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7.若关于$x$的分式方程$\dfrac{x+a}{x-1}-1=\dfrac{3}{x}$有增根,则实数$a$的值为 (
A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
B
)A.$-2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
答案
7.B
解析
【分析】
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题思路为：①先确定原分式方程的最简公分母，进而得到增根的可能值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，求解参数a的值。
【解析】
原分式方程为$\dfrac{x+a}{x-1}-1=\dfrac{3}{x}$，
1. 确定最简公分母：$x(x-1)$，因为方程有增根，所以最简公分母为0，即$x(x-1)=0$，解得增根可能为$x=0$或$x=1$；
2. 去分母，两边同乘$x(x-1)$得：
$x(x+a) - x(x-1) = 3(x-1)$，
展开并整理整式方程：
$x^2 + ax - x^2 + x = 3x - 3$，
化简得：$ax + x = 3x - 3$，
移项合并同类项：$x(a - 2) = -3$；
3. 代入增根验证：
若$x=0$，代入得$0 = -3$，不成立，故$x=0$不是增根；
若$x=1$，代入得$1×(a - 2) = -3$，解得$a = -1$；
综上，$a$的值为$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的核心概念，解题关键是先确定增根的可能值，再转化整式方程代入求解，属于分式方程的基础题型，需熟练掌握增根的判断方法。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程有增根求参数的问题，需明确增根的定义：增根是分式方程去分母后转化的整式方程的根，但会使原分式方程的分母为0。解题思路为：①先确定原分式方程的最简公分母，进而得到增根的可能值；②将分式方程去分母转化为整式方程；③把增根代入整式方程，求解参数a的值。
【解析】
原分式方程为$\dfrac{x+a}{x-1}-1=\dfrac{3}{x}$，
1. 确定最简公分母：$x(x-1)$，因为方程有增根，所以最简公分母为0，即$x(x-1)=0$，解得增根可能为$x=0$或$x=1$；
2. 去分母，两边同乘$x(x-1)$得：
$x(x+a) - x(x-1) = 3(x-1)$，
展开并整理整式方程：
$x^2 + ax - x^2 + x = 3x - 3$，
化简得：$ax + x = 3x - 3$，
移项合并同类项：$x(a - 2) = -3$；
3. 代入增根验证：
若$x=0$，代入得$0 = -3$，不成立，故$x=0$不是增根；
若$x=1$，代入得$1×(a - 2) = -3$，解得$a = -1$；
综上，$a$的值为$-1$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
分式方程的增根，解分式方程
【点评】
本题考查分式方程增根的核心概念，解题关键是先确定增根的可能值，再转化整式方程代入求解，属于分式方程的基础题型，需熟练掌握增根的判断方法。
【难度系数】
0.5
8. 某工程队铺设一段长为600m的管道，实际施工时每天铺设管道的长度。设原计划每天铺设管道$x$m，可得方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$。根据此情境，题中用“”表示的缺失条件为(
A.比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务
B.比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务
C.比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务
D.比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务
A
)A.比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务
B.比原计划增加了50%，结果推迟4天完成任务
C.比原计划减少了50%，结果提前4天完成任务
D.比原计划减少了50%，结果推迟4天完成任务
答案
8.A
解析
【分析】要确定题中缺失的条件，需先理解分式方程各部分的实际意义：$\frac{600}{x}$表示原计划铺设管道的总天数，$\frac{600}{1.5x}$表示实际每天铺设长度为$1.5x$时的总天数；方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$说明原计划总天数比实际总天数多4天，即实际施工提前4天完成任务；而实际每天铺设长度是$1.5x$，比原计划的$x$增加了50%，结合选项即可选出正确答案。
