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1.(2025·天宁区期中)已知$\odot O$的半径为3,点$P$在$\odot O$内,则线段$OP$的长度可以是 （
A.5
B.4
C.3
D.2
D
）A.5
B.4
C.3
D.2
答案
1.D
解析
【分析】
这道题考查点和圆的位置关系判定，解题思路非常清晰：首先回忆点在圆内时，点到圆心的距离和圆半径的对应大小规则，题目已经给出⊙O的半径为3，且明确点P在圆内，我们只需要筛选出四个选项中数值小于3的选项，就能得到符合要求的OP长度。
【解析】
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为OP，根据点与圆的位置关系判定规则：
1. 点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，即$OP＜r$；
2. 点在圆上等价于点到圆心的距离等于半径，即$OP=r$；
3. 点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，即$OP＞r$。
本题中已知$r=3$，点P在⊙O内，因此可得$OP＜3$。
逐一核对选项：
A选项$5＞3$，点P在圆外，不符合要求；
B选项$4＞3$，点P在圆外，不符合要求；
C选项$OP=3$，点P在圆上，不符合要求；
D选项$2＜3$，点P在圆内，符合要求。
因此正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆章节的入门基础题，直接考查点和圆位置关系对应的数量特征，没有设置额外陷阱，只要牢记点在圆内、圆上、圆外分别对应的距离和半径的大小关系，就能快速选出正确答案，适合刚学完点和圆位置关系知识点的学生巩固基础概念。
【难度系数】
0.9
这道题考查点和圆的位置关系判定，解题思路非常清晰：首先回忆点在圆内时，点到圆心的距离和圆半径的对应大小规则，题目已经给出⊙O的半径为3，且明确点P在圆内，我们只需要筛选出四个选项中数值小于3的选项，就能得到符合要求的OP长度。
【解析】
设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为OP，根据点与圆的位置关系判定规则：
1. 点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，即$OP＜r$；
2. 点在圆上等价于点到圆心的距离等于半径，即$OP=r$；
3. 点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，即$OP＞r$。
本题中已知$r=3$，点P在⊙O内，因此可得$OP＜3$。
逐一核对选项：
A选项$5＞3$，点P在圆外，不符合要求；
B选项$4＞3$，点P在圆外，不符合要求；
C选项$OP=3$，点P在圆上，不符合要求；
D选项$2＜3$，点P在圆内，符合要求。
因此正确答案为D。
【答案】
D
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆章节的入门基础题，直接考查点和圆位置关系对应的数量特征，没有设置额外陷阱，只要牢记点在圆内、圆上、圆外分别对应的距离和半径的大小关系，就能快速选出正确答案，适合刚学完点和圆位置关系知识点的学生巩固基础概念。
【难度系数】
0.9
2. (2025·常州期中)已知$\odot O$的半径为5,点$P$到圆心$O$的距离为4,那么点$P$与$\odot O$的位置关系是（
A.点$P$在$\odot O$上
B.点$P$在$\odot O$内
C.点$P$在$\odot O$外
D.无法确定
B
）A.点$P$在$\odot O$上
B.点$P$在$\odot O$内
C.点$P$在$\odot O$外
D.无法确定
答案
2.B
解析
【分析】
要判断点P和⊙O的位置关系，我们可以按照点与圆位置关系的标准判定逻辑来思考：首先明确判定规则是通过比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小对应得到结果：d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内。接下来从题干提取已知条件：⊙O的半径r=5，点P到圆心O的距离d=4，直接比较两个数值的大小，就能对应得到点P的位置关系。
