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3.（台州市黄岩区）在一根长为100m的绳子上做记号，先用红笔每隔4m做一个记号，再用蓝笔每隔6m做一个记号，那么两种颜色重叠的记号有（
A.25处
B.9处
C.8处
D.7处
C
）。A.25处
B.9处
C.8处
D.7处
答案
3.C
解析
【分析】要找出两种颜色重叠的记号，需明确：红笔记号在4m的倍数位置，蓝笔记号在6m的倍数位置，重叠位置就是4和6的公倍数位置。解题时先求4和6的最小公倍数，再计算100m内该最小公倍数的倍数数量，即可得到重叠记号的数量。
【解析】1. 求4和6的最小公倍数：4的倍数为4、8、12、16…，6的倍数为6、12、18…，两者的最小公倍数是12；2. 计算100m内12的倍数的个数：100÷12=8……4，即100以内12的倍数有8个，因此两种颜色重叠的记号有8处。
【答案】C
【知识点】最小公倍数的应用
【点评】本题结合实际场景考查最小公倍数的应用，核心是理解重叠记号对应两种间隔的公倍数位置，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】1. 求4和6的最小公倍数：4的倍数为4、8、12、16…，6的倍数为6、12、18…，两者的最小公倍数是12；2. 计算100m内12的倍数的个数：100÷12=8……4，即100以内12的倍数有8个，因此两种颜色重叠的记号有8处。
【答案】C
【知识点】最小公倍数的应用
【点评】本题结合实际场景考查最小公倍数的应用，核心是理解重叠记号对应两种间隔的公倍数位置，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.6
4.(临海市)雷雷去邮局买了80分与1.20元的两种邮票共11枚，一共花了10元，1.20元的邮票买了(
A.3
B.5
C.8
D.11
A
)枚。A.3
B.5
C.8
D.11
答案
4.A
解析
【分析】本题属于鸡兔同笼类应用题，解题时需先统一两种邮票的单位，再通过假设法或一元一次方程求解。核心思路是利用“总价差÷单价差=对应物品数量”的关系，或通过设未知数列方程建立等量关系。
【解析】首先统一单位：80分=0.8元。
方法一（假设法）：假设11枚邮票全是0.8元的，则总花费为0.8×11=8.8元，比实际花费的10元少了10-8.8=1.2元。每把1枚0.8元的邮票换成1.2元的，总花费会增加1.2-0.8=0.4元，因此1.20元邮票的数量为1.2÷0.4=3枚。
方法二（方程法）：设1.20元的邮票买了x枚，则80分的邮票为(11-x)枚，根据总花费列方程：1.2x + 0.8(11-x)=10，展开得1.2x +8.8 -0.8x=10，合并同类项得0.4x=1.2，解得x=3。
【答案】A
【知识点】鸡兔同笼问题、单位换算、一元一次方程应用
【点评】本题考查基础的鸡兔同笼应用题，需注意单位统一的细节，两种解法均为小学阶段常用的解题方法，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】首先统一单位：80分=0.8元。
方法一（假设法）：假设11枚邮票全是0.8元的，则总花费为0.8×11=8.8元，比实际花费的10元少了10-8.8=1.2元。每把1枚0.8元的邮票换成1.2元的，总花费会增加1.2-0.8=0.4元，因此1.20元邮票的数量为1.2÷0.4=3枚。
方法二（方程法）：设1.20元的邮票买了x枚，则80分的邮票为(11-x)枚，根据总花费列方程：1.2x + 0.8(11-x)=10，展开得1.2x +8.8 -0.8x=10，合并同类项得0.4x=1.2，解得x=3。
【答案】A
【知识点】鸡兔同笼问题、单位换算、一元一次方程应用
【点评】本题考查基础的鸡兔同笼应用题，需注意单位统一的细节，两种解法均为小学阶段常用的解题方法，难度适中。
【难度系数】0.6
5.（诸暨市）六(3)班第一组共有15人，其中至少有(
A.1
B.2
