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9.（杭州市拱墅区）一副扑克牌共有54张，去掉大、小王后还有52张（其中方块、红桃、梅花、黑桃四种花色各13张），从这52张牌中一次至少要摸出(
9
)张，才能保证其中有3张是不同的点数。答案
9.9
解析
【分析】
本题考查抽屉原理的应用，需用最不利原则解题。要保证摸出的牌中有3张不同点数，需先考虑最坏的情况：尽可能多地摸牌，但只摸到两种不同的点数，此时再摸1张就必然出现第三种不同点数，据此计算最少摸牌数。
【解析】
解：根据最不利原则，最坏的情况是先摸出两种不同点数的所有牌，每种点数对应4张牌（四种花色），则两种点数共摸出 $4 × 2 = 8$ 张。此时再摸1张，必然是第三种不同的点数，因此至少要摸出 $8 + 1 = 9$ 张。
【答案】
9
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题核心是运用最不利原则解决抽屉问题，关键是找到“最不利”的极端情况，考查逻辑推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
本题考查抽屉原理的应用，需用最不利原则解题。要保证摸出的牌中有3张不同点数，需先考虑最坏的情况：尽可能多地摸牌，但只摸到两种不同的点数，此时再摸1张就必然出现第三种不同点数，据此计算最少摸牌数。
【解析】
解：根据最不利原则，最坏的情况是先摸出两种不同点数的所有牌，每种点数对应4张牌（四种花色），则两种点数共摸出 $4 × 2 = 8$ 张。此时再摸1张，必然是第三种不同的点数，因此至少要摸出 $8 + 1 = 9$ 张。
【答案】
9
【知识点】
抽屉原理
【点评】
本题核心是运用最不利原则解决抽屉问题，关键是找到“最不利”的极端情况，考查逻辑推理能力，难度适中。
【难度系数】
0.5
10.(平湖市)观察下面左侧的三个方框，找到其中的规律。
根据规律，在第四个方框中，$A=(\quad),B=(\quad)$。
根据规律，在第四个方框中，$A=(\quad),B=(\quad)$。
答案
10.5 54
解析
【分析】
要解决这个问题，需先观察前三个方框中四个数的位置关系，分别推导左下数A和左上数B的规律：
1. 先分析左下数：前三个方框的左下数与右上数存在固定关联，可先找到A的计算逻辑；
2. 再分析左上数：结合前三个方框的左上数，验证其与右上、左下、右下数的运算规律，进而计算B的值。
【解析】
步骤1：求A的值
观察前三个方框的左下数与右上数的关系：
第一个方框：右上是1，左下是2，满足2=1+1；
第二个方框：右上是2，左下是3，满足3=2+1；
第三个方框：右上是3，左下是4，满足4=3+1；
可得规律：左下数=右上数+1。
第四个方框的右上是4，因此A=4+1=5。
步骤2：求B的值
观察前三个方框左上数的运算规律：
第一个方框：左上9=(右上1 + 右下3)×左下2 + 右上1=(1+3)×2 +1=9；
第二个方框：左上20=(右上2 + 右下4)×左下3 + 右上2=(2+4)×3 +2=20；
第三个方框：左上35=(右上3 + 右下5)×左下4 + 右上3=(3+5)×4 +3=35；
可得规律：左上数=(右上数+右下数)×左下数 + 右上数。
第四个方框中，右上=4，右下=6，左下A=5，因此B=(4+6)×5 +4=10×5 +4=54。
【答案】
5 54
【知识点】
找规律，数字运算
【点评】
本题需通过观察前三个方框的数字关联，推导得出运算规律，重点考查数字规律的分析与应用能力，是典型的数字规律类题目。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，需先观察前三个方框中四个数的位置关系，分别推导左下数A和左上数B的规律：
1. 先分析左下数：前三个方框的左下数与右上数存在固定关联，可先找到A的计算逻辑；
2. 再分析左上数：结合前三个方框的左上数，验证其与右上、左下、右下数的运算规律，进而计算B的值。
