登录
20.(8分)解下列方程(组)：
(1)$\begin{cases} x - y = 3, \\ 3x + 2y = 4。 \end{cases}$
(2)$\frac{x}{x + 1}$-$\frac{3}{x - 1}=1$。
(1)$\begin{cases} x - y = 3, \\ 3x + 2y = 4。 \end{cases}$
(2)$\frac{x}{x + 1}$-$\frac{3}{x - 1}=1$。
答案
20.(1)$\begin{cases} x=2, \\ y=-1。 \end{cases}$ (2)$x=-\frac{1}{2}$。
解析
【分析】
第(1)题是二元一次方程组，可通过加减消元或代入消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；第(2)题是分式方程，需先去分母转化为整式方程，求解后必须检验，确保分母不为0。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases} x - y = 3 \quad ① \\ 3x + 2y = 4 \quad ② \end{cases}$
将①×2，得 $2x - 2y = 6 \quad ③$
② + ③，得 $5x = 10$，解得 $x = 2$
把 $x = 2$ 代入①，得 $2 - y = 3$，解得 $y = -1$
所以方程组的解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$
(2) 解分式方程：
$\frac{x}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} = 1$
两边同乘最简公分母 $(x + 1)(x - 1)$，去分母得：
$x(x - 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 1)$
展开并整理：
$x^2 - x - 3x - 3 = x^2 - 1$
$-4x - 3 = -1$
$-4x = 2$
解得 $x = -\frac{1}{2}$
检验：当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，$(x + 1)(x - 1) = \frac{1}{2} × (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{4} ≠ 0$，所以 $x = -\frac{1}{2}$ 是原方程的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=-1。 \end{cases}$ (2) $x=-\frac{1}{2}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题，考查二元一次方程组和分式方程的基本解法，需注意分式方程求解后必须验根，避免增根，整体难度较低，是学生应掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8
第(1)题是二元一次方程组，可通过加减消元或代入消元法消去一个未知数，转化为一元一次方程求解；第(2)题是分式方程，需先去分母转化为整式方程，求解后必须检验，确保分母不为0。
【解析】
(1) 解二元一次方程组：
$\begin{cases} x - y = 3 \quad ① \\ 3x + 2y = 4 \quad ② \end{cases}$
将①×2，得 $2x - 2y = 6 \quad ③$
② + ③，得 $5x = 10$，解得 $x = 2$
把 $x = 2$ 代入①，得 $2 - y = 3$，解得 $y = -1$
所以方程组的解为 $\begin{cases} x = 2 \\ y = -1 \end{cases}$
(2) 解分式方程：
$\frac{x}{x + 1} - \frac{3}{x - 1} = 1$
两边同乘最简公分母 $(x + 1)(x - 1)$，去分母得：
$x(x - 1) - 3(x + 1) = (x + 1)(x - 1)$
展开并整理：
$x^2 - x - 3x - 3 = x^2 - 1$
$-4x - 3 = -1$
$-4x = 2$
解得 $x = -\frac{1}{2}$
检验：当 $x = -\frac{1}{2}$ 时，$(x + 1)(x - 1) = \frac{1}{2} × (-\frac{3}{2}) = -\frac{3}{4} ≠ 0$，所以 $x = -\frac{1}{2}$ 是原方程的解。
【答案】
(1) $\begin{cases} x=2, \\ y=-1。 \end{cases}$ (2) $x=-\frac{1}{2}$。
【知识点】
二元一次方程组的解法，分式方程的解法
【点评】
本题为基础题，考查二元一次方程组和分式方程的基本解法，需注意分式方程求解后必须验根，避免增根，整体难度较低，是学生应掌握的常规题型。
【难度系数】
