10. 如图,在$□ ABCD$中,$∠ BAD$为钝角,且$AE⊥ BC$于点$E$,$AF⊥ CD$于点$F$,连接$BD$.
求证:$A,E,C,F$四点在同一个圆上.

10.证明:如答图,连接AC交BD于点O,连接EO,FO.
$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore O$为AC的中点,
$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC.$
$\because AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore∠ AEC=∠ AFC=90°,$
$\therefore EO=\frac{1}{2}AC,FO=\frac{1}{2}AC,\therefore AO=CO=EO=FO,$
$\therefore A,E,C,F$四点在以点O为圆心,$\frac{1}{2}AC$长为半径的圆上.

【分析】
要证明A、E、C、F四点共圆，核心思路是找到一个定点，使得四个点到该定点的距离相等，即可依据圆的定义判定四点共圆。首先观察已知条件：AE⊥BC、AF⊥CD，可得△AEC和△AFC都是直角三角形，且二者公共斜边为AC，根据直角三角形斜边中线的性质，斜边中点到直角三角形三个顶点的距离都等于斜边的一半，因此只需找到AC的中点，就能得到该点到A、E、C、F的距离相等。又因为平行四边形对角线互相平分，AC与BD的交点恰好就是AC的中点，顺着这个思路即可完成证明。
【解析】
证明：
1. 作辅助线：连接AC，交BD于点O，再连接EO、FO。
2. 因为四边形ABCD是平行四边形，平行四边形的对角线互相平分，因此O是AC的中点，可得：
$ AO = CO = \frac{1}{2}AC $
3. 由已知$ AE ⊥ BC $，$ AF ⊥ CD $，可得$ ∠ AEC = ∠ AFC = 90° $，即△AEC和△AFC均为直角三角形，且斜边都为AC。
4. 根据直角三角形斜边中线定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，在Rt△AEC中，O是斜边AC中点，因此$ EO = \frac{1}{2}AC $；在Rt△AFC中，O是斜边AC中点，因此$ FO = \frac{1}{2}AC $。
5. 联立可得$ AO = CO = EO = FO $，说明A、E、C、F四个点到定点O的距离都等于定长$ \frac{1}{2}AC $，因此A、E、C、F四点在同一个圆上。
【答案】
证明: 连接AC交BD于点O,连接EO,FO.
$\because$四边形ABCD是平行四边形,$\therefore O$为AC的中点,
$\therefore AO=CO=\frac{1}{2}AC.$
$\because AE⊥ BC,AF⊥ CD,\therefore∠ AEC=∠ AFC=90°,$
$\therefore EO=\frac{1}{2}AC,FO=\frac{1}{2}AC,\therefore AO=CO=EO=FO,$
$\therefore A,E,C,F$四点在以点O为圆心,$\frac{1}{2}AC$长为半径的圆上.

【知识点】
平行四边形性质，直角三角形斜边中线，四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆的基础证明题型，没有使用复杂的圆周角相关共圆判定，而是直接利用圆的定义完成证明，巧妙结合了平行四边形对角线互相平分、直角三角形斜边中线的性质，能够帮助学生巩固几何性质的综合运用，理解四点共圆的核心判定逻辑。
【难度系数】
0.6

11. 如图,在矩形 $ABCD$ 中,$AB=3$,$AD=4$. 作 $DE ⊥ AC$ 于点 $E$,$AF ⊥ BD$ 于点 $F$.
(1)求 $AF,AE$ 的长;
(2)若以点 $A$ 为圆心作圆,$B,C,D,E,F$ 五点中至少有 1 个点在圆内,且至少有 2 个点在圆外,求$\odot A$ 的半径 $r$ 的取值范围.

11.解:(1)$\because$在矩形ABCD中,$AB=3,AD=4,$
$\therefore AC=BD=\sqrt{3^2+4^2}=5.$
$\because\frac{1}{2}AF· BD=\frac{1}{2}AB· AD,\therefore AF=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}.$
同理可得$DE=\frac{12}{5}.$
在$\mathrm{Rt}△ ADE$中,$AE=\sqrt{4^2-(\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}.$
(2)$\because AF＜AB＜AE＜AD＜AC,$
$\therefore$若以点A为圆心作圆,B,C,D,E,F五点中至少有1个点在圆内,且至少有2个点在圆外,即点F在圆内,点D,C在圆外,$\therefore\odot A$的半径r的取值范围为$2.4＜r＜4.$