【解析】
解：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
根据题意可得：r=5，d=4，
∵4 ＜ 5，即d ＜ r，
∴点P在⊙O内。
本题选B。
【答案】B
【知识点】
点与圆的位置关系；距离半径大小比较
【点评】
本题是点与圆位置关系的入门基础题，直接考察核心判定规则，没有设置复杂变形和陷阱，学生只要牢记点圆位置的判定逻辑，代入数值做简单大小比较就能得到正确结果，是巩固该知识点的典型送分习题。
【难度系数】
0.9
要判断点P和⊙O的位置关系，我们可以按照点与圆位置关系的标准判定逻辑来思考：首先明确判定规则是通过比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小对应得到结果：d＞r时点在圆外，d=r时点在圆上，d＜r时点在圆内。接下来从题干提取已知条件：⊙O的半径r=5，点P到圆心O的距离d=4，直接比较两个数值的大小，就能对应得到点P的位置关系。
【解析】
解：设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
根据题意可得：r=5，d=4，
∵4 ＜ 5，即d ＜ r，
∴点P在⊙O内。
本题选B。
【答案】B
【知识点】
点与圆的位置关系；距离半径大小比较
【点评】
本题是点与圆位置关系的入门基础题，直接考察核心判定规则，没有设置复杂变形和陷阱，学生只要牢记点圆位置的判定逻辑，代入数值做简单大小比较就能得到正确结果，是巩固该知识点的典型送分习题。
【难度系数】
0.9
3. 点$P(4,-3)$与圆心在原点$O$，半径为5的$\odot O$的位置关系是
点P在圆上
.答案
3.点P在圆上
解析
【分析】
要判断点和圆的位置关系，核心思路是比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。本题圆心在原点，已知点P的坐标，首先利用两点间距离公式计算出点P到原点O的距离，再将该距离和题目给出的⊙O半径5作对比，即可直接得出对应的位置关系。
【解析】
1. 计算点P到圆心O的距离：
已知圆心O坐标为(0,0)，点P坐标为(4,-3)，根据平面直角坐标系的两点间距离公式：
$OP = \sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2} = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
2. 比较距离和半径的大小：
已知⊙O的半径r=5，可得OP = r = 5，符合点在圆上的判定条件。
【答案】
点P在圆上
【知识点】
点与圆的位置关系，两点间距离公式
【点评】
本题属于点和圆位置关系的基础题型，考察最核心的判定逻辑，计算难度低，只要牢记判定规则、正确代入坐标计算距离就能得到正确结果，是后续学习圆相关性质的入门类题目。
【难度系数】
0.9
要判断点和圆的位置关系，核心思路是比较点到圆心的距离d和圆的半径r的大小：若d＞r，点在圆外；若d=r，点在圆上；若d＜r，点在圆内。本题圆心在原点，已知点P的坐标，首先利用两点间距离公式计算出点P到原点O的距离，再将该距离和题目给出的⊙O半径5作对比，即可直接得出对应的位置关系。
【解析】
1. 计算点P到圆心O的距离：
已知圆心O坐标为(0,0)，点P坐标为(4,-3)，根据平面直角坐标系的两点间距离公式：
$OP = \sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2} = \sqrt{(4-0)^2 + (-3-0)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$
2. 比较距离和半径的大小：
已知⊙O的半径r=5，可得OP = r = 5，符合点在圆上的判定条件。
【答案】
点P在圆上
【知识点】
点与圆的位置关系，两点间距离公式
【点评】
本题属于点和圆位置关系的基础题型，考察最核心的判定逻辑，计算难度低，只要牢记判定规则、正确代入坐标计算距离就能得到正确结果，是后续学习圆相关性质的入门类题目。
【难度系数】
