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15.若二元一次方程组的解$\begin{cases}x=a, \\ y=b\end{cases}$满足$a=2b$或$b=2a$，则称该方程组为“二倍解方程组”。已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+y=m+1, \\ x-y=2m-7\end{cases}$是“二倍解方程组”，则$m$的值为 ______ 。
答案
15.4或3 【解析】解关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+y=m+1, \\ x-y=2m-7,\end{cases}$得$\begin{cases}x=m-2, \\ y=5-m,\end{cases}$ 因为关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2x+y=m+1 \\ x-y=2m-7\end{cases}$是“二倍解方程组”,所以$m-2=2(5-m)$或$5-m=2(m-2)$,解得$m=4$或$m=3$。
解析
【分析】首先，我们需要先解给定的二元一次方程组，用含m的代数式表示出x和y的值；再根据“二倍解方程组”的定义，即解满足x=2y或y=2x，分两种情况代入x、y的表达式，得到关于m的一元一次方程，求解即可得到m的值。
【解析】解方程组$\begin{cases}2x+y=m+1 \\ x-y=2m-7\end{cases}$，
将两个方程相加，得：$3x = 3m -6$，解得$x = m -2$；
把$x = m -2$代入$x - y = 2m -7$，得：$m -2 - y =2m -7$，
移项得：$-y = m -5$，解得$y=5 -m$。
因为该方程组是“二倍解方程组”，所以分两种情况：
①当$x=2y$时，$m -2 =2(5 -m)$，
去括号得：$m -2 =10 -2m$，
移项合并同类项得：$3m=12$，解得$m=4$；
②当$y=2x$时，$5 -m=2(m -2)$，
去括号得：$5 -m=2m -4$，
移项合并同类项得：$3m=9$，解得$m=3$。
综上，m的值为4或3。
【答案】4或3
【知识点】二元一次方程组的解，新定义运算
【点评】本题属于新定义题型，核心是掌握二元一次方程组的解法，再结合新定义分情况讨论求解，考查学生的运算能力和对新定义的理解能力，难度适中。
【难度系数】0.5
【解析】解方程组$\begin{cases}2x+y=m+1 \\ x-y=2m-7\end{cases}$，
将两个方程相加，得：$3x = 3m -6$，解得$x = m -2$；
把$x = m -2$代入$x - y = 2m -7$，得：$m -2 - y =2m -7$，
移项得：$-y = m -5$，解得$y=5 -m$。
因为该方程组是“二倍解方程组”，所以分两种情况：
①当$x=2y$时，$m -2 =2(5 -m)$，
去括号得：$m -2 =10 -2m$，
移项合并同类项得：$3m=12$，解得$m=4$；
②当$y=2x$时，$5 -m=2(m -2)$，
去括号得：$5 -m=2m -4$，
移项合并同类项得：$3m=9$，解得$m=3$。
综上，m的值为4或3。
【答案】4或3
【知识点】二元一次方程组的解，新定义运算
【点评】本题属于新定义题型，核心是掌握二元一次方程组的解法，再结合新定义分情况讨论求解，考查学生的运算能力和对新定义的理解能力，难度适中。
【难度系数】0.5
16. 将边长分别为$ m,n(m＞n) $的两个正方形按如图所示方式摆放，其中点$ B,C,E $在同一条直线上，点$ G $在$ CD $上，记阴影部分面积为$ S $。若$ m+n=10,m^2+n^2=54 $，则$ S^2 $的值为
200
。答案
16.200 【解析】因为$m+n=10,m^2+n^2=54$,而$(m+n)^2=m^2+n^2+2mn$,所以$100=54+2mn$。所以$mn=23$。又因为$(m-n)^2=(m+n)^2-4mn=100-92=8$,$m＞n＞0$,所以$m-n=2\sqrt{2}$。 所以$S=S_{梯形ADFG}=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{2}=10\sqrt{2}$。所以$S^2=(10\sqrt{2})^2=200$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确阴影部分的面积表达式：观察图形可知阴影部分为梯形ADFG，根据梯形面积公式，需确定梯形的上底、下底和高；再结合已知的$ m+n $和$ m^2+n^2 $，利用完全平方公式变形求出$ mn $和$ m-n $的值，进而计算阴影面积$ S $，最终求得$ S^2 $。
