是________;
(2)如图2,将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠,使得点 A 落在点 E 处,BE 交 y 轴于点 F,点 G 是对角线 BD 上一动点,求 $GE + GF$ 的最小值;
(3)P 为 x 轴负半轴上一动点,Q 是平面内一点,若以 B,D,P,Q 为顶点的四边形是菱形,请直接写出 Q 点坐标:________.

24. 【点拨】本题考查矩形的性质,折叠的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,熟练掌握相关知识是解题的关键.
【解析】(1)如题图1,记$AB$与$x$轴的交点为$K$,
$\because A(-3,\sqrt{3})$,$\therefore AD=3$,$AK=\sqrt{3}$.
$\because ∠ABD=30°$,$\therefore BD=2AD=6$,
$\therefore AB=\sqrt{BD^2 -AD^2}=\sqrt{6^2 -3^2}=3\sqrt{3}$,
$\therefore BK=AB-AK=3\sqrt{3}-\sqrt{3}=2\sqrt{3}$.
$\therefore B(-3,-2\sqrt{3})$.
故答案为$(-3,-2\sqrt{3})$.
(2)由矩形和折叠的性质可知$AD=BC=DE=3$. $\because ∠ABD=30°$,$\therefore ∠ADB=90°-30°=60°$,$\therefore ∠ADB=∠EDB=60°$,$∠A=∠DEB=90°$,$∠EDF=∠ADE-∠ADC=120°-90°=30°$. 如图1,过点$E$作$EM⊥x$轴于点$M$,作$EN⊥y$轴于点$N$.
在$\mathrm{Rt}△DEN$中,$EN=\dfrac{1}{2}DE=\dfrac{3}{2}$,$DN=\sqrt{DE^2 -NE^2}=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore ON=DN-DO=\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-\sqrt{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}=ME$,
$\therefore E(\dfrac{3}{2},-\dfrac{\sqrt{3}}{2})$.
在$\mathrm{Rt}△BFC$中,由折叠的性质可知$∠ABD=∠EBD=30°$,$\therefore ∠FBC=30°$,$BF=2FC$,
由勾股定理,得$BF=2\sqrt{3}$,过点$F$作$FH⊥BD$于点$H$,并延长交$AB$于点$L$,连接$GL$,$LE$.
$\therefore △LBH≌△FBH(\mathrm{ASA})$,$\therefore LH=FH$,$BL=BF=2\sqrt{3}$,$L(-3,0)$,$\therefore GF=GL$,$\therefore GF+GE=GL+GE≥LE$,当且仅当点$L$,$G$,$E$三点共线时取等号.
在$\mathrm{Rt}△LME$中,$LM=3+\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{2}$,$ME=ON=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,
$\therefore LE=\sqrt{LM^2 +ME^2}=\sqrt{(\dfrac{9}{2})^2 +(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{21}$.
即$GE+GF$的最小值为$\sqrt{21}$.

(3)如图2,①若$DP$,$BP$为边,$BD$为对角线,则作$BD$的垂直平分线交$x$轴负半轴于点$P_1$,点$Q_1$在$y$轴负半轴上,即第(2)问的点$F$,$\therefore Q_1(0,-\sqrt{3})$;
②若$BD$,$DP$为边,$BP$为对角线,则以点$D$为圆心,$DB$长为半径画弧,交$x$轴负半轴于点$P_2$,则$P_2(-\sqrt{33},0)$,$\therefore Q_2(-\sqrt{33}-3,-3\sqrt{3})$;
③若$BD$,$BP$为边,$DP$为对角线,则以$B$为圆心,$BD$长为半径画弧,交$x$轴负半轴于点$P_3(-2\sqrt{6}-3,0)$,$\therefore Q_3(-2\sqrt{6},3\sqrt{3})$.
故答案为$(0,-\sqrt{3})$或$(-\sqrt{33}-3,-3\sqrt{3})$或$(-2\sqrt{6},3\sqrt{3})$.

【分析】
1. 第(1)问：已知A点坐标，矩形中∠BAD=90°，利用∠ABD=30°的直角三角形性质，先求AD、BD、AB的长度，再结合A点坐标确定B点的横纵坐标；
2. 第(2)问：折叠后对应边、角相等，利用对称点转化线段和，将GE+GF转化为两点间线段长，通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理计算最小值；
3. 第(3)问：菱形四条边相等，分三种情况讨论以B、D、P、Q为顶点的菱形的对角线，结合坐标计算Q点坐标，需注意分类的完整性。
【解析】
(1) 如图1，记AB与x轴交点为K，
∵A(-3,√3)，
∴AD=3，AK=√3。在Rt△ABD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，
∴BD=2AD=6，由勾股定理得AB=√(BD²-AD²)=√(6²-3²)=3√3，
∴BK=AB-AK=3√3 -√3=2√3，
∴B点坐标为(-3,-2√3)。
(2) 由矩形和折叠性质，AD=DE=3，∠ADB=∠EDB=60°，∠DEB=∠A=90°，∠EDF=∠ADE-∠ADC=120°-90°=30°。过E作EM⊥x轴于M，EN⊥y轴于N，在Rt△DEN中，EN=1/2 DE=3/2，DN=√(DE²-EN²)=√(3²-(3/2)²)=3√3/2，
∴ON=DN-DO=3√3/2 -√3=√3/2=ME，故E点坐标为(3/2, -√3/2)。在Rt△BFC中，折叠得∠ABD=∠EBD=30°，
∴∠FBC=90°-∠ABD-∠EBD=30°，BF=2FC，由勾股定理得BF=2√3。过F作FH⊥BD于H，延长FH交AB于L，连接GL、LE，易证△LBH≌△FBH（ASA），得LH=FH，BL=BF=2√3，L点坐标为(-3,0)，因此GF=GL，故GE+GF=GL+GE≥LE，当且仅当L、G、E三点共线时取等号。在Rt△LME中，LM=3 + 3/2=9/2，ME=√3/2，由勾股定理得LE=√[(9/2)² + (√3/2)²]=√21，即GE+GF的最小值为√21。
(3) 分三种情况讨论以B、D、P、Q为顶点的菱形：
① 当BD为对角线，DP、BP为边时，Q₁(0,-√3)；
② 当BP为对角线，BD、DP为边时，Q₂(-√33 -3, -3√3)；
③ 当DP为对角线，BD、BP为边时，Q₃(-2√6, 3√3)。
综上，Q点坐标为(0,-√3)或(-√33 -3,-3√3)或(-2√6,3√3)。
【答案】
(-3,-2√3)；√21；(0,-√3)或(-√33 -3,-3√3)或(-2√6,3√3)
【知识点】
矩形性质、折叠性质、菱形判定
【点评】
本题是矩形与折叠、菱形结合的综合题，考查直角三角形性质、勾股定理、全等三角形、对称转化思想，第三问需分类讨论菱形的边与对角线，综合性较强，对学生的几何综合能力要求较高。
【难度系数】
0.4