【解析】
步骤1：求A的值
观察前三个方框的左下数与右上数的关系：
第一个方框：右上是1，左下是2，满足2=1+1；
第二个方框：右上是2，左下是3，满足3=2+1；
第三个方框：右上是3，左下是4，满足4=3+1；
可得规律：左下数=右上数+1。
第四个方框的右上是4，因此A=4+1=5。
步骤2：求B的值
观察前三个方框左上数的运算规律：
第一个方框：左上9=(右上1 + 右下3)×左下2 + 右上1=(1+3)×2 +1=9；
第二个方框：左上20=(右上2 + 右下4)×左下3 + 右上2=(2+4)×3 +2=20；
第三个方框：左上35=(右上3 + 右下5)×左下4 + 右上3=(3+5)×4 +3=35；
可得规律：左上数=(右上数+右下数)×左下数 + 右上数。
第四个方框中，右上=4，右下=6，左下A=5，因此B=(4+6)×5 +4=10×5 +4=54。
【答案】
5 54
【知识点】
找规律，数字运算
【点评】
本题需通过观察前三个方框的数字关联，推导得出运算规律，重点考查数字规律的分析与应用能力，是典型的数字规律类题目。
【难度系数】
0.5
11.（诸暨市）甲、乙、丙、丁来自三个不同的城市，有上海、杭州、天津。已知甲是天津人，丙不是上海人，乙和丁是同一地方的人，则丙是(
杭州
)人，丁是(上海
)人。答案
11.杭州 上海
解析
【分析】首先梳理题目条件：甲、乙、丙、丁四人来自上海、杭州、天津三个城市，已知甲是天津人，丙不是上海人，乙和丁是同一地方，且四人来自三个不同城市（每个城市至少1人）。第一步，甲确定为天津人，因此天津仅甲1人，剩余乙、丙、丁只能来自上海、杭州；第二步，乙和丁同属一个城市，该城市有2人，丙对应另一城市；第三步，结合丙不是上海人的条件，即可推导结果。
【解析】1. 由甲是天津人，可知天津仅甲，乙、丙、丁来自上海、杭州；2. 因乙和丁同地，故乙、丁占1个城市，丙占另1个城市；3. 又丙不是上海人，所以丙是杭州人；4. 剩余乙、丁对应上海人。
【答案】杭州 上海
【知识点】逻辑推理
【点评】本题为基础逻辑推理题，通过逐步梳理条件、排除确定人员归属，关键利用“乙丁同地”和“三个城市”的限制推导，难度较低。
【难度系数】0.5
【解析】1. 由甲是天津人，可知天津仅甲，乙、丙、丁来自上海、杭州；2. 因乙和丁同地，故乙、丁占1个城市，丙占另1个城市；3. 又丙不是上海人，所以丙是杭州人；4. 剩余乙、丁对应上海人。
【答案】杭州 上海
【知识点】逻辑推理
【点评】本题为基础逻辑推理题，通过逐步梳理条件、排除确定人员归属，关键利用“乙丁同地”和“三个城市”的限制推导，难度较低。
【难度系数】0.5
12.(绍兴市上虞区)用若干个棱长为2cm的小正方体拼长方体：
按这种方法继续拼下去：
(1)第1个长方体的表面积是(
(2)第9个长方体由(
(3)如果拼成的长方体的表面积是$280\ \mathrm{cm}^2$，那么这个长方体排在第(
(4)第$n$个长方体的表面积是(
按这种方法继续拼下去：
(1)第1个长方体的表面积是(
40
)$\mathrm{cm}^2$。(2)第9个长方体由(
10
)个小正方体拼成，它的表面积是(168
)$\mathrm{cm}^2$。(3)如果拼成的长方体的表面积是$280\ \mathrm{cm}^2$，那么这个长方体排在第(
16
)个。(4)第$n$个长方体的表面积是(
$16n+24$
)$\mathrm{cm}^2$。(用含字母$n$的式子表示)答案
12.(1)40 (2)10 168 (3)16 (4)$16n+24$
解析
【分析】
首先观察图形规律：第1个长方体由2个小正方体拼成，第2个由3个，第3个由4个，可推出第k个长方体的小正方体个数为$(k+1)$个；结合小正方体棱长为2cm，先计算单个面面积，再利用长方体表面积公式推导第n个长方体的表面积规律，依次解决各小问：(1)代入$n=1$计算表面积；(2)先求第9个的小正方体个数，再代入表面积公式；(3)令表面积等于280，解方程求n；(4)推导第n个的表面积表达式。
【解析】