0.9
4. 在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=5$，$BC=8$，以点$C$为圆心，$r$为半径作圆，使点$A$在圆内，点$B$在圆外，则半径$r$的取值范围为
$5＜r＜8$
.答案
4.$5＜r＜8$
解析
【分析】
这道题的核心考点是点与圆的位置关系判定，我们的解题思路是：首先回忆点和圆的位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d＜r时点在圆内，当d＞r时点在圆外。本题的圆心是点C，点A到圆心C的距离就是已知的AC长度5，点B到圆心C的距离就是已知的BC长度8，我们分别把两个点的位置关系转化为对应的关于r的不等式，联立两个不等式就能直接得到r的取值范围。
【解析】
解：根据点与圆的位置关系的判定规则进行推导：
1. 因为点A在以C为圆心的圆内，点A到圆心C的距离AC=5，点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，因此可得不等式：r ＞ 5；
2. 因为点B在以C为圆心的圆外，点B到圆心C的距离BC=8，点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，因此可得不等式：r ＜ 8；
将两个不等式联立，最终得到半径r的取值范围为5 ＜ r ＜ 8。
【答案】
5＜r＜8
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，不需要额外计算点到圆心的距离，直接结合题目给出的边长，对应点和圆的位置关系的大小规则列不等式即可求解，只要牢记点与圆位置关系的判定逻辑就不容易出错。
【难度系数】
0.9
这道题的核心考点是点与圆的位置关系判定，我们的解题思路是：首先回忆点和圆的位置关系的判定规则：设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，当d＜r时点在圆内，当d＞r时点在圆外。本题的圆心是点C，点A到圆心C的距离就是已知的AC长度5，点B到圆心C的距离就是已知的BC长度8，我们分别把两个点的位置关系转化为对应的关于r的不等式，联立两个不等式就能直接得到r的取值范围。
【解析】
解：根据点与圆的位置关系的判定规则进行推导：
1. 因为点A在以C为圆心的圆内，点A到圆心C的距离AC=5，点在圆内等价于点到圆心的距离小于半径，因此可得不等式：r ＞ 5；
2. 因为点B在以C为圆心的圆外，点B到圆心C的距离BC=8，点在圆外等价于点到圆心的距离大于半径，因此可得不等式：r ＜ 8；
将两个不等式联立，最终得到半径r的取值范围为5 ＜ r ＜ 8。
【答案】
5＜r＜8
【知识点】
点与圆的位置关系
【点评】
本题属于圆相关的基础题型，不需要额外计算点到圆心的距离，直接结合题目给出的边长，对应点和圆的位置关系的大小规则列不等式即可求解，只要牢记点与圆位置关系的判定逻辑就不容易出错。
【难度系数】
0.9
5. 已知$\odot O$的半径为5 cm,A 为线段 OP 的中点,当 OP 满足下列条件时,分别写出点 A 与$\odot O$的位置关系.
(1)$OP=8\ \mathrm{cm};$
(2)$OP=10\ \mathrm{cm};$
(3)$OP=12\ \mathrm{cm}.$
(1)$OP=8\ \mathrm{cm};$
(2)$OP=10\ \mathrm{cm};$
(3)$OP=12\ \mathrm{cm}.$
答案
5.解:(1)点A在$\odot O$内.(2)点A在$\odot O$上.(3)点A在$\odot O$外.
解析
【分析】
要判断点A和⊙O的位置关系，核心思路是比较点A到圆心O的距离OA与⊙O半径r的大小关系。已知A是线段OP的中点，因此可以先根据线段中点的性质，由给出的OP长度计算出OA的长度，再将OA的值和已知的半径5cm对比，根据点与圆的位置关系判定规则就能得到对应结论。
【解析】
首先明确点与圆的位置关系判定规则：设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，那么：
若d ＜ r，点在圆内；
若d = r，点在圆上；
若d ＞ r，点在圆外。
