12. (2025·苏州工业园区期中)若三角形的两边长分别是6和2,第三边长是偶数,则此三角形的第三边长为.

根据三角形的三边关系，
得第三边长大于 6−2=4，且小于 6+2=8.
又第三边长是偶数，
所以此三角形的第三边长为 6.

13. (2024·山东菏泽期末)下列长度的三条线段，能组成三角形的是.(填序号)
①1,2,3；②2,3,4；③1,4,2；④6,2,3.

①1+2=3，长度是 1,2,3 的线段不能组成三角形. 故①不符合题意；
②2+3＞4，长度是 2,3,4 的线段能组成三角形. 故②符合题意；
③1+2＜4，长度是 1,2,4 的线段不能组成三角形. 故③不符合题意；
④2+3＜6，长度是 2,3,6 的线段不能组成三角形. 故④不符合题意.

14. (2025·江西南昌东湖区期中)已知$△ ABC$的三边长是$a,b,c$.
(1) 若$a=6,b=8$,且三角形的周长是小于22的偶数,求$c$的值；
(2)化简$|a+b-c|+|c-a-b|$.

(1)
∵a,b,c 是△ABC 的三边，a=6，b=8，
∴2＜c＜14.
∵三角形的周长是小于 22 的偶数，
∴2＜c＜8，
∴c=4 或 6.
(2)|a+b−c|+|c−a−b|
=a+b−c−c+a+b
=2a+2b−2c.

15. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是边$AB$上一点.
(1)通过度量$AB$,$CD$,$DB$的长度,确定$AB$与$\dfrac{1}{2}(CD+DB)$的大小关系;
(2)试用你所学的知识来说明这个不等关系是成立的.

(1)$AB＞\frac{1}{2}(CD+DB)$.
(2)
∵在△ADC 中，AD+AC＞CD，
∴(AD+DB)+AC＞CD+DB，
即 AB+AC＞CD+DB.
又 AB=AC，
∴2AB＞CD+DB，
∴$AB＞\frac{1}{2}(CD+DB)$.

16. 分类讨论思想 若三边均不相等的三角形的三边$a,b,c$满足$a-b＞b-c$（$a$为最长边，$c$为最短边），则称它为“不均衡三角形”.例如，一个三角形三边分别为7,5,4，因为$7-5＞5-4$，所以这个三角形为“不均衡三角形”.
(1) 以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为.(填序号)
①4 cm,2 cm,1 cm;②13 cm,18 cm,9 cm;③19 cm,20 cm,19 cm;④9 cm,8 cm,6 cm.
(2) 已知“不均衡三角形”三边分别为$2x+2$,$16$,$2x-6$,直接写出$x$的整数值为.

(1)②
(2)10 或 12 或 13 或 14 解析：①当 16 为最长边时，由题意，得 16−(2x+2)＞2x+2−(2x−6)，解得 x＜3.
∵2x−6＞0，
∴x＞3. 故互相矛盾，舍去；
②当 16 为中间边长时，由题意，得 2x+2＞16＞2x−6，解得 7＜x＜11.
又 2x+2−16＞16−(2x−6)，解得 x＞9，
∴9＜x＜11.
∵x 为整数，
∴x=10.
经检验，当 x=10 时，22,16,14 可以构成三角形；
③当 16 为最短边长时，由题意，得 2x−6＞16，解得 x＞11.
∵2x+2−(2x−6)＞2x−6−16，解得 x＜15，
∴11＜x＜15.
∵x 为整数，
∴x=12 或 13 或 14.
经检验，x=12,13,14 时都可以构成三角形.
综上所述，x 的整数值为 10 或 12 或 13 或 14.

17. 转化思想 将 $a$ 克糖放入水中,得到 $b$ 克糖水,此时糖水的浓度为$\dfrac{a}{b}(b＞a＞0).$
(1)再往杯中加入 $m \ (m＞0)$ 克糖,生活经验告诉我们糖水变甜了,用数学关系式可以表示为；
(2)请证明(1)中的数学关系式；
(3)在$△ ABC$中,三条边的长度分别为 $a$,$b,c$,证明:$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}＜2.$
精题详解

(1)$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$ 解析：由题意知，加入 m 克糖后糖水浓度为$\frac{a+m}{b+m}$，由糖水变甜可得$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$.
(2)利用作差法比较大小：
$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}=\frac{b(a+m)}{b(b+m)}-\frac{a(b+m)}{b(b+m)}=\frac{bm-am}{b(b+m)}=\frac{m(b-a)}{b(b+m)}$.
∵m＞0,b＞a＞0，
∴b−a＞0,b+m＞0，即$\frac{m(b-a)}{b(b+m)}＞0$，
∴$\frac{a+m}{b+m}-\frac{a}{b}＞0$，即$\frac{a+m}{b+m}＞\frac{a}{b}$.
(3)在△ABC 中，a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b，且 a＞0，b＞0，c＞0，
∴$\frac{a}{b+c}＜1$，$\frac{b}{c+a}＜1$，$\frac{c}{a+b}＜1$.
由糖水不等式可得$\frac{a}{b+c}＜\frac{a+a}{b+c+a}$，$\frac{b}{c+a}＜\frac{b+b}{c+a+b}$，$\frac{c}{b+a}＜\frac{c+c}{a+b+c}$，
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜\frac{a+a}{b+c+a}+\frac{b+b}{c+a+b}+\frac{c+c}{a+b+c}=2$，
∴$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜2$.