小正方体棱长为2cm，单个面面积：$2×2=4(cm^2)$。
观察规律：第k个长方体的小正方体个数为$k+1$个，其长为$2(k+1)cm$，宽和高均为2cm。根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入得：
$S=2[2(k+1)×2 + 2(k+1)×2 + 2×2] = 2[8(k+1)+4] = 16k+24(cm^2)$。
(1) 当$k=1$时，表面积$=16×1+24=40(cm^2)$；
(2) 第9个长方体的小正方体个数：$9+1=10$个，表面积$=16×9+24=168(cm^2)$；
(3) 令$16n+24=280$，解得$16n=256$，$n=16$；
(4) 第n个长方体的表面积为$16n+24(cm^2)$。
【答案】
(1)40；(2)10，168；(3)16；(4)$16n+24$
【知识点】
长方体表面积、规律探究、代数式表示
【点评】
本题通过图形变化规律推导长方体表面积，关键是找到第n个长方体的小正方体数量及长宽高，进而归纳表面积公式，考查观察归纳与代数运算能力。
【难度系数】
0.3
首先观察图形规律：第1个长方体由2个小正方体拼成，第2个由3个，第3个由4个，可推出第k个长方体的小正方体个数为$(k+1)$个；结合小正方体棱长为2cm，先计算单个面面积，再利用长方体表面积公式推导第n个长方体的表面积规律，依次解决各小问：(1)代入$n=1$计算表面积；(2)先求第9个的小正方体个数，再代入表面积公式；(3)令表面积等于280，解方程求n；(4)推导第n个的表面积表达式。
【解析】
小正方体棱长为2cm，单个面面积：$2×2=4(cm^2)$。
观察规律：第k个长方体的小正方体个数为$k+1$个，其长为$2(k+1)cm$，宽和高均为2cm。根据长方体表面积公式$S=2(ab+ah+bh)$，代入得：
$S=2[2(k+1)×2 + 2(k+1)×2 + 2×2] = 2[8(k+1)+4] = 16k+24(cm^2)$。
(1) 当$k=1$时，表面积$=16×1+24=40(cm^2)$；
(2) 第9个长方体的小正方体个数：$9+1=10$个，表面积$=16×9+24=168(cm^2)$；
(3) 令$16n+24=280$，解得$16n=256$，$n=16$；
(4) 第n个长方体的表面积为$16n+24(cm^2)$。
【答案】
(1)40；(2)10，168；(3)16；(4)$16n+24$
【知识点】
长方体表面积、规律探究、代数式表示
【点评】
本题通过图形变化规律推导长方体表面积，关键是找到第n个长方体的小正方体数量及长宽高，进而归纳表面积公式，考查观察归纳与代数运算能力。
【难度系数】
0.3
13.(象山县)观察思考,并填空:
$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},\dots$
(1)分母是9的分数一共有(
(2)在分母是15的分数中,$\frac{7}{15}$是第(
(3)在整列分数中,$\frac{6}{7}$是第(
(4)在整列分数中,第100个分数是(
$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{3}{3},\frac{2}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\frac{2}{4},\frac{3}{4},\frac{4}{4},\frac{3}{4},\frac{2}{4},\frac{1}{4},\dots$
(1)分母是9的分数一共有(
17
)个。(2)在分母是15的分数中,$\frac{7}{15}$是第(
7
)个和第(23
)个。(3)在整列分数中,$\frac{6}{7}$是第(
42
)个分数和第(44
)个分数。(4)在整列分数中,第100个分数是(
$\frac{1}{10}$
)。答案
13.(1)17 (2)7 23 (3)42 44 (4)$\frac{1}{10}$