本题中已知⊙O半径r=5cm，A是OP的中点，因此OA = $\frac{1}{2}$OP，分三种情况计算：
(1) 当OP=8cm时，OA = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4 cm，因为4 cm ＜ 5 cm，即OA ＜ r，因此点A在⊙O内；
(2) 当OP=10cm时，OA = $\frac{1}{2}$ × 10 = 5 cm，因为5 cm = 5 cm，即OA = r，因此点A在⊙O上；
(3) 当OP=12cm时，OA = $\frac{1}{2}$ × 12 = 6 cm，因为6 cm ＞ 5 cm，即OA ＞ r，因此点A在⊙O外。
【答案】
(1) 点A在$\odot O$内；(2) 点A在$\odot O$上；(3) 点A在$\odot O$外。
【知识点】
点与圆的位置关系，线段中点定义
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础入门题型，不需要复杂的几何推导，只需要先利用中点性质求出点到圆心的距离，再和半径做大小比较即可完成判定，能够帮助学生熟练掌握点圆位置关系的核心判定逻辑，巩固相关基础概念。
【难度系数】
0.9
要判断点A和⊙O的位置关系，核心思路是比较点A到圆心O的距离OA与⊙O半径r的大小关系。已知A是线段OP的中点，因此可以先根据线段中点的性质，由给出的OP长度计算出OA的长度，再将OA的值和已知的半径5cm对比，根据点与圆的位置关系判定规则就能得到对应结论。
【解析】
首先明确点与圆的位置关系判定规则：设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d，那么：
若d ＜ r，点在圆内；
若d = r，点在圆上；
若d ＞ r，点在圆外。
本题中已知⊙O半径r=5cm，A是OP的中点，因此OA = $\frac{1}{2}$OP，分三种情况计算：
(1) 当OP=8cm时，OA = $\frac{1}{2}$ × 8 = 4 cm，因为4 cm ＜ 5 cm，即OA ＜ r，因此点A在⊙O内；
(2) 当OP=10cm时，OA = $\frac{1}{2}$ × 10 = 5 cm，因为5 cm = 5 cm，即OA = r，因此点A在⊙O上；
(3) 当OP=12cm时，OA = $\frac{1}{2}$ × 12 = 6 cm，因为6 cm ＞ 5 cm，即OA ＞ r，因此点A在⊙O外。
【答案】
(1) 点A在$\odot O$内；(2) 点A在$\odot O$上；(3) 点A在$\odot O$外。
【知识点】
点与圆的位置关系，线段中点定义
【点评】
本题是点和圆位置关系的基础入门题型，不需要复杂的几何推导，只需要先利用中点性质求出点到圆心的距离，再和半径做大小比较即可完成判定，能够帮助学生熟练掌握点圆位置关系的核心判定逻辑，巩固相关基础概念。
【难度系数】
0.9
6. 同一平面内,一个点与圆上最近点的距离是 4 cm,与圆上最远点的距离是 9 cm,则此圆的半径为
（
A.2.5 cm 或 6.5 cm
B.2.5 cm
C.6.5 cm
D.13 cm 或 5 cm
（
A
）A.2.5 cm 或 6.5 cm
B.2.5 cm
C.6.5 cm
D.13 cm 或 5 cm
答案
6.A
解析
【分析】
这道题没有明确给出该点和圆的位置关系，首先要对点的位置进行分类讨论：首先排除点在圆上的情况，点在圆上时到圆上最近点的距离为0，不符合题干给出的4cm的条件，因此仅剩下点在圆外、点在圆内两种情况。我们知道点到圆上最近点、最远点的连线必然经过圆心，第一种情况点在圆外时，最远点距离减去最近点距离就是圆的直径，可算出对应半径；第二种情况点在圆内时，最远点距离加上最近点距离就是圆的直径，算出对应半径，两种结果都符合要求，即可得到最终答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点在圆外时：
点到圆上最近点、最远点的连线经过圆心，此时圆的直径 $ d = 9\mathrm{cm} - 4\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm} $，因此圆的半径 $ r = \frac{d}{2} = 2.5\mathrm{cm} $；