C.3
D.13
B
)人的生日是在同一个月的。A.1
B.2
C.3
D.13
答案
5.B
解析
【分析】这道题考查抽屉原理的应用，解题思路是：把一年的12个月看作12个“抽屉”，把15个人看作要放进抽屉的“物品”。用总人数除以月数，得到商和余数，根据抽屉原理，有余数时至少数=商+1，以此计算至少有几人在同一个月过生日。
【解析】一年有12个月，将12个月视为12个抽屉，15个人视为15个元素。计算得15÷12=1（人）……3（人），即平均每个月有1人生日，还剩余3人。剩余的3人无论分配到哪个月，都会使得至少有1+1=2人在同一个月过生日。
【答案】B
【知识点】抽屉原理
【点评】本题是抽屉原理的基础应用题，核心是运用最不利原则解决“至少”类问题，是小学阶段数学的典型应用题型。
【难度系数】0.7
【解析】一年有12个月，将12个月视为12个抽屉，15个人视为15个元素。计算得15÷12=1（人）……3（人），即平均每个月有1人生日，还剩余3人。剩余的3人无论分配到哪个月，都会使得至少有1+1=2人在同一个月过生日。
【答案】B
【知识点】抽屉原理
【点评】本题是抽屉原理的基础应用题，核心是运用最不利原则解决“至少”类问题，是小学阶段数学的典型应用题型。
【难度系数】0.7
6.（温岭市）张阿姨开车去办事，半途中突然发现前方有一只狗在横穿马路，她立即踩下刹车，等到狗安全离开后张阿姨继续开车去办事。右图中的折线是张阿姨开车时的速度变化情况，张阿姨在(
A.8:01
B.8:06
C.8:08
D.8:11
B
)时为躲避那只狗而踩下刹车。A.8:01
B.8:06
C.8:08
D.8:11
答案
6.B
解析
【分析】要判断张阿姨踩刹车的时间，需结合速度-时间折线图的特征：踩刹车时汽车速度会突然下降。观察折线图，速度从60km/h开始下降的时间点为8:06，对应选项即可得出答案。
【解析】观察速度变化折线图，当踩下刹车时，汽车速度会降低。从图中可见，速度在8:06时从60km/h开始下降，说明此时张阿姨踩下刹车。
【答案】B
【知识点】速度-时间图像、行程问题
【点评】本题通过速度变化图像考查对行程中速度变化的理解，核心是识别刹车时速度下降的时间点，属于基础的图像分析题，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】观察速度变化折线图，当踩下刹车时，汽车速度会降低。从图中可见，速度在8:06时从60km/h开始下降，说明此时张阿姨踩下刹车。
【答案】B
【知识点】速度-时间图像、行程问题
【点评】本题通过速度变化图像考查对行程中速度变化的理解，核心是识别刹车时速度下降的时间点，属于基础的图像分析题，难度较低。
【难度系数】0.3
三、操作题
1.（湖州市）桌面上平放着一个边长为2dm的等边三角形ABC，现将这个三角形按如图所示的方式紧贴着桌面进行滚动，滚动到位置⑤时停止。
(1)从位置①滚动到位置②，线段AC绕点(
(2)在整个滚动过程中，顶点(
(3)借助工具，在图中画出点B在整个滚动过程中经过的路线。
(4)在整个滚动过程中，点A经过的路线长(
1.（湖州市）桌面上平放着一个边长为2dm的等边三角形ABC，现将这个三角形按如图所示的方式紧贴着桌面进行滚动，滚动到位置⑤时停止。
(1)从位置①滚动到位置②，线段AC绕点(
C
)旋转了(120
)°。(2)在整个滚动过程中，顶点(
C
)经过的路线最短。(3)借助工具，在图中画出点B在整个滚动过程中经过的路线。
(4)在整个滚动过程中，点A经过的路线长(
12.56
)dm。答案
1.(1)C 120 (2)C (3)略 (4)12.56
解析
【分析】
本题围绕等边三角形滚动的几何问题展开，需结合旋转的性质、弧长公式及等边三角形的特征解题。对于(1)，需确定线段AC旋转的中心和角度；对于(2)，要分别计算三个顶点滚动过程中的总路线长度，比较得出最短的；对于(3)，根据滚动的旋转中心和角度绘制点B的路线；对于(4)，利用弧长公式计算点A的总路线长。
【解析】