解析
【分析】
首先观察数列的排列规律：分母为$n$的分数共有$2n-1$个，且分母从1到$k$的所有分数总个数为$k^2$（等差数列求和：$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$）；每个分母$n$的分数排列为：先按分子从小到大（$1→n$），再按分子从大到小（$n-1→1$），因此分数$\frac{a}{n}$（$a≠n$）在该组内出现2次，$\frac{n}{n}$仅出现1次。解题时利用上述规律逐一计算各问题。
【解析】
（1）分母为$n$的分数个数公式为$2n-1$，当$n=9$时，代入得：$2×9 -1=17$；
（2）分母是15的分数组中，$\frac{7}{15}$第一次出现在前半段第7个，第二次出现在后半段，后半段位置为$15 + (15-7)=23$，故答案为7、23；
（3）分母1到6的总个数为$6^2=36$，$\frac{6}{7}$第一次在整列中是$36+6=42$，第二次是$36 + (7 + (7-6))=44$；
（4）接近100的平方数为$10^2=100$，分母10的分数组最后一个是第100个，排列中分母10的最后一个分数是$\frac{1}{10}$。
【答案】
(1)17 (2)7 23 (3)42 44 (4)$\frac{1}{10}$
【知识点】
找规律，数列排列
【点评】
本题是典型的数列规律题，核心是发现分母与分数个数、总个数的平方关系，需仔细观察数列特征，利用规律快速计算，难度中等。
【难度系数】
0.5
首先观察数列的排列规律：分母为$n$的分数共有$2n-1$个，且分母从1到$k$的所有分数总个数为$k^2$（等差数列求和：$1+3+5+\dots+(2k-1)=k^2$）；每个分母$n$的分数排列为：先按分子从小到大（$1→n$），再按分子从大到小（$n-1→1$），因此分数$\frac{a}{n}$（$a≠n$）在该组内出现2次，$\frac{n}{n}$仅出现1次。解题时利用上述规律逐一计算各问题。
【解析】
（1）分母为$n$的分数个数公式为$2n-1$，当$n=9$时，代入得：$2×9 -1=17$；
（2）分母是15的分数组中，$\frac{7}{15}$第一次出现在前半段第7个，第二次出现在后半段，后半段位置为$15 + (15-7)=23$，故答案为7、23；
（3）分母1到6的总个数为$6^2=36$，$\frac{6}{7}$第一次在整列中是$36+6=42$，第二次是$36 + (7 + (7-6))=44$；
（4）接近100的平方数为$10^2=100$，分母10的分数组最后一个是第100个，排列中分母10的最后一个分数是$\frac{1}{10}$。
【答案】
(1)17 (2)7 23 (3)42 44 (4)$\frac{1}{10}$
【知识点】
找规律，数列排列
【点评】
本题是典型的数列规律题，核心是发现分母与分数个数、总个数的平方关系，需仔细观察数列特征，利用规律快速计算，难度中等。
【难度系数】
0.5
1.(宁波市镇海区)在爱心捐赠活动中,笑笑共捐了67元钱,全是纸币,这些纸币至少有(
A.3
B.4
C.5
D.6
C
)张。A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1.C
解析
【分析】要使纸币张数最少，需优先选用当前流通的最大面额人民币纸币，逐步计算剩余金额，确保总金额为67元，同时结合现行人民币面额（不含已退出流通的2元纸币），通过优化选择减少总张数。
【解析】要让纸币张数最少，应优先选大面额纸币：
1. 先选最大面额50元，1张，剩余金额：67 - 50 = 17元；
2. 剩余17元选10元面额，1张，剩余金额：17 - 10 = 7元；
3. 剩余7元选5元面额，1张，剩余金额：7 - 5 = 2元；
4. 剩余2元需用1元纸币，共需2张；
总张数：1+1+1+2=5张，对应选项C。
【答案】C
【知识点】人民币的认识、优化问题
