9. 如图,菱形$ABCD$的顶点$A$,$D$都在$\odot O$上,$AC$与$\odot O$交于点$E$,若$∠ OAD=12^{ \circ }$,则$∠ AEB$的度数是.

第9题图
第10题图

9.$78°$

【分析】
我们可以按以下思路推导：第一步，先利用圆的半径相等，得到OA=OD，结合已知的∠OAD=12°，算出等腰△OAD的顶角∠AOD的度数；第二步，根据圆周角定理，同弧所对的圆周角是对应圆心角的一半，求出弧AD对应的圆周角∠AED的度数；第三步，利用菱形的性质，得到AD=AB且AC平分∠DAB，通过SAS证明△DAE和△BAE全等，即可得到∠AEB和∠AED相等，最终算出结果。
【解析】
1. 由OA、OD都是⊙O的半径，可得OA=OD，已知∠OAD=12°，因此△OAD为等腰三角形：
∠ ODA = ∠ OAD = 12° 由三角形内角和为180°，计算得： ∠ AOD = 180° - 12° -12° = 156°
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于对应圆心角的一半，点E在⊙O上，弧AD对应的圆周角为∠AED，因此：
$ ∠ AED = \frac{1}{2}∠ AOD = \frac{1}{2}×156° =78°3. $因为四边形ABCD是菱形，可得AD=AB，且对角线AC平分∠DAB，即∠ DAE = ∠ BAE。 在△DAE和△BAE中：$ \begin{cases} AD=AB \\ ∠ DAE = ∠ BAE \\ AE=AE \end{cases}$
因此△DAE≌△BAE（SAS），可得：
∠ AEB = ∠ AED =78°【答案】78°
【知识点】
圆周角定理，菱形性质，全等三角形判定
【点评】
本题综合考查圆的性质和菱形的相关知识，解题核心是将圆周角定理得到的角度，通过菱形的轴对称性转化为所求角的度数，需要学生灵活串联不同模块的几何性质，属于基础综合类题型。
【难度系数】
0.6

10.如图,矩形$ABCD$的宽为10,长为12,$E$是矩形内的动点,$AE ⊥ BE$,则$CE$长的最小值为.

10.8

【解析】
1. 确定动点E的轨迹：
因为$AE ⊥ BE$，即$∠ AEB=90°$，根据圆周角定理的推论，直角所对的弦为直径，可知点E的轨迹是以AB为直径的圆，且E在矩形内部。
设AB的中点为O，已知矩形宽$AB=10$，则该圆的半径$r=OA=OB=OE=5$。
2. 计算OC的长度：
矩形长$BC=12$，在$\mathrm{Rt}△ OBC$中，$OB=5$，$BC=12$，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OB^2 + BC^2}=\sqrt{5^2+12^2}=13$
3. 求CE的最小值：
根据点与圆的位置关系，点到圆上点的最短距离为点到圆心的距离减去半径，因此CE的最小值为$OC - OE=13-5=8$。
【答案】
8
【知识点】
圆周角定理；勾股定理；点到圆的最值
【点评】
本题是动点轨迹类的最值问题，核心是通过直角条件识别出动点的隐圆轨迹，再结合点到圆的最短距离公式求解，需要学生掌握隐圆的构造方法，有一定的思维灵活性。
【难度系数】
0.5

三、解答题(共50分)
11.(15分)(2025·姑苏区月考)如图,四边形ABCD内接于$\odot O$,AC为$\odot O$的直径,$∠ ADB=∠ CDB$.
(1)试判断$△ ABC$的形状,并给出证明;
(2)若$BC=5\sqrt{2}$,$AD=1$,求CD的长.

11. 解:(1)$△ ABC$为等腰直角三角形.
证明:$∠ ADB=∠ CDB,\therefore∠ CAB=∠ ACB$,
$\therefore AB=CB$.
$\because AC$为$\odot O$的直径,$\therefore∠ ABC=90°$,
$\therefore△ ABC$为等腰直角三角形.
(2)$\because AB=CB,BC=5\sqrt{2},\therefore AB=CB=5\sqrt{2}$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(5\sqrt{2})^2+(5\sqrt{2})^2}=$10.
$\because AC$为$\odot O$的直径,$\therefore∠ ADC=90°$,
$\therefore CD=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{10^2-1^2}=3\sqrt{11}$.

