7. (2024·苏州吴中区期中) 如图,点 D 在 BC 上,AC与 DE 相交于点 $O,∠ 1=∠ 2,AE=AC$,下面三个条件：
①$AB=AD$；②$BC=DE$；③$∠ E=∠ C$.
请你从①②③中选一个条件,使$△ ABC ≌ △ ADE$.
(1)你添加的条件是(填序号)；
(2)添加了条件后,请证明$△ ABC ≌ △ ADE$.

(1)②
(2)
∵∠1=∠2,∠AOE=∠COD,
∴∠E=∠C.
在△ABC 和△ADE 中,$\begin{cases} AC=AE, \\ ∠C=∠E, \\ BC=DE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE(SAS).
知识拓展 本题考查了三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有SSS,SAS,ASA,AAS,HL(直角三角形).

8. 一题多问 （2025·南京联合体期中）如图，在$△ ABC$与$△ ADE$中，点$C$在$DE$上，且$AB=AD$，$AC=AE$，$∠ BAD=∠ CAE$.
(1)求证:$△ ABC ≌ △ ADE$;
(2)点$F$在$BC$上，若$AF=AC$，求证:$△ ABF$$≌ △ ADC$.

(1)
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC,
∴∠BAC=∠DAE.
在△ABC 和△ADE 中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠BAC=∠DAE, \\ AC=AE, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADE(SAS).
(2)
∵△ABC≌△ADE,
∴∠B=∠D,∠E=∠ACF,BC=DE.
由AC=AE,易得∠E=∠ACE.
由AF=AC,易得∠AFC=∠ACF,
∴∠E=∠ACE=∠AFC=∠ACF.
在△AFC 和△AEC 中,$\begin{cases} ∠AFC=∠E, \\ ∠ACF=∠ACE, \\ AC=AC, \end{cases}$
∴△AFC≌△AEC(AAS),
∴CF=CE,
∴BC-CF=DE-CE,
∴BF=CD.
在△ABF 和△ADC 中,$\begin{cases} AB=AD, \\ ∠B=∠D, \\ BF=DC, \end{cases}$
∴△ABF≌△ADC(SAS).

9. 一线三等角模型 如图,在$△ ABC$中,已知$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,点$P$为边$BC$上一动点($BP＜CP$),分别过点$B$,$C$作$BE⊥ AP$于点$E$,
$CF⊥ AP$于点$F$.
(1)求证:$EF=CF-BE$.
(2)若点$P$为$BC$延长线上一点,其他条件不变,则线段$BE$,$CF$,$EF$是否存在某种确定的数量关系?画图并直接写出你的结论.

精题详解

(1)
∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠E=∠CFA=90°,
∴∠FAC+∠ACF=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE 和△CAF 中,$\begin{cases} ∠E=∠CFA, \\ ∠BAE=∠ACF, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AE-AF,
∴EF=CF-BE.
(2)EF=BE+CF.理由如下:
如图,
∵BE⊥AP,CF⊥AP,
∴∠E=∠AFC=90°,
∴∠FAC+∠ACF=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠FAC=90°,
∴∠BAE=∠ACF.
在△ABE 和△CAF 中,
$\begin{cases} ∠E=∠AFC, \\ ∠BAE=∠ACF, \\ AB=CA, \end{cases}$
∴△ABE≌△CAF(AAS),
∴AE=CF,BE=AF.
∵EF=AF+AE,
∴EF=BE+CF.

10. (2025·苏州蠡口中学月考) 如图, 已知 $∠ BAD = ∠ BCD = 90°, AB = AD$, 点 $E$ 在 $CD$ 的延长线上, $∠ BAC = ∠ DAE$.
(1) 如图(1), 求证: $△ ABC ≌ △ ADE$;
(2) 若 $AF$ 为 $△ ABC$ 的 $BC$ 边上的高(如图(2)),求证: $EC = 2AF$.

(1)
∵∠BAD=90°,∠BAC=∠DAE,
∴∠CAE = ∠DAE + ∠CAD = ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD=90°,
∴∠ACE+∠AEC=90°.
∵∠BCD=90°,
∴∠ACB+∠ACE=90°,
∴∠ACB=∠AED.
又AB=AD,
∴△ABC≌△ADE(AAS).
(2)如图,取CE中点G,连接AG,
∵△ABC≌△ADE,
∴AC=AE.
又CG=EG,AG=AG,
∴△AGC≌△AGE(SSS).
∴∠AGE=∠AGC=90°=∠CFA,CE=2CG,
∴∠GCA+∠GAC=90°.
又∠ACF+∠ACG=90°,
∴∠ACF=∠CAG.
∵AC=CA,
∴△ACF≌△CAG(AAS),
∴AF=CG,
∴CE=2AF.