0.8
21.(8分)
(1)若$(x+2)(x^2+kx-6)$展开后不含$x$的一次项,求$k$的值。
(2)先化简,再求值:$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$,其中$x=-1$。
(1)若$(x+2)(x^2+kx-6)$展开后不含$x$的一次项,求$k$的值。
(2)先化简,再求值:$(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$,其中$x=-1$。
答案
21.(1)$(x+2)(x^2+kx-6)=x^3+kx^2-6x+2x^2+2kx-12=x^3+(k+2)x^2+(2k-6)x-12$,因为$(x+2)(x^2+kx-6)$展开后不含$x$的一次项,所以$2k-6=0$,解得$k=3$。
(2)原式$=x·\frac{x+2-(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=x·\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=-\frac{2}{x+2}$,当$x=-1$时,原式$=-\frac{2}{-1+2}=-2$。
(2)原式$=x·\frac{x+2-(x-2)}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=x·\frac{4}{(x+2)(x-2)}·\frac{-(x-2)}{2x}=-\frac{2}{x+2}$,当$x=-1$时,原式$=-\frac{2}{-1+2}=-2$。
解析
【分析】
第(1)问，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后确定x的一次项系数，由于展开式不含x的一次项，说明一次项系数为0，据此列方程求解k；第(2)问，先对括号内的分式通分计算减法，再将除法转化为乘法，通过约分简化式子，最后代入x=-1计算结果。
【解析】
(1) 展开多项式：
$(x+2)(x^2+kx-6)=x^3 + kx^2 -6x +2x^2 +2kx -12$，
合并同类项得：$x^3 + (k+2)x^2 + (2k-6)x -12$，
因展开后不含x的一次项，故一次项系数为0，即$2k-6=0$，
解得：$k=3$。
(2) 化简分式：
原式$=(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$，
括号内通分：$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}$，
除法转乘法：$\frac{4x}{(x+2)(x-2)}×\frac{2-x}{2x}=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}×\frac{-(x-2)}{2x}=-\frac{2}{x+2}$，
代入$x=-1$：$-\frac{2}{-1+2}=-2$。
【答案】
(1) $k=3$；(2) 化简结果为$-\frac{2}{x+2}$，当$x=-1$时，值为$-2$。
【知识点】多项式乘多项式，分式的化简求值
【点评】本题考查整式乘法与分式运算的基础技能，需掌握多项式展开、同类项合并、分式通分约分等方法，注意符号处理，属于巩固运算能力的典型基础题。
【难度系数】0.6
第(1)问，先利用多项式乘多项式法则展开式子，合并同类项后确定x的一次项系数，由于展开式不含x的一次项，说明一次项系数为0，据此列方程求解k；第(2)问，先对括号内的分式通分计算减法，再将除法转化为乘法，通过约分简化式子，最后代入x=-1计算结果。
【解析】
(1) 展开多项式：
$(x+2)(x^2+kx-6)=x^3 + kx^2 -6x +2x^2 +2kx -12$，
合并同类项得：$x^3 + (k+2)x^2 + (2k-6)x -12$，
因展开后不含x的一次项，故一次项系数为0，即$2k-6=0$，
解得：$k=3$。
(2) 化简分式：
原式$=(\frac{x}{x-2}-\frac{x}{x+2})÷\frac{2x}{2-x}$，
括号内通分：$\frac{x(x+2)-x(x-2)}{(x+2)(x-2)}=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}$，
除法转乘法：$\frac{4x}{(x+2)(x-2)}×\frac{2-x}{2x}=\frac{4x}{(x+2)(x-2)}×\frac{-(x-2)}{2x}=-\frac{2}{x+2}$，
代入$x=-1$：$-\frac{2}{-1+2}=-2$。
【答案】
(1) $k=3$；(2) 化简结果为$-\frac{2}{x+2}$，当$x=-1$时，值为$-2$。
【知识点】多项式乘多项式，分式的化简求值
【点评】本题考查整式乘法与分式运算的基础技能，需掌握多项式展开、同类项合并、分式通分约分等方法，注意符号处理，属于巩固运算能力的典型基础题。
【难度系数】0.6