(1) 观察位置①到②的滚动，等边三角形以点C为旋转中心转动，等边三角形内角为60°，滚动时的旋转角为180°-60°=120°，因此线段AC绕点C旋转了120°。
(2) 设等边三角形边长为2dm，每次旋转角度为120°，弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（n为旋转角度，r为半径）。分别计算顶点A、B、C的总路线长度：顶点C在滚动过程中参与旋转的次数最少，总弧长最短，故顶点C经过的路线最短。
(3) 点B的路线绘制：依次确定每次滚动的旋转中心，按120°的旋转角画出对应的圆弧，连接各圆弧即可。
(4) 点A每次旋转的弧长为$\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$，整个滚动过程中点A共旋转3次，总路线长为$3×\frac{4π}{3}=4π\approx12.56$dm。
【答案】
(1)C，120；(2)C；(3)略；(4)12.56
【知识点】
旋转的性质，弧长的计算，等边三角形的性质
【点评】
本题考查等边三角形滚动中的旋转与弧长计算，需明确旋转要素，关键是分析各顶点的旋转次数，难度中等。
【难度系数】
0.4
本题围绕等边三角形滚动的几何问题展开，需结合旋转的性质、弧长公式及等边三角形的特征解题。对于(1)，需确定线段AC旋转的中心和角度；对于(2)，要分别计算三个顶点滚动过程中的总路线长度，比较得出最短的；对于(3)，根据滚动的旋转中心和角度绘制点B的路线；对于(4)，利用弧长公式计算点A的总路线长。
【解析】
(1) 观察位置①到②的滚动，等边三角形以点C为旋转中心转动，等边三角形内角为60°，滚动时的旋转角为180°-60°=120°，因此线段AC绕点C旋转了120°。
(2) 设等边三角形边长为2dm，每次旋转角度为120°，弧长公式为$l=\frac{nπ r}{180}$（n为旋转角度，r为半径）。分别计算顶点A、B、C的总路线长度：顶点C在滚动过程中参与旋转的次数最少，总弧长最短，故顶点C经过的路线最短。
(3) 点B的路线绘制：依次确定每次滚动的旋转中心，按120°的旋转角画出对应的圆弧，连接各圆弧即可。
(4) 点A每次旋转的弧长为$\frac{120π×2}{180}=\frac{4π}{3}$，整个滚动过程中点A共旋转3次，总路线长为$3×\frac{4π}{3}=4π\approx12.56$dm。
【答案】
(1)C，120；(2)C；(3)略；(4)12.56
【知识点】
旋转的性质，弧长的计算，等边三角形的性质
【点评】
本题考查等边三角形滚动中的旋转与弧长计算，需明确旋转要素，关键是分析各顶点的旋转次数，难度中等。
【难度系数】
0.4
2. (德清县)如图,图中每个小正方形的边长表示1cm。
(1)梯形的面积是(
(2)请画一个与梯形面积相等的平行四边形。
(3)画出把梯形按$2:1$放大后的图形。
(4)放大后的梯形面积与原梯形的面积之比是(
(1)梯形的面积是(
6
)$\mathrm{cm}^2$。(2)请画一个与梯形面积相等的平行四边形。
(3)画出把梯形按$2:1$放大后的图形。
(4)放大后的梯形面积与原梯形的面积之比是(
$4:1$
)。答案
2.(1)6 (2)略 (3)略 (4)$4:1$
解析
【分析】
本题需分四小问解决：(1)计算梯形面积，需先确定梯形的上底、下底和高，再用梯形面积公式计算；(2)画面积相等的平行四边形，利用平行四边形面积公式确定底和高即可；(3)按2:1放大梯形，需将梯形各边长度扩大为原来的2倍后绘制；(4)求放大前后面积比，可通过计算面积或利用相似图形面积比是边长比的平方得出。
【解析】
(1) 观察图形，梯形的上底为2cm，下底为4cm，高为2cm。根据梯形面积公式：$ S=(a+b)h÷2 $，代入得：$ (2+4)×2÷2=6(cm²) $。
(2) 平行四边形面积公式为$ S=底×高 $，要使其面积为6cm²，可取底3cm、高2cm，画出符合该条件的平行四边形即可。
