5.图形计算。(每题2分,共4分)
(1)已知梯形ABCD(如图)的上底CD长2 cm,下底AB长4 cm,∠ABC=90°,∠BAD=45°。求这个梯形的面积。

(2)将这个梯形ABCD绕线段AB所在的直线旋转一周,求旋转一周后得到的图形的体积。(π取3)

5.(1)$(2+4)×2÷2=6(\mathrm{cm}^2)$ (2)$2^2×3×2+\frac{1}{3}×2^2×3×2=32(\mathrm{cm}^3)$

【分析】
第(1)题：该图形是直角梯形，需先求出梯形的高。过D作AB的垂线，结合∠BAD=45°可得到等腰直角三角形，利用AB与CD的长度差算出高，再用梯形面积公式计算。第(2)题：绕AB旋转后，图形由圆柱和同底的圆锥组成，需确定两者的底面半径和高，分别计算体积后求和。
【解析】
(1) 过点D作DE⊥AB于E，因为∠ABC=90°，CD//AB，所以四边形DEBC是矩形，得EB=CD=2cm，DE=BC。则AE=AB - EB=4-2=2cm。在Rt△ADE中，∠BAD=45°，故△ADE是等腰直角三角形，DE=AE=2cm，即梯形的高为2cm。根据梯形面积公式：
$S=(上底+下底)×高÷2=(2+4)×2÷2=6(\mathrm{cm}^2)$。
(2) 梯形绕AB旋转一周，得到的组合体中，圆柱的底面半径$r=CD=2\mathrm{cm}$，高$h_1=BC=2\mathrm{cm}$；圆锥的底面半径$r=2\mathrm{cm}$，高$h_2=AB - CD=4-2=2\mathrm{cm}$。根据圆柱体积公式$V=π r^2h$和圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}π r^2h$：
圆柱体积$V_1=3×2^2×2=24(\mathrm{cm}^3)$，
圆锥体积$V_2=\frac{1}{3}×3×2^2×2=8(\mathrm{cm}^3)$，
总体积$V=V_1+V_2=24+8=32(\mathrm{cm}^3)$。
【答案】
(1)$6\mathrm{cm}^2$；(2)$32\mathrm{cm}^3$
【知识点】
梯形面积计算、旋转体体积、圆柱圆锥体积
【点评】
本题结合直角梯形性质考查面积与旋转体体积计算，关键是通过辅助线确定梯形的高，明确旋转后图形的组成，需掌握等腰直角三角形和圆柱圆锥体积公式。
【难度系数】
0.5

三、综合应用(第9题4分,其余每题3分,共28分)
1.在某次比赛中,有120人获奖,其中三等奖占50%,二等奖的数量是一等奖的3倍。有多少人获得了一等奖?

1. $120×(1-50\%)÷(3+1)=15$(人)

【分析】
要解决这个问题，首先需要根据扇形统计图的信息，算出一等奖和二等奖的总人数；再利用二等奖与一等奖的倍数关系，通过和倍问题的思路求出一等奖的人数。具体步骤：先求出一、二等奖的总占比，结合总人数得到两者的总数量；再把一等奖人数看作1份，二等奖是3份，总份数为4份，用一、二等奖总数量除以总份数，即可得到一等奖人数。
【解析】
1. 计算一、二等奖的总人数：
已知总获奖人数为120人，三等奖占50%，则一、二等奖占总人数的比例为 $1 - 50\% = 50\%$，
因此一、二等奖总人数为：$120×50\% = 60$（人）。
2. 计算一等奖人数：
因为二等奖人数是一等奖的3倍，将一等奖人数看作1份，二等奖人数为3份，总份数为 $3 + 1 = 4$ 份，
所以一等奖人数为：$60÷4 = 15$（人）。
【答案】
15人
【知识点】
百分数应用、和倍问题、扇形统计图
【点评】
本题结合扇形统计图考查百分数与和倍问题的综合应用，解题核心是先确定一、二等奖的总数量，再通过倍数关系拆分份数计算，属于基础应用题，需要学生掌握百分数的计算和和倍问题的解题思路。
【难度系数】
0.5