【解析】
1. 利用完全平方公式求$ mn $的值：
已知$ m+n=10 $，$ m^2+n^2=54 $，根据完全平方公式$ (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 $，代入得：
$ 10^2=54 + 2mn $，即$ 100=54+2mn $，解得$ mn=23 $。
2. 求$ m-n $的值：
根据完全平方公式变形，$ (m-n)^2=(m+n)^2 -4mn $，代入已知值：
$ (m-n)^2=10^2 -4×23=100-92=8 $，因为$ m＞n＞0 $，所以$ m-n=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $。
3. 计算阴影部分面积$ S $：
阴影部分为梯形ADFG，其面积公式为$ S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高 $，其中上底$ GF=n $，下底$ AD=m $，高$ DG=m-n $，因此：
$ S=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{2}=10\sqrt{2} $。
4. 计算$ S^2 $：
$ S^2=(10\sqrt{2})^2=100×2=200 $。
【答案】
200
【知识点】
完全平方公式，梯形面积公式，代数式求值
【点评】
本题综合考查完全平方公式的灵活运用、梯形面积的计算，解题关键是先推导阴影部分的面积表达式，再通过公式变形求出所需的代数式的值，属于代数与几何结合的基础题型，需要学生熟练掌握公式变形能力。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需明确阴影部分的面积表达式：观察图形可知阴影部分为梯形ADFG，根据梯形面积公式，需确定梯形的上底、下底和高；再结合已知的$ m+n $和$ m^2+n^2 $，利用完全平方公式变形求出$ mn $和$ m-n $的值，进而计算阴影面积$ S $，最终求得$ S^2 $。
【解析】
1. 利用完全平方公式求$ mn $的值：
已知$ m+n=10 $，$ m^2+n^2=54 $，根据完全平方公式$ (m+n)^2=m^2+2mn+n^2 $，代入得：
$ 10^2=54 + 2mn $，即$ 100=54+2mn $，解得$ mn=23 $。
2. 求$ m-n $的值：
根据完全平方公式变形，$ (m-n)^2=(m+n)^2 -4mn $，代入已知值：
$ (m-n)^2=10^2 -4×23=100-92=8 $，因为$ m＞n＞0 $，所以$ m-n=\sqrt{8}=2\sqrt{2} $。
3. 计算阴影部分面积$ S $：
阴影部分为梯形ADFG，其面积公式为$ S=\frac{1}{2}×(上底+下底)×高 $，其中上底$ GF=n $，下底$ AD=m $，高$ DG=m-n $，因此：
$ S=\frac{1}{2}(m+n)(m-n)=\frac{1}{2}×10×2\sqrt{2}=10\sqrt{2} $。
4. 计算$ S^2 $：
$ S^2=(10\sqrt{2})^2=100×2=200 $。
【答案】
200
【知识点】
完全平方公式，梯形面积公式，代数式求值
【点评】
本题综合考查完全平方公式的灵活运用、梯形面积的计算，解题关键是先推导阴影部分的面积表达式，再通过公式变形求出所需的代数式的值，属于代数与几何结合的基础题型，需要学生熟练掌握公式变形能力。
【难度系数】
0.5
17.(8分)计算:
(1)$(π - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$2020×2030 - 2025^2$。
(1)$(π - 2)^0 + (\dfrac{1}{3})^{-1}$。
(2)$2020×2030 - 2025^2$。
答案
17.(1)原式=4。 (2)原式=-25。
解析
【分析】
本题包含两小问，第(1)问考查零指数幂与负整数指数幂的运算，需先回忆对应运算法则，分别计算两项后求和；第(2)问可通过变形将式子转化为平方差公式的形式，简化计算。
第(1)问思路：根据“非零数的0次幂为1”计算$(π - 2)^0$，根据“负整数指数幂等于正指数幂的倒数”计算$(\frac{1}{3})^{-1}$，再将结果相加；
第(2)问思路：观察到2020=2025-5，2030=2025+5，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开，再与$2025^2$相减，抵消后得到结果。
【解析】
(1) 计算零指数幂和负整数指数幂：
∵ $π - 2≠0$，