(3) 按2:1放大梯形，即原梯形各边长度扩大为原来的2倍：上底变为$ 2×2=4cm $，下底变为$ 4×2=8cm $，高变为$ 2×2=4cm $，根据放大后的各边长度，对应顶点连接画出图形。
(4) 方法一：放大后梯形面积为$ (4+8)×4÷2=24(cm²) $，面积比为$ 24:6=4:1 $；方法二：图形放大比例为2:1，相似图形面积比是边长比的平方，即$ 2²:1²=4:1 $。
【答案】
(1)6；(2)略；(3)略；(4)$ 4:1 $
【知识点】
梯形面积、平行四边形面积、图形的放大与缩小、比的应用
【点评】
本题综合考查了平面图形面积计算、图形放大的性质及比例应用，知识点基础，需掌握公式和比例规律，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题需分四小问解决：(1)计算梯形面积，需先确定梯形的上底、下底和高，再用梯形面积公式计算；(2)画面积相等的平行四边形，利用平行四边形面积公式确定底和高即可；(3)按2:1放大梯形，需将梯形各边长度扩大为原来的2倍后绘制；(4)求放大前后面积比，可通过计算面积或利用相似图形面积比是边长比的平方得出。
【解析】
(1) 观察图形，梯形的上底为2cm，下底为4cm，高为2cm。根据梯形面积公式：$ S=(a+b)h÷2 $，代入得：$ (2+4)×2÷2=6(cm²) $。
(2) 平行四边形面积公式为$ S=底×高 $，要使其面积为6cm²，可取底3cm、高2cm，画出符合该条件的平行四边形即可。
(3) 按2:1放大梯形，即原梯形各边长度扩大为原来的2倍：上底变为$ 2×2=4cm $，下底变为$ 4×2=8cm $，高变为$ 2×2=4cm $，根据放大后的各边长度，对应顶点连接画出图形。
(4) 方法一：放大后梯形面积为$ (4+8)×4÷2=24(cm²) $，面积比为$ 24:6=4:1 $；方法二：图形放大比例为2:1，相似图形面积比是边长比的平方，即$ 2²:1²=4:1 $。
【答案】
(1)6；(2)略；(3)略；(4)$ 4:1 $
【知识点】
梯形面积、平行四边形面积、图形的放大与缩小、比的应用
【点评】
本题综合考查了平面图形面积计算、图形放大的性质及比例应用，知识点基础，需掌握公式和比例规律，难度适中。
【难度系数】
0.6
1. (江山市)学校为艺术节选送节目，要从3个合唱节目中选出2个，2个舞蹈节目中选出1个。一共有多少种选送方案？（文字描述、画图、列表格或计算均可）
答案
1.$3×2=6$(种)
解析
【分析】
要解决这个选送方案的计数问题，需分两步完成：第一步从3个合唱节目中选出2个，第二步从2个舞蹈节目中选出1个。根据分步计数原理，完成一件事分多个步骤时，总方法数是各步骤方法数的乘积，因此先分别计算两步的选法数，再相乘即可得到总方案数。
【解析】
第一步：计算从3个合唱节目中选2个的选法，共有3种不同的选法；
第二步：计算从2个舞蹈节目中选1个的选法，共有2种不同的选法；
根据分步乘法计数原理，总选送方案数为：3×2=6（种）。
【答案】
6种
【知识点】
组合的应用、分步乘法计数原理
【点评】
本题是基础的计数应用题，通过分步计数原理即可快速求解，考查学生对简单组合计数方法的掌握，属于排列组合的入门题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
要解决这个选送方案的计数问题，需分两步完成：第一步从3个合唱节目中选出2个，第二步从2个舞蹈节目中选出1个。根据分步计数原理，完成一件事分多个步骤时，总方法数是各步骤方法数的乘积，因此先分别计算两步的选法数，再相乘即可得到总方案数。
【解析】
第一步：计算从3个合唱节目中选2个的选法，共有3种不同的选法；
第二步：计算从2个舞蹈节目中选1个的选法，共有2种不同的选法；
根据分步乘法计数原理，总选送方案数为：3×2=6（种）。
【答案】
6种
【知识点】
组合的应用、分步乘法计数原理
【点评】
本题是基础的计数应用题，通过分步计数原理即可快速求解，考查学生对简单组合计数方法的掌握，属于排列组合的入门题型，难度较低。
【难度系数】
0.7