【解析】设原计划每天铺设管道$x$m，则实际每天铺设长度为$1.5x$m，实际每天铺设长度比原计划增加的比例为$\frac{1.5x - x}{x} × 100\% = 50\%$。再分析方程：$\frac{600}{x}$是原计划完成任务的天数，$\frac{600}{1.5x}$是实际完成任务的天数，方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$表示原计划天数比实际天数多4天，即实际施工提前4天完成任务。综上，缺失的条件为“比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务”，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式方程的应用、工程问题
【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用，核心是理解工作时间、工作效率、工作总量的关系，通过方程结构判断实际施工的变化情况，属于基础应用题，需明确各量的实际意义即可解题。
【难度系数】0.5
【解析】设原计划每天铺设管道$x$m，则实际每天铺设长度为$1.5x$m，实际每天铺设长度比原计划增加的比例为$\frac{1.5x - x}{x} × 100\% = 50\%$。再分析方程：$\frac{600}{x}$是原计划完成任务的天数，$\frac{600}{1.5x}$是实际完成任务的天数，方程$\frac{600}{x}=\frac{600}{1.5x}+4$表示原计划天数比实际天数多4天，即实际施工提前4天完成任务。综上，缺失的条件为“比原计划增加了50%，结果提前4天完成任务”，对应选项A。
【答案】A
【知识点】分式方程的应用、工程问题
【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用，核心是理解工作时间、工作效率、工作总量的关系，通过方程结构判断实际施工的变化情况，属于基础应用题，需明确各量的实际意义即可解题。
【难度系数】0.5
9. 甲、乙两班同学对最喜欢的球类运动进行投票，每人从“篮球”“足球”“乒乓球”中选择一项，结果如图所示。下列说法中，正确的是(
A.甲班最喜欢篮球的人数一定比乙班多
B.若甲、乙两班最喜欢乒乓球的人数相同，则乙班总人数多
C.若甲、乙两班最喜欢足球的人数分别为12和14，则乙班的总人数较多
D.若甲班人数为50人，乙班人数为60人，则甲班最喜欢篮球的人数较多
D
)A.甲班最喜欢篮球的人数一定比乙班多
B.若甲、乙两班最喜欢乒乓球的人数相同，则乙班总人数多
C.若甲、乙两班最喜欢足球的人数分别为12和14，则乙班的总人数较多
D.若甲班人数为50人，乙班人数为60人，则甲班最喜欢篮球的人数较多
答案
9.D 【解析】A.因为两个班的总人数不知道,所以甲、乙两个班最喜欢篮球的人数是无法比较的,故不符合题意。B.若甲、乙两班最喜欢乒乓球的人数相同,则甲班总人数多,故不符合题意。C.若甲、乙两班最喜欢足球的人数分别为12人和14人,则甲班总人数为12÷30%=40(人),乙班总人数为14÷35%=40(人),故不符合题意。D.若甲班人数为50人,乙班人数为60人,则甲班最喜欢篮球的人数为50×40%=20(人),乙班最喜欢篮球的人数为60×30%=18(人),故符合题意。故选D。
解析
【分析】
本题考查扇形统计图的应用，解题时需明确扇形统计图中各部分百分比是对应班级总人数的占比，需结合总人数才能计算具体人数，逐一分析每个选项的条件，判断说法是否正确。
【解析】
A选项：甲班最喜欢篮球的人数=甲班总人数×40%，乙班最喜欢篮球的人数=乙班总人数×30%，题目未给出两班总人数，无法比较具体人数，故A错误；
B选项：设两班最喜欢乒乓球的人数为x，甲班总人数为$x÷30\%$，乙班总人数为$x÷35\%$，因为30%＜35%，所以$x÷30\% ＞ x÷35\%$，即甲班总人数更多，故B错误；
C选项：甲班总人数为$12÷30\%=40$人，乙班总人数为$14÷35\%=40$人，两班总人数相同，故C错误；
D选项：甲班最喜欢篮球的人数为$50×40\%=20$人，乙班最喜欢篮球的人数为$60×30\%=18$人，20＞18，甲班最喜欢篮球的人数更多，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
扇形统计图、百分比计算
【点评】
本题结合扇形统计图考查百分比的实际应用，核心是理解百分比的相对意义，计算具体数量时需对应各自班级总人数，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题考查扇形统计图的应用，解题时需明确扇形统计图中各部分百分比是对应班级总人数的占比，需结合总人数才能计算具体人数，逐一分析每个选项的条件，判断说法是否正确。
【解析】
A选项：甲班最喜欢篮球的人数=甲班总人数×40%，乙班最喜欢篮球的人数=乙班总人数×30%，题目未给出两班总人数，无法比较具体人数，故A错误；
B选项：设两班最喜欢乒乓球的人数为x，甲班总人数为$x÷30\%$，乙班总人数为$x÷35\%$，因为30%＜35%，所以$x÷30\% ＞ x÷35\%$，即甲班总人数更多，故B错误；
C选项：甲班总人数为$12÷30\%=40$人，乙班总人数为$14÷35\%=40$人，两班总人数相同，故C错误；
D选项：甲班最喜欢篮球的人数为$50×40\%=20$人，乙班最喜欢篮球的人数为$60×30\%=18$人，20＞18，甲班最喜欢篮球的人数更多，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