② 当点在圆内时：
点到圆上最近点、最远点的连线经过圆心，此时圆的直径 $ d = 9\mathrm{cm} + 4\mathrm{cm} = 13\mathrm{cm} $，因此圆的半径 $ r = \frac{d}{2} = 6.5\mathrm{cm} $；
综上，此圆的半径为2.5 cm或6.5 cm。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题的高频易错点是容易忽略点的位置的两种可能性，直接默认点在圆内或者点在圆外只计算出一个结果，解题时要注意题干没有限定点和圆的位置，必须完整分类讨论所有符合条件的情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
这道题没有明确给出该点和圆的位置关系，首先要对点的位置进行分类讨论：首先排除点在圆上的情况，点在圆上时到圆上最近点的距离为0，不符合题干给出的4cm的条件，因此仅剩下点在圆外、点在圆内两种情况。我们知道点到圆上最近点、最远点的连线必然经过圆心，第一种情况点在圆外时，最远点距离减去最近点距离就是圆的直径，可算出对应半径；第二种情况点在圆内时，最远点距离加上最近点距离就是圆的直径，算出对应半径，两种结果都符合要求，即可得到最终答案。
【解析】
解：分两种情况讨论：
① 当点在圆外时：
点到圆上最近点、最远点的连线经过圆心，此时圆的直径 $ d = 9\mathrm{cm} - 4\mathrm{cm} = 5\mathrm{cm} $，因此圆的半径 $ r = \frac{d}{2} = 2.5\mathrm{cm} $；
② 当点在圆内时：
点到圆上最近点、最远点的连线经过圆心，此时圆的直径 $ d = 9\mathrm{cm} + 4\mathrm{cm} = 13\mathrm{cm} $，因此圆的半径 $ r = \frac{d}{2} = 6.5\mathrm{cm} $；
综上，此圆的半径为2.5 cm或6.5 cm。
【答案】
A
【知识点】
点与圆的位置关系，分类讨论思想
【点评】
本题的高频易错点是容易忽略点的位置的两种可能性，直接默认点在圆内或者点在圆外只计算出一个结果，解题时要注意题干没有限定点和圆的位置，必须完整分类讨论所有符合条件的情况，避免出现漏解。
【难度系数】
0.6
7. (2025·江阴月考)如图,在矩形$ABCD$中,$AD=5$,$AB=12$,以顶点$D$为圆心作半径为$r$的圆,若要求另外三个顶点$A$,$B$,$C$中至少有一个点在圆内,且至少有一个点在圆外,则$r$的取值范围是
$5＜r＜13$
.答案
7.$5＜r＜13$
解析
【分析】
要推导半径r的取值范围，我们可以按照以下思路思考：首先明确点和圆的位置判定规则：点到圆心的距离小于半径时点在圆内，点到圆心的距离大于半径时点在圆外。接下来我们先求出圆心D到A、B、C三个顶点的全部距离，对比得到这三个距离里的最小值和最大值：要满足“至少一个点在圆内”，半径必须大于最小的点到圆心的距离，保证最近的点落在圆内；要满足“至少一个点在圆外”，半径必须小于最大的点到圆心的距离，保证最远的点落在圆外，最终就能得到r的取值范围。
【解析】
1. 利用矩形性质得到对应边长：在矩形ABCD中，已知AD=5，AB=12，由矩形对边相等可得CD=AB=12。
2. 用勾股定理计算对角线BD的长度：连接BD，在Rt△ABD中，∠A=90°，代入勾股定理公式：
$ BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=133. $整理三个点到圆心D的距离：DA=5，DC=12，DB=13，三个距离的最小值为5，最大值为13。4. 结合题意推导范围：要至少有一个点在圆内，需r＞5，此时点A在圆内；要至少有一个点在圆外，需r＜13，此时点B在圆外，同时满足两个条件即可得到r的取值范围。【答案】5＜r＜13
【知识点】
点与圆位置关系，矩形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考察点和圆位置关系的判定逻辑，解题关键是先计算出圆心到所有目标点的距离，通过最值直接锁定半径范围，不容易出现计算失误，是对点圆位置关系知识点的典型考察。
【难度系数】
0.7