【分析】
我们从已知条件逐步推导思路：
第(1)问判断△ABC的形状，首先已知AC是⊙O的直径，根据直径的性质可直接得到∠ABC=90°；再结合题目给出的∠ADB=∠CDB，利用圆周角定理，相等的圆周角对应的弧相等，进而推出对应的弦AB=BC，有一个直角且两条直角边相等，即可判定△ABC的形状。
第(2)问求CD的长，先借助第(1)问的等腰直角三角形性质，算出直径AC的长度；再利用AC是直径得到∠ADC=90°，在Rt△ADC中通过勾股定理即可求出CD的长度。
【解析】
(1) △ABC为等腰直角三角形，证明如下：
∵ ∠ADB = ∠CDB，
由同弧所对的圆周角相等，可得∠CAB = ∠ACB，
∴ AB = CB。
又
∵ AC为⊙O的直径，
∴ ∠ABC = 90°（直径所对的圆周角为直角），
∴ △ABC为等腰直角三角形。
(2) 由(1)得AB = CB，已知BC = 5√2，
∴ AB = BC = 5√2。
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC = √(AB² + BC²) = √[(5√2)² + (5√2)²] = √100 = 10。
∵ AC为⊙O的直径，
∴ ∠ADC = 90°（直径所对的圆周角为直角），
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
CD = √(AC² - AD²) = √(10² - 1²) = √99 = 3√11。
【答案】
(1) △ABC是等腰直角三角形；(2) CD的长为3√11
【知识点】
圆周角定理，直径的性质，勾股定理
【点评】
本题是圆与直角三角形结合的基础综合题型，核心考察圆周角相关性质的应用，解题关键是熟练掌握直径对直角、同弧对等圆周角的结论，结合等腰三角形判定和勾股定理即可顺利求解，适合巩固圆的基础性质知识点。
【难度系数】
0.7

12. (15 分) 如图,$\odot O$ 中两条互相垂直的弦 $AB,CD$ 交于点 $P,AB$ 经过圆心 $O,E$ 是 $AC$ 的中点,连接 $EP$ 并延长,交 $BD$ 于点 $F$.
(1) 若 $AB=10,OE=\sqrt{10}$,求 $AC$ 的长；
(2) 求证:$EF⊥ BD$.

12. (1) 解:$\because E$是$AC$的中点,$\therefore OE$垂直平分$AC$.
$\because AB=10,\therefore OA=5$,
$\therefore AC=2AE=2\sqrt{5^2-(\sqrt{10})^2}=2\sqrt{15}$.
(2) 证明:$\because AB⊥ CD,\therefore∠ APC=∠ BPD=90°$.
$\because$在$\mathrm{Rt}△ APC$中,$E$是斜边$AC$的中点,
$\therefore EP=\frac{1}{2}AC=EC,\therefore∠ EPC=∠ C$.
$\because∠ B$和$∠ C$都是$\overset{\frown}{AD}$所对的圆周角,$\therefore∠ B=∠ C$.
$\because∠ EPC=∠ DPF,∠ B=∠ C,\therefore∠ DPF=∠ B$.
$\because∠ DPF+∠ BPF=90°$,
$\therefore∠ B+∠ BPF=90°,\therefore∠ BFP=90°$,
$\therefore EF⊥ BD$.

【分析】
(1) 解题思路：已知AB是⊙O的直径，长度为10，可直接得到半径OA=5。题目给出E是AC的中点，结合圆心O的位置，根据垂径定理的推论，圆心与弦中点的连线垂直于弦，因此OE⊥AC，此时△OAE是直角三角形，已知OA和OE的长度，用勾股定理求出AE的长度，再由E是AC中点，AC=2AE即可得到AC的长。
(2) 要证明EF⊥BD，核心是证明夹角∠BFP=90°：首先由AB⊥CD得到Rt△APC，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到EP=EC，推出∠EPC=∠C；再根据同弧所对的圆周角相等，得到∠B=∠C，结合对顶角相等∠EPC=∠DPF，等量代换得到∠DPF=∠B，最后由∠DPF+∠BPF=90°，推出∠B+∠BPF=90°，即可得到∠BFP=90°，证明垂直。
【解析】
(1) 解：
∵ E是AC的中点，O是圆心，
∴ OE垂直平分AC。
∵ AB=10，AB是⊙O的直径，
∴ OA=1/2 AB=5。
在Rt△OAE中，由勾股定理得：
AE=√(OA² - OE²)=√(5² - (√10)²)=√15，
∴ AC=2AE=2√15。
(2) 证明：
∵ AB⊥CD，AB、CD交于点P，
∴ ∠APC=∠BPD=90°，即△APC是直角三角形。
∵ E是Rt△APC斜边AC的中点，
∴ EP=1/2 AC=EC，
∴ ∠EPC=∠C。
∵ ∠B和∠C都是弧AD所对的圆周角，
∴ ∠B=∠C。
又
∵ ∠EPC和∠DPF是对顶角，
∴ ∠EPC=∠DPF，
等量代换得：∠DPF=∠B。
∵ ∠DPF + ∠BPF = 90°，
∴ ∠B + ∠BPF = 90°，
∴ 在△BPF中，∠BFP=180°-(∠B+∠BPF)=90°，
∴ EF⊥BD。
【答案】
(1) AC的长为$2\sqrt{15}$；(2) 已证得$EF⊥ BD$。
【知识点】
垂径定理，直角三角形斜边中线性质，圆周角定理
【点评】
本题是圆的基础综合题型，难度适中，第一问直接考察垂径定理结合勾股定理的计算，属于基础得分点；第二问需要结合直角三角形性质、圆周角性质做角的等量代换，将证明垂直的目标转化为证明两个角的和为90°，引导学生掌握圆中角度转化的常用思路，巩固相关定理的应用。
【难度系数】
0.6