扇形统计图、百分比计算
【点评】
本题结合扇形统计图考查百分比的实际应用，核心是理解百分比的相对意义，计算具体数量时需对应各自班级总人数，属于基础应用类题目，难度适中。
【难度系数】
0.6
10.若$ 5^{a} · 3^{b} = 2025 $，则代数式$ \frac{1}{2a} + \frac{1}{b} $的值是(
A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{5} $
A
)A.$ \frac{1}{2} $
B.$ \frac{1}{3} $
C.$ \frac{1}{4} $
D.$ \frac{1}{5} $
答案
10.A 【解析】因为$5^a·3^b=2025=45^2=5^2×3^4$,所以$a=2,b=4$。所以$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2×2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$。故选A。
解析
【分析】要解决本题，需先将等式右边的2025转化为以5和3为底数的幂的乘积形式，利用幂的运算性质分解2025，对应求出a、b的值，再将a、b代入所求代数式计算即可。
【解析】因为2025=45²=(5×9)²=(5×3²)²，根据积的乘方与幂的乘方运算性质，可得(5×3²)²=5²×(3²)²=5²×3⁴，所以5ᵃ·3ᵇ=5²×3⁴，对比等式两边同底数幂的指数，得a=2，b=4。将a=2，b=4代入代数式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}$，计算得：$\frac{1}{2×2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，故选A。
【答案】A
【知识点】幂的乘方与积的乘方、代数式求值
【点评】本题考查幂的运算性质及代数式求值，解题关键是将常数2025分解为5和3的幂的乘积，进而确定参数值，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7
【解析】因为2025=45²=(5×9)²=(5×3²)²，根据积的乘方与幂的乘方运算性质，可得(5×3²)²=5²×(3²)²=5²×3⁴，所以5ᵃ·3ᵇ=5²×3⁴，对比等式两边同底数幂的指数，得a=2，b=4。将a=2，b=4代入代数式$\frac{1}{2a}+\frac{1}{b}$，计算得：$\frac{1}{2×2}+\frac{1}{4}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$，故选A。
【答案】A
【知识点】幂的乘方与积的乘方、代数式求值
【点评】本题考查幂的运算性质及代数式求值，解题关键是将常数2025分解为5和3的幂的乘积，进而确定参数值，整体难度较低，属于基础题型。
【难度系数】0.7
11.若分式$\dfrac{x - 1}{x - 2}$的值为0,则实数$x$的值为
1
。答案
11.1
解析
【分析】
要解决分式的值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件需同时满足，缺一不可。因此先令分子为0求出可能的x值，再代入分母检验是否不为0，最终确定符合条件的x。
【解析】
根据分式值为0的条件：
1. 令分子为0：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 检验分母：当$x = 1$时，分母$x - 2 = 1 - 2 = -1 ≠ 0$，满足分母不为0的条件。
综上，实数$x$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的值为0的条件
【点评】
本题考查分式值为0的基础知识点，核心是牢记“分子为0且分母不为0”的双重条件，属于易得分的基础题，需避免忽略分母不为0的易错点。
【难度系数】
0.8
要解决分式的值为0的问题，需明确分式值为0的两个必要条件：①分子等于0；②分母不等于0，两个条件需同时满足，缺一不可。因此先令分子为0求出可能的x值，再代入分母检验是否不为0，最终确定符合条件的x。
【解析】
根据分式值为0的条件：
1. 令分子为0：$x - 1 = 0$，解得$x = 1$；
2. 检验分母：当$x = 1$时，分母$x - 2 = 1 - 2 = -1 ≠ 0$，满足分母不为0的条件。
综上，实数$x$的值为1。
【答案】
1
【知识点】
分式的值为0的条件
【点评】
本题考查分式值为0的基础知识点，核心是牢记“分子为0且分母不为0”的双重条件，属于易得分的基础题，需避免忽略分母不为0的易错点。
【难度系数】
0.8
12.已知某班学生的血型情况统计如下表。若A型血有12人,则O型血有
16
人。答案
12.16
解析
【分析】
要解决这个问题，需利用频率的性质和频数与频率的关系：首先，所有组的频率之和为1，可据此算出O型血的频率；再根据A型血的人数和频率求出班级总人数；最后用总人数乘以O型血的频率，即可得到O型血的人数。
【解析】
1. 计算O型血的频率：因为各组频率之和为1，所以O型血的频率 = $1 - 0.3 - 0.2 - 0.1 = 0.4$；
2. 计算班级总人数：已知A型血有12人，频率为0.3，总人数 = $12 ÷ 0.3 = 40$（人）；