∴ $(π - 2)^0 = 1$；
根据负整数指数幂运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，得$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^1}=3$；
∴ 原式$=1 + 3 = 4$。
(2) 对原式变形，利用平方差公式：
原式$=(2025 - 5)(2025 + 5) - 2025^2$
根据平方差公式展开得：
$=2025^2 - 5^2 - 2025^2$
化简计算：
$=2025^2 - 25 - 2025^2$
$=-25$。
【答案】
(1) 4；(2) -25
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础运算题，考查幂的运算法则和平方差公式的应用，需牢记相关规则并灵活变形简化计算，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
本题包含两小问，第(1)问考查零指数幂与负整数指数幂的运算，需先回忆对应运算法则，分别计算两项后求和；第(2)问可通过变形将式子转化为平方差公式的形式，简化计算。
第(1)问思路：根据“非零数的0次幂为1”计算$(π - 2)^0$，根据“负整数指数幂等于正指数幂的倒数”计算$(\frac{1}{3})^{-1}$，再将结果相加；
第(2)问思路：观察到2020=2025-5，2030=2025+5，利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$展开，再与$2025^2$相减，抵消后得到结果。
【解析】
(1) 计算零指数幂和负整数指数幂：
∵ $π - 2≠0$，
∴ $(π - 2)^0 = 1$；
根据负整数指数幂运算法则：$a^{-p}=\frac{1}{a^p}(a≠0,p为正整数)$，得$(\frac{1}{3})^{-1}=\frac{1}{(\frac{1}{3})^1}=3$；
∴ 原式$=1 + 3 = 4$。
(2) 对原式变形，利用平方差公式：
原式$=(2025 - 5)(2025 + 5) - 2025^2$
根据平方差公式展开得：
$=2025^2 - 5^2 - 2025^2$
化简计算：
$=2025^2 - 25 - 2025^2$
$=-25$。
【答案】
(1) 4；(2) -25
【知识点】
零指数幂、负整数指数幂、平方差公式
【点评】
本题为基础运算题，考查幂的运算法则和平方差公式的应用，需牢记相关规则并灵活变形简化计算，适合初中学生巩固基础。
【难度系数】
0.7
18.(8分)因式分解:
(1)$x^2 - 2x$。
(2)$a^2 - 2ab + b^2 - 9$。
(1)$x^2 - 2x$。
(2)$a^2 - 2ab + b^2 - 9$。
答案
18.(1)原式=$x(x-2)$。 (2)原式=$(a-b+3)(a-b-3)$。
解析
【分析】
因式分解需根据多项式的结构特征选择合适的方法：第(1)题是两项式，各项含公因式，优先用提公因式法；第(2)题是四项式，前三项符合完全平方公式，先分组用完全平方公式变形，再结合平方差公式分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 原式$x^2 - 2x$的两项公因式为$x$，提取公因式得：
原式$= x(x - 2)$；
(2) 原式前三项$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式，变形为$(a - b)^2$，此时原式变为$(a - b)^2 - 9$，符合平方差公式，分解得：
原式$=(a - b + 3)(a - b - 3)$。
【答案】
(1)$x(x-2)$；(2)$(a-b+3)(a-b-3)$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题为基础因式分解题，考察因式分解的核心方法，要求学生熟练掌握公式结构，分解彻底，难度适中。
【难度系数】
0.7
因式分解需根据多项式的结构特征选择合适的方法：第(1)题是两项式，各项含公因式，优先用提公因式法；第(2)题是四项式，前三项符合完全平方公式，先分组用完全平方公式变形，再结合平方差公式分解，确保分解彻底。
【解析】
(1) 原式$x^2 - 2x$的两项公因式为$x$，提取公因式得：
原式$= x(x - 2)$；
(2) 原式前三项$a^2 - 2ab + b^2$符合完全平方公式，变形为$(a - b)^2$，此时原式变为$(a - b)^2 - 9$，符合平方差公式，分解得：
原式$=(a - b + 3)(a - b - 3)$。
【答案】
(1)$x(x-2)$；(2)$(a-b+3)(a-b-3)$