13. (20分) 如图, 四边形 $ABCD$ 内接于$\odot O$,$AB$ 是直径,$C$ 为$\overset{\frown}{BD}$的中点, 延长 $AD,BC$ 交于点 $P$,连接 $AC$.
(1)求证:$AB=AP$;
(2)当 $AB=10,DP=2$ 时,求线段 $CP$ 的长.

13. (1) 证明:$\because C$为$\overset{\frown}{BD}$的中点,$\therefore\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$,
$\therefore∠ BAC=∠ CAP$.
$\because AB$是直径,$\therefore∠ ACB=∠ ACP=90°$.
在$△ ABC$和$△ APC$中,$\begin{cases}∠ BAC=∠ PAC,\\AC=AC,\\∠ ACB=∠ ACP,\end{cases}$
$\therefore△ ABC≌△ APC(\mathrm{ASA}),\therefore AB=AP$.
(2) 解:如答图,连接$BD$.
$\because AB$是直径,$\therefore∠ ADB=∠ BDP=90°$.
$\because AB=AP=10,DP=2,\therefore AD=10-2=8$,
$\therefore BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$,
$\therefore PB=\sqrt{BD^2+PD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$.
$\because AB=AP,AC⊥ BP,\therefore CP=\frac{1}{2}PB=\sqrt{10}$.

【分析】
(1) 要证明AB=AP，可通过证明△ABC和△APC全等来推导：首先由C是弧BD的中点，根据等弧对应的圆周角相等，得到∠BAC=∠CAP；再结合AB是圆的直径，直径所对圆周角为90°，可得∠ACB=∠ACP=90°，再结合公共边AC，用ASA即可证明两个三角形全等，进而得到AB=AP。
(2) 求CP的长度，首先利用第一问的结论AB=AP=10，算出AD的长度为8；因为AB是直径，连接BD后可得∠ADB=90°，在Rt△ABD中用勾股定理算出BD的长，再在Rt△BDP中用勾股定理算出BP的长；最后由等腰三角形三线合一，AC⊥BP，C是BP中点，因此CP是BP的一半，即可求出CP的长度。
【解析】
(1) 证明：
∵ C为$\overset{\frown}{BD}$的中点，
∴ $\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，
∴ ∠BAC=∠CAP。
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ACB=∠ACP=90°。
在△ABC和△APC中：
$\begin{cases}∠BAC=∠PAC \\AC=AC \\∠ACB=∠ACP\end{cases}$
∴ △ABC≌△APC(ASA)，
∴ AB=AP。
(2) 解：连接BD，
∵ AB是⊙O的直径，
∴ ∠ADB=90°，即∠BDP=90°。
由(1)知AB=AP=10，已知DP=2，
∴ AD=AP-DP=10-2=8。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：
$BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-8^2}=6$。
在Rt△BDP中，由勾股定理得：
$PB=\sqrt{BD^2+PD^2}=\sqrt{6^2+2^2}=2\sqrt{10}$。
又
∵ AB=AP，AC⊥BP，根据等腰三角形三线合一，C为BP中点，
∴ $CP=\frac{1}{2}PB=\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明过程如上；(2) $CP=\sqrt{10}$

【知识点】
直径所对圆周角为直角，等弧对等圆周角，勾股定理
【点评】
本题是圆与三角形的基础综合题，第一问利用弧中点的性质转化角，结合直径的直角性质证明全等，难度较低；第二问通过连接辅助线BD构造直角三角形，结合等腰三角形三线合一的性质，两次使用勾股定理求解线段长度，考察学生对圆的基础性质的灵活运用，属于常规题型。
【难度系数】
0.6