3. 计算O型血人数：O型血人数 = 总人数 × O型血频率 = $40 × 0.4 = 16$（人）。
【答案】
16
【知识点】
频率与频数、统计初步
【点评】
本题考查频率的基本性质和频数的计算，核心是利用“各组频率和为1”求出未知频率，再结合频数与频率的关系解题，属于基础统计类题目，难度较低。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，需利用频率的性质和频数与频率的关系：首先，所有组的频率之和为1，可据此算出O型血的频率；再根据A型血的人数和频率求出班级总人数；最后用总人数乘以O型血的频率，即可得到O型血的人数。
【解析】
1. 计算O型血的频率：因为各组频率之和为1，所以O型血的频率 = $1 - 0.3 - 0.2 - 0.1 = 0.4$；
2. 计算班级总人数：已知A型血有12人，频率为0.3，总人数 = $12 ÷ 0.3 = 40$（人）；
3. 计算O型血人数：O型血人数 = 总人数 × O型血频率 = $40 × 0.4 = 16$（人）。
【答案】
16
【知识点】
频率与频数、统计初步
【点评】
本题考查频率的基本性质和频数的计算，核心是利用“各组频率和为1”求出未知频率，再结合频数与频率的关系解题，属于基础统计类题目，难度较低。
【难度系数】
0.3
13. 如图,直线AB,CD相交于点O,OE⊥AB于点O。若∠1=20°,则∠2的度数为
70°
。答案
13.70°
解析
【分析】
要计算∠2的度数，首先根据OE⊥AB的垂直关系求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等的性质即可得到∠2的度数。具体步骤：1. 由垂直定义确定∠AOE为90°；2. 结合∠1的度数算出∠AOC；3. 根据对顶角相等得出∠2的度数。
【解析】
∵ OE⊥AB（已知），
∴ ∠AOE = 90°（垂直的定义：两条直线互相垂直，夹角为90°）。
又
∵ ∠1 = 20°（已知），
∴ ∠AOC = ∠AOE - ∠1 = 90° - 20° = 70°。
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠2与∠AOC是对顶角，
∴ ∠2 = ∠AOC = 70°（对顶角相等）。
【答案】
70°
【知识点】
垂直的定义；对顶角相等
【点评】
本题考查垂直的定义和对顶角的性质，属于基础几何计算题，解题关键是利用垂直关系和对顶角的性质进行角度转换，难度较低，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
要计算∠2的度数，首先根据OE⊥AB的垂直关系求出∠AOC的度数，再利用对顶角相等的性质即可得到∠2的度数。具体步骤：1. 由垂直定义确定∠AOE为90°；2. 结合∠1的度数算出∠AOC；3. 根据对顶角相等得出∠2的度数。
【解析】
∵ OE⊥AB（已知），
∴ ∠AOE = 90°（垂直的定义：两条直线互相垂直，夹角为90°）。
又
∵ ∠1 = 20°（已知），
∴ ∠AOC = ∠AOE - ∠1 = 90° - 20° = 70°。
∵ 直线AB、CD相交于点O，
∴ ∠2与∠AOC是对顶角，
∴ ∠2 = ∠AOC = 70°（对顶角相等）。
【答案】
70°
【知识点】
垂直的定义；对顶角相等
【点评】
本题考查垂直的定义和对顶角的性质，属于基础几何计算题，解题关键是利用垂直关系和对顶角的性质进行角度转换，难度较低，是常见的基础题型。
【难度系数】
0.8
14. 如图,将三角形ABC沿边AC的方向平移到三角形DEF的位置,若点B与点E的距离为5,AF=16,则CD的长为
6
。答案
14.6
解析
【分析】
要解决本题，需利用平移的核心性质：图形平移后，对应点所连的线段长度相等。本题中△ABC沿AC方向平移到△DEF，对应点A→D、B→E、C→F，因此AD=BE=CF。结合线段AF由AD、DC、CF三段组成，已知BE和AF的长度，通过线段和差关系即可求出CD的长度。
【解析】
根据平移的性质，△ABC平移得到△DEF，对应点连线相等，即AD=BE=CF。
已知BE=5，所以AD=CF=5。
又因为AF=AD + DC + CF，且AF=16，代入得：
16 = 5 + DC + 5
解得：DC = 16 - 5 -5 =6。
【答案】
6
【知识点】
平移的性质，线段和差计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用，关键是掌握平移后对应点连线相等的性质，再结合线段和差关系计算，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用平移的核心性质：图形平移后，对应点所连的线段长度相等。本题中△ABC沿AC方向平移到△DEF，对应点A→D、B→E、C→F，因此AD=BE=CF。结合线段AF由AD、DC、CF三段组成，已知BE和AF的长度，通过线段和差关系即可求出CD的长度。
【解析】
根据平移的性质，△ABC平移得到△DEF，对应点连线相等，即AD=BE=CF。
已知BE=5，所以AD=CF=5。
又因为AF=AD + DC + CF，且AF=16，代入得：
16 = 5 + DC + 5
解得：DC = 16 - 5 -5 =6。
【答案】
6
【知识点】
平移的性质，线段和差计算
【点评】
本题是平移性质的基础应用，关键是掌握平移后对应点连线相等的性质，再结合线段和差关系计算，属于常规基础题，难度适中。
【难度系数】
0.5