【知识点】
提公因式法、完全平方公式、平方差公式
【点评】
本题为基础因式分解题，考察因式分解的核心方法，要求学生熟练掌握公式结构，分解彻底，难度适中。
【难度系数】
0.7
19.(8分)某校为加强学生的安全意识,提高自我防护能力,组织全体学生开展“安全知识”竞赛活动,从中随机抽取部分学生的成绩(满分100分)进行统计,并将成绩(记为$x$)分为$\mathrm{A}(90 ≤ x ≤ 100)$,$\mathrm{B}(80 ≤ x ＜ 90)$,$\mathrm{C}(70 ≤ x ＜ 80)$,$\mathrm{D}(60 ≤ x ＜ 70)$,$\mathrm{E}(50 ≤ x ＜ 60)$五个等级。下图给出两幅不完整的成绩统计图。
请根据以上信息,解答下列问题:
(1)求本次调查的样本容量和扇形统计图中圆心角$α$的度数,并补全频数直方图。
(2)学校将对竞赛成绩低于70分的学生举办安全教育讲座,请估计该校1000名学生中需参加讲座的人数。
答案
19.(1)本次调查的样本容量为$80÷40\%=200$,扇形统计图中圆心角$α$的度数为$360°×\frac{35}{200}=63°$,$B$组频数为$200×30\%=60$,补全频数直方图如图所示。
(2)$1000×\frac{10+15}{200}=125$(人),所以估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为125人。
解析
【分析】
要解决本题，首先需结合频数直方图和扇形统计图的信息，利用“样本容量=某组频数÷该组百分比”求出样本容量；再根据“扇形圆心角=360°×该组占比”计算圆心角α；接着算出B组频数补全直方图；最后用样本中成绩低于70分的占比，估计全校对应人数。
【解析】
(1) 已知A组（90≤x≤100）的频数为80，占样本的40%，因此样本容量为：$80÷40\%=200$；
C组（70≤x＜80）的频数为35，扇形统计图中圆心角α的度数为：$360°×\frac{35}{200}=63°$；
B组（80≤x＜90）占样本的30%，其频数为：$200×30\%=60$，据此补全频数直方图（B组对应高度为60）。
(2) 成绩低于70分的是E组（50≤x＜60，频数10）和D组（60≤x＜70，频数15），两组总频数为$10+15=25$，占样本的比例为$\frac{25}{200}$；
估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为：$1000×\frac{25}{200}=125$（人）。
【答案】
19.(1)本次调查的样本容量为200，扇形统计图中圆心角α的度数为63°，B组频数为60，补全频数直方图如图所示。
(2)估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为125人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是利用两个统计图的关联信息计算样本容量、圆心角等，再通过样本估计总体，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，首先需结合频数直方图和扇形统计图的信息，利用“样本容量=某组频数÷该组百分比”求出样本容量；再根据“扇形圆心角=360°×该组占比”计算圆心角α；接着算出B组频数补全直方图；最后用样本中成绩低于70分的占比，估计全校对应人数。
【解析】
(1) 已知A组（90≤x≤100）的频数为80，占样本的40%，因此样本容量为：$80÷40\%=200$；
C组（70≤x＜80）的频数为35，扇形统计图中圆心角α的度数为：$360°×\frac{35}{200}=63°$；
B组（80≤x＜90）占样本的30%，其频数为：$200×30\%=60$，据此补全频数直方图（B组对应高度为60）。
(2) 成绩低于70分的是E组（50≤x＜60，频数10）和D组（60≤x＜70，频数15），两组总频数为$10+15=25$，占样本的比例为$\frac{25}{200}$；
估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为：$1000×\frac{25}{200}=125$（人）。
【答案】
19.(1)本次调查的样本容量为200，扇形统计图中圆心角α的度数为63°，B组频数为60，补全频数直方图如图所示。
(2)估计该校1000名学生中需参加讲座的人数为125人。
【知识点】
频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体
【点评】
本题考查统计图表的综合应用，核心是利用两个统计图的关联信息计算样本容量、圆心角等，再通过样本估计总体，属于基础统计应用题。
【难度系数】
0.5