要推导半径r的取值范围，我们可以按照以下思路思考：首先明确点和圆的位置判定规则：点到圆心的距离小于半径时点在圆内，点到圆心的距离大于半径时点在圆外。接下来我们先求出圆心D到A、B、C三个顶点的全部距离，对比得到这三个距离里的最小值和最大值：要满足“至少一个点在圆内”，半径必须大于最小的点到圆心的距离，保证最近的点落在圆内；要满足“至少一个点在圆外”，半径必须小于最大的点到圆心的距离，保证最远的点落在圆外，最终就能得到r的取值范围。
【解析】
1. 利用矩形性质得到对应边长：在矩形ABCD中，已知AD=5，AB=12，由矩形对边相等可得CD=AB=12。
2. 用勾股定理计算对角线BD的长度：连接BD，在Rt△ABD中，∠A=90°，代入勾股定理公式：
$ BD=\sqrt{AD^2+AB^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=133. $整理三个点到圆心D的距离：DA=5，DC=12，DB=13，三个距离的最小值为5，最大值为13。4. 结合题意推导范围：要至少有一个点在圆内，需r＞5，此时点A在圆内；要至少有一个点在圆外，需r＜13，此时点B在圆外，同时满足两个条件即可得到r的取值范围。【答案】5＜r＜13
【知识点】
点与圆位置关系，矩形性质，勾股定理
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心考察点和圆位置关系的判定逻辑，解题关键是先计算出圆心到所有目标点的距离，通过最值直接锁定半径范围，不容易出现计算失误，是对点圆位置关系知识点的典型考察。
【难度系数】
0.7
8. 已知$P$是半径为4的$\odot O$上一点,平面上一点$Q$到点$P$的距离为2,则线段$OQ$的长度$a$的取值范围为
$2≤ a≤ 6$
.答案
8.$2≤ a≤ 6$
解析
【分析】
解题时首先要理清两个动点的约束条件：首先点P在半径为4的定圆O上，满足OP=4，点Q满足到P的距离恒为2。我们可以利用三角形三边的不等关系分析OQ的取值边界：对于任意三点O、P、Q，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，当三点共线时可以取到等号。代入已知的OP=4、PQ=2，就能直接算出OQ的最大值和最小值，进而得到取值范围。也可以从轨迹角度理解：所有符合条件的Q点构成以O为圆心，内半径2、外半径6的圆环（含边界），因此OQ的长度必然在2到6之间。
【解析】
解：由题意得，定圆O的半径OP=4，且PQ=2。
根据三角形三边不等关系：任意两边之差小于等于第三边，任意两边之和大于等于第三边，可得：
$|OP - PQ| ≤ OQ ≤ OP + PQ$
将OP=4，PQ=2代入不等式：
左边：$|4 - 2| = 2$，即OQ的最小值为2，当O、Q、P三点共线且Q落在O、P之间时取到最小值；
右边：$4 + 2 = 6$，即OQ的最大值为6，当O、P、Q三点共线且P落在O、Q之间时取到最大值。
因此线段OQ的长度a的取值范围为$2 ≤ a ≤ 6$。
【答案】
$2≤ a≤ 6$
【知识点】
三角形三边关系，点圆位置关系，动点轨迹
【点评】
本题是圆相关的基础动点最值题，不需要复杂运算，核心考察学生对动态点的位置范围的推导能力，易错点是容易忽略三点共线时的等号成立条件，误将取值范围写为开区间。
【难度系数】
0.7
解题时首先要理清两个动点的约束条件：首先点P在半径为4的定圆O上，满足OP=4，点Q满足到P的距离恒为2。我们可以利用三角形三边的不等关系分析OQ的取值边界：对于任意三点O、P、Q，两边之和大于第三边、两边之差小于第三边，当三点共线时可以取到等号。代入已知的OP=4、PQ=2，就能直接算出OQ的最大值和最小值，进而得到取值范围。也可以从轨迹角度理解：所有符合条件的Q点构成以O为圆心，内半径2、外半径6的圆环（含边界），因此OQ的长度必然在2到6之间。
【解析】
解：由题意得，定圆O的半径OP=4，且PQ=2。
根据三角形三边不等关系：任意两边之差小于等于第三边，任意两边之和大于等于第三边，可得：
$|OP - PQ| ≤ OQ ≤ OP + PQ$
将OP=4，PQ=2代入不等式：
左边：$|4 - 2| = 2$，即OQ的最小值为2，当O、Q、P三点共线且Q落在O、P之间时取到最小值；
右边：$4 + 2 = 6$，即OQ的最大值为6，当O、P、Q三点共线且P落在O、Q之间时取到最大值。
