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1. (2024·西藏中考)如图,点 C 是线段 AB 的中点,
$AD=BE,∠ A=∠ B$. 求证:$∠ D=∠ E$.
$AD=BE,∠ A=∠ B$. 求证:$∠ D=∠ E$.
答案
∵点 C 是线段 AB 的中点,
∴AC=BC.
在△DAC 和△EBC 中,$\begin{cases} AD=BE, \\ ∠A=∠B, \\ AC=BC, \end{cases}$
∴△DAC≌△EBC(SAS),
∴∠D=∠E.
归纳总结 本题考查了全等三角形的判定与性质,熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键.
2. (2023·乐山中考) 如图,已知 AB 与 CD 相交于点 $O,AC// BD,AO=BO$,求证:$AC=BD$.
答案
∵AC//BD,
∴∠A=∠B,∠C=∠D.
在△AOC 和△BOD 中,$\begin{cases} ∠C=∠D, \\ ∠A=∠B, \\ AO=BO, \end{cases}$
∴△AOC≌△BOD(AAS),
∴AC=BD.
3. (2024·苏州工业园区一中月考) 如图, 在 $△ ABC$ 和 $△ AEF$ 中, 点 $E$ 在 $BC$ 边上, $∠ C=∠ F,AC=AF,∠ CAF=∠ BAE,EF$ 与 $AC$ 交于点 $G$.
(1) 试说明: $△ ABC ≌ △ AEF$;
(2) 若 $∠ B=55°,∠ C=20°$, 求 $∠ EAC$ 的度数.
(1) 试说明: $△ ABC ≌ △ AEF$;
(2) 若 $∠ B=55°,∠ C=20°$, 求 $∠ EAC$ 的度数.
答案
(1)
∵∠CAF=∠BAE,
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC,
即∠BAC=∠EAF.
在△ABC 和△AEF 中,$\begin{cases} ∠C=∠F, \\ AC=AF, \\ ∠BAC=∠EAF, \end{cases}$
∴△ABC≌△AEF(ASA).
(2)
∵∠B=55°,∠C=20°,
∴∠BAC=180°-55°-20°=105°.
∵△ABC≌△AEF,
∴AB=AE,
∴∠B=∠AEB=55°,
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=70°,
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=105°-70°=35°.
∵∠CAF=∠BAE,
∴∠CAF+∠EAC=∠BAE+∠EAC,
即∠BAC=∠EAF.
在△ABC 和△AEF 中,$\begin{cases} ∠C=∠F, \\ AC=AF, \\ ∠BAC=∠EAF, \end{cases}$
∴△ABC≌△AEF(ASA).
(2)
∵∠B=55°,∠C=20°,
∴∠BAC=180°-55°-20°=105°.
∵△ABC≌△AEF,
∴AB=AE,
∴∠B=∠AEB=55°,
∴∠BAE=180°-∠B-∠AEB=70°,
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=105°-70°=35°.
4. 如图,点 $B,C,D,F$ 在一条直线上, $FD=BC$,
$DE=CA,EF=AB$. 求证:$EF// AB$.
$DE=CA,EF=AB$. 求证:$EF// AB$.
答案
在△FDE 和△BCA 中,$\begin{cases} FD=BC, \\ DE=CA, \\ EF=AB, \end{cases}$
∴△FDE≌△BCA(SSS),
∴∠F=∠B,
∴EF//AB.
∴△FDE≌△BCA(SSS),
∴∠F=∠B,
∴EF//AB.
5. (2024·苏州昆山通海实验中学月考)如图,在$△ ABC$中,$AD$平分$∠ BAC,BD=CD$,求证:$AB=AC$.
答案
如图,过点 D 作 DM⊥AB 于点 M,过点 D 作 DN⊥AC 于点 N,
∵AD 平分∠BAC,
∴∠MAD=∠NAD.
在△AMD 与△AND 中,
$\begin{cases} ∠AMD=∠AND, \\ ∠MAD=∠NAD, \\ AD=AD, \end{cases}$
∴△AMD≌△AND(AAS),
∴DM=DN,AM=AN.
在Rt△BDM 和Rt△CDN 中,$\begin{cases} BD=CD, \\ DM=DN, \end{cases}$
∴Rt△BDM≌Rt△CDN(HL),
∴BM=CN,
∴AB=AC.
6. 中考新考法 满足结论的条件开放 如图，$AD,A'D'$分别为钝角三角形$ABC$和钝角三角形$A'B'C'$的边$BC,B'C'$上的高，且$AB=A'B',AD=A'D'$.请你补充一个条件
BC=B'C'
（只需写出一个你认为适当的条件），使得$△ ABC ≌ △ A'B'C'$，并加以证明.答案
答案不唯一,如可添加条件BC=B'C'.证明如下:
∵AD,A'D'分别为边BC,B'C'上的高,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在Rt△ADB 和Rt△A'D'B'中,$\begin{cases} AB=A'B', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴Rt△ADB≌Rt△A'D'B'(HL),
∴∠B=∠B'.
在△ABC 和△A'B'C'中,$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BC=B'C', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
易错警示 本题考查了全等三角形的判定及性质,添加条件时注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等.
∵AD,A'D'分别为边BC,B'C'上的高,
∴∠ADB=∠A'D'B'=90°.
在Rt△ADB 和Rt△A'D'B'中,$\begin{cases} AB=A'B', \\ AD=A'D', \end{cases}$
∴Rt△ADB≌Rt△A'D'B'(HL),
∴∠B=∠B'.
在△ABC 和△A'B'C'中,$\begin{cases} AB=A'B', \\ ∠B=∠B', \\ BC=B'C', \end{cases}$
∴△ABC≌△A'B'C'(SAS).
易错警示 本题考查了全等三角形的判定及性质,添加条件时注意:AAA,SSA不能判定两个三角形全等.