2.已知三角形ABC和梯形DEFG的面积相等,高也相等。梯形的下底DE=3 cm,那么它的上底是多少厘米？

2. $4.8-3=1.8(\mathrm{cm})$

【分析】
要解决该问题，需结合三角形和梯形的面积公式，利用“两者面积相等、高相等”的条件推导梯形上底长度。先通过三角形面积公式算出面积，再根据梯形面积与三角形面积相等，代入公式变形求出上底。
【解析】
1. 三角形面积公式：$ S_{△} = \frac{1}{2} × 底 × 高 $，已知三角形ABC的底$ AB=4.8\mathrm{cm} $，高$ AC=3.2\mathrm{cm} $，因此面积为：
$ S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 4.8 × 3.2 $
2. 梯形面积公式：$ S_{梯形} = \frac{1}{2} × (上底 + 下底) × 高 $，已知梯形DEFG的高为$ 3.2\mathrm{cm} $，下底$ DE=3\mathrm{cm} $，且$ S_{梯形}=S_{△ ABC} $，高相等，等式两边可同时约去$ \frac{1}{2} × 3.2 $，得到：
$ 上底 + 3 = 4.8 $
3. 计算上底：$ 上底 = 4.8 - 3 = 1.8(\mathrm{cm}) $
【答案】
1.8 cm
【知识点】
三角形面积计算、梯形面积计算
【点评】
本题核心是利用“面积相等、高相等”简化公式应用，关键在于理解等式变形后上底与三角形底的关系，属于基础几何应用题，注重公式的灵活运用。
【难度系数】
0.5

3.中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天,萧山的黑夜时间比白昼时间少40%,这一天,萧山的黑夜时间和白昼时间分别是多少小时?(用方程解答)

3. 设白昼时间为$x(\mathrm{h})$,则黑夜时间为$(1-40\%)x(\mathrm{h})$。
$x+(1-40\%)x=24$ $x=15$ 黑夜时间:$24-15=9(\mathrm{h})$

【分析】
要解决这个问题，首先明确一天总时长为24小时，白昼时间与黑夜时间之和等于24小时。题目中“黑夜时间比白昼时间少40%”，这里把白昼时间看作单位“1”，设白昼时间为$x$小时，则黑夜时间为白昼时间的$(1-40\%)$，再根据“白昼时间+黑夜时间=24小时”的等量关系列方程求解，最后算出黑夜时间。
【解析】
设白昼时间为$x$小时，则黑夜时间为$(1-40\%)x$小时。
根据一天总时长列方程：
$x + (1 - 40\%)x = 24$
化简得：$1.6x = 24$
解得：$x = 15$
黑夜时间为：$24 - 15 = 9$（小时）
【答案】
白昼时间是15小时，黑夜时间是9小时。
【知识点】
列方程解应用题；百分数的应用
【点评】
本题是百分数应用与方程结合的基础应用题，核心是找准单位“1”，利用一天总时长建立等量关系，用方程解答思路清晰，是常见的实际问题类型。
【难度系数】
0.7

4.某小学2024年一年级新生有360人,比2023年增加了$\frac{1}{4}$,这所小学2023年一年级新生有多少人?

4. $360÷(1+\frac{1}{4})=288$(人)

【分析】首先确定本题的单位“1”是2023年一年级新生人数，题目中2024年比2023年增加了$\frac{1}{4}$，意味着2024年的人数是2023年的$(1+\frac{1}{4})$倍。已知2024年新生有360人，要求单位“1”对应的量，根据分数除法的意义，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，因此用2024年的人数除以其对应的分率即可求出2023年的新生人数。
【解析】把2023年一年级新生人数看作单位“1”，2024年人数对应的分率为$1+\frac{1}{4}$，已知2024年人数为360人，因此2023年一年级新生人数为：
$360÷(1+\frac{1}{4})=360÷\frac{5}{4}=360×\frac{4}{5}=288$（人）
【答案】288人
【知识点】分数除法应用题、单位“1”的确定
【点评】本题是分数应用题的基础题型，核心是准确判断单位“1”，已知比单位“1”多几分之几的量求单位“1”，需用除法计算，是小学阶段分数应用题的重点内容，学生需熟练掌握此类题型的解题逻辑。
【难度系数】0.7