【分析】
1. 第(1)问：首先利用矩形内角为直角、对角线相等的性质，通过勾股定理先算出矩形对角线AC、BD的长度。求AF时，AF是Rt△ABD斜边上的高，使用等面积法，用三角形面积的两种不同表达形式直接计算出AF的长度，同理可得DE的长度，最后在Rt△ADE中通过勾股定理即可求出AE的长。
2. 第(2)问：先把点A到B、C、D、E、F五个点的所有距离全部计算出来，从小到大排序，再结合“至少1个点在圆内，至少2个点在圆外”的条件，判断出半径r需要满足的边界：最小的距离AF必须小于r，保证至少有1个点在圆内；同时r要小于AD的长度，保证最远的两个点D、C都在圆外，最终得到r的取值范围。
【解析】
解：
(1)
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠BAD=90°，AC=BD，
由勾股定理得：$BD=AC=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∵ $AF⊥ BD$，$△ ABD$的面积可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· AB· AD$，也可表示为$S_{△ ABD}=\frac{1}{2}· BD· AF$，
代入数值：$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5 × AF$，
解得$AF=\frac{12}{5}$。
同理，$DE⊥ AC$，通过$△ ADC$的等面积法可得$DE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ADE$中，$∠ AED=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AD^2 - DE^2}=\sqrt{4^2 - (\frac{12}{5})^2}=\frac{16}{5}$。
(2) 点A到五个点的距离分别为：
$AF=\frac{12}{5}=2.4$，$AB=3$，$AE=\frac{16}{5}=3.2$，$AD=4$，$AC=5$，
从小到大排序为：$AF ＜ AB ＜ AE ＜ AD ＜ AC$，
要满足至少1个点在圆内，需最小的距离$AF ＜ r$，即$r＞2.4$；
要满足至少2个点在圆外，需最远的两个点D、C都在圆外，即$r＜4$，
因此$\odot A$的半径r的取值范围是$2.4 ＜ r ＜ 4$。
【答案】
(1) $AF=\frac{12}{5}$，$AE=\frac{16}{5}$；(2) $2.4 ＜ r ＜ 4$
【知识点】
矩形性质，勾股定理，点与圆位置关系
【点评】
本题是几何基础综合题，融合了等面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理、点和圆的位置关系等考点，解题核心是先将点A到五个点的距离全部算出并排序，再结合给定条件筛选半径的合理区间，避免直接主观判断边界导致错误。
【难度系数】
0.6

12. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=2\sqrt{5}$,$BC=4$,$D$是$AB$的中点,若以点$D$为圆心,$r$为半径作$\odot D$,使点$B$在$\odot D$内,点$C$在$\odot D$外,试求$r$的取值范围.

12.解:如答图,连接CD,过点A作$AE⊥ BC$于点E,过点D作$DF⊥ BC$于点F,则$DF// AE.$

$\because AB=AC=2\sqrt{5},BC=4,AE⊥ BC,$
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=2,$
$\therefore AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=4.$
$\because D$是AB的中点,$DF// AE$,则DF是$△ ABE$的中位线,
$\therefore DF=\frac{1}{2}AE=2,BF=\frac{1}{2}BE=1,\therefore CF=3,$
$\therefore CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}.$
又$DB=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5},$
$\therefore r$的取值范围是$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}.$

【分析】
要确定半径r的取值范围，需利用点与圆的位置关系判定规则：点在圆内则点到圆心的距离小于半径，点在圆外则点到圆心的距离大于半径。因此我们只需要分别求出点B到圆心D的距离DB，以及点C到圆心D的距离CD，再结合题目的位置条件列不等式即可得到r的范围。其中DB可直接由D是AB中点得到，求CD时，可利用等腰△ABC的性质作底边的高AE，用勾股定理算出AE，再通过作DF⊥BC得到DF是△ABE的中位线，求出DF、CF的长度后，再次用勾股定理即可算出CD。
【解析】
解：连接CD，过点A作$AE ⊥ BC$于点E，过点D作$DF ⊥ BC$于点F，则$DF // AE$。
$\because AB=AC=2\sqrt{5}$，$AE ⊥ BC$，由等腰三角形三线合一性质，
$\therefore BE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2} × 4=2$，
在$\mathrm{Rt}△ ABE$中，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{(2\sqrt{5})^2-2^2}=\sqrt{20-4}=4$。
$\because D$是$AB$的中点，$DF // AE$，
$\therefore DF$是$△ ABE$的中位线，
$\therefore DF=\frac{1}{2}AE=2$，$BF=\frac{1}{2}BE=1$，
$\therefore CF=BC-BF=4-1=3$。
在$\mathrm{Rt}△ CDF$中，由勾股定理得：
$CD=\sqrt{DF^2+CF^2}=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13}$。
又$\because D$是$AB$中点，
$\therefore DB=\frac{1}{2}AB=\sqrt{5}$。
根据点与圆的位置关系：点B在$\odot D$内，得$r＞DB=\sqrt{5}$；点C在$\odot D$外，得$r＜CD=\sqrt{13}$，
因此$r$的取值范围是$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$。
【答案】
，$\sqrt{5}＜r＜\sqrt{13}$
【知识点】
点与圆的位置关系，等腰三角形性质，勾股定理
【点评】
本题是几何综合题，将点和圆的位置关系判定与等腰三角形性质、三角形中位线、勾股定理相结合，解题的关键是合理构造辅助线，将未知线段CD转化到直角三角形中求解，难度适中，能有效考察学生对基础几何定理的综合运用能力。
【难度系数】
0.6