【点评】本题结合生活场景考查人民币的实际应用，核心是通过“优先选大面额”的优化思路解决问题，贴近生活，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】要让纸币张数最少，应优先选大面额纸币：
1. 先选最大面额50元，1张，剩余金额：67 - 50 = 17元；
2. 剩余17元选10元面额，1张，剩余金额：17 - 10 = 7元；
3. 剩余7元选5元面额，1张，剩余金额：7 - 5 = 2元；
4. 剩余2元需用1元纸币，共需2张；
总张数：1+1+1+2=5张，对应选项C。
【答案】C
【知识点】人民币的认识、优化问题
【点评】本题结合生活场景考查人民币的实际应用，核心是通过“优先选大面额”的优化思路解决问题，贴近生活，难度适中。
【难度系数】0.5
2.(杭州市上城区)环保小组收集塑料瓶,从4月到7月的预期目标是收集10000个。从4月到7月为止,实际每月收集的数量见下表:
小芳估算收集到的塑料瓶总个数:$2000+2000+3000+3000=10000$。由此,可以得出(
A.实际数$＞$预期数,达成目标
B.实际数$＜$预期数,达成目标
C.实际数$＞$预期数,未达成目标
D.实际数$＜$预期数,未达成目标
小芳估算收集到的塑料瓶总个数:$2000+2000+3000+3000=10000$。由此,可以得出(
D
)。A.实际数$＞$预期数,达成目标
B.实际数$＜$预期数,达成目标
C.实际数$＞$预期数,未达成目标
D.实际数$＜$预期数,未达成目标
答案
2.D
解析
【分析】
要解决这道题，需先明确小芳的估算方法是将每月收集数量近似为整千数，再对比实际数与估算数的大小，进而判断实际总和与预期目标的关系。具体步骤：1. 对比每月实际收集数和小芳估算的整千数，确定实际数与估算数的大小；2. 推导四个月实际总和的范围，与预期10000个比较；3. 结合比较结果选择正确选项。
【解析】
小芳把4月的1891估算为2000，5月的1982估算为2000，6月的2903估算为3000，7月的2473估算为3000，估算总和为$2000+2000+3000+3000=10000$。但实际每月收集的数量都小于对应的估算整千数：$1891＜2000$，$1982＜2000$，$2903＜3000$，$2473＜3000$，因此四个月实际收集的总个数一定小于估算的10000，而预期目标是10000个，所以实际数＜预期数，未达成目标，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
估算的应用、数的大小比较
【点评】
本题结合实际收集塑料瓶的问题，考查估算在判断数值大小中的应用，关键在于分析估算值与实际值的偏差，避免仅根据估算结果直接判断，需要学生细心对比每个数据的估算情况，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需先明确小芳的估算方法是将每月收集数量近似为整千数，再对比实际数与估算数的大小，进而判断实际总和与预期目标的关系。具体步骤：1. 对比每月实际收集数和小芳估算的整千数，确定实际数与估算数的大小；2. 推导四个月实际总和的范围，与预期10000个比较；3. 结合比较结果选择正确选项。
【解析】
小芳把4月的1891估算为2000，5月的1982估算为2000，6月的2903估算为3000，7月的2473估算为3000，估算总和为$2000+2000+3000+3000=10000$。但实际每月收集的数量都小于对应的估算整千数：$1891＜2000$，$1982＜2000$，$2903＜3000$，$2473＜3000$，因此四个月实际收集的总个数一定小于估算的10000，而预期目标是10000个，所以实际数＜预期数，未达成目标，对应选项D。
【答案】
D
【知识点】
估算的应用、数的大小比较
【点评】
本题结合实际收集塑料瓶的问题，考查估算在判断数值大小中的应用，关键在于分析估算值与实际值的偏差，避免仅根据估算结果直接判断，需要学生细心对比每个数据的估算情况，难度适中。
【难度系数】
0.5