因此线段OQ的长度a的取值范围为$2 ≤ a ≤ 6$。
【答案】
$2≤ a≤ 6$
【知识点】
三角形三边关系，点圆位置关系，动点轨迹
【点评】
本题是圆相关的基础动点最值题，不需要复杂运算，核心考察学生对动态点的位置范围的推导能力，易错点是容易忽略三点共线时的等号成立条件，误将取值范围写为开区间。
【难度系数】
0.7
9. (2025·南京月考)如图,点 A,B 的坐标分别为$A(6,0)$,$B(0,8)$,$C$ 为坐标平面内一点,$BC=1$,$M$ 为线段 $AC$ 的中点,连接 $OM$,则 $OM$ 长的最大值为
$\frac{11}{2}$
.答案
9.$\frac{11}{2}$
解析
【分析】
我们先梳理解题思路：首先由BC=1，可确定点C的运动轨迹是以B为圆心、半径为1的圆。接下来要转化OM的长度关系，已知M是AC中点，我们可以通过构造三角形中位线简化问题：取点D(-6,0)，此时O恰好是线段AD的中点，结合M是AC中点，就能得到OM是△ACD的中位线，即OM长度等于CD长度的一半。这样求OM的最大值就等价于求CD的最大值，而圆上一点到定点的最大距离，就是该定点到圆心的距离加上圆的半径，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由已知A(6,0)，B(0,8)，且BC=1，可得点C的轨迹是以B为圆心，半径r=1的圆。
2. 取点D(-6,0)，因为A(6,0)，所以O是线段AD的中点；又已知M是线段AC的中点，因此OM是△ACD的中位线。
3. 根据三角形中位线的性质：$OM=\frac{1}{2}CD$。
4. 计算定点D到圆心B的距离：$DB=\sqrt{(-6-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{36+64}=10$。
5. 点C在以B为圆心、半径为1的圆上，因此CD的最大值为$DB + r = 10+1=11$。
6. 代入OM和CD的关系，可得OM的最大值为$\frac{1}{2}×11=\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，点与圆位置关系，坐标与图形性质
【点评】
本题属于几何最值转化类经典题型，核心是通过构造中位线将动点M的线段最值问题，转化为圆上点到定点的距离最值问题，也可以通过先推导M的轨迹是圆，再利用点到圆的最大距离公式求解，能有效考察学生的几何转化思维，避免了复杂的轨迹计算。
【难度系数】
0.3
我们先梳理解题思路：首先由BC=1，可确定点C的运动轨迹是以B为圆心、半径为1的圆。接下来要转化OM的长度关系，已知M是AC中点，我们可以通过构造三角形中位线简化问题：取点D(-6,0)，此时O恰好是线段AD的中点，结合M是AC中点，就能得到OM是△ACD的中位线，即OM长度等于CD长度的一半。这样求OM的最大值就等价于求CD的最大值，而圆上一点到定点的最大距离，就是该定点到圆心的距离加上圆的半径，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
1. 由已知A(6,0)，B(0,8)，且BC=1，可得点C的轨迹是以B为圆心，半径r=1的圆。
2. 取点D(-6,0)，因为A(6,0)，所以O是线段AD的中点；又已知M是线段AC的中点，因此OM是△ACD的中位线。
3. 根据三角形中位线的性质：$OM=\frac{1}{2}CD$。
4. 计算定点D到圆心B的距离：$DB=\sqrt{(-6-0)^2+(0-8)^2}=\sqrt{36+64}=10$。
5. 点C在以B为圆心、半径为1的圆上，因此CD的最大值为$DB + r = 10+1=11$。
6. 代入OM和CD的关系，可得OM的最大值为$\frac{1}{2}×11=\frac{11}{2}$。
【答案】
$\frac{11}{2}$
【知识点】
三角形中位线定理，点与圆位置关系，坐标与图形性质
【点评】
本题属于几何最值转化类经典题型，核心是通过构造中位线将动点M的线段最值问题，转化为圆上点到定点的距离最值问题，也可以通过先推导M的轨迹是圆，再利用点到圆的最大距离公式求解，能有效考察学生的几何转化思维，避免了复杂的轨迹计算。
【难度系数】
0.3
