登录
22. (10分)一列整式依次为: $a_1=2m+3$, $a_2=a_1+2$, $a_3=a_2+2$, $a_4=a_3+2$, …,另一列整式依次为: $A_1=(m+1)^2$, $A_2=A_1+a_1$, $A_3=A_2+a_2$, $A_4=A_3+a_3$, …。
(1)求$a_2$和$a_3$。(用含$m$的代数式表示)
(2)求$A_2$和$A_3$,并归纳出$A_n$的规律。(用含$m,n$的代数式表示)
(3)若$A_{20}-A_{16}=200$,求$m$的值。
(1)求$a_2$和$a_3$。(用含$m$的代数式表示)
(2)求$A_2$和$A_3$,并归纳出$A_n$的规律。(用含$m,n$的代数式表示)
(3)若$A_{20}-A_{16}=200$,求$m$的值。
答案
22.(1)因为$a_1=2m+3$,所以$a_2=a_1+2=2m+3+2=2m+5$,$a_3=a_2+2=2m+5+2=2m+7$。
(2) 因为$A_1=(m+1)^2$, 所以$A_2=A_1+a_1=(m+1)^2+2m+3=m^2+4m+4=(m+2)^2$,$A_3=A_2+a_2=(m+1)^2+2m+3+2m+3+2=m^2+6m+9=(m+3)^2$。所以$A_n=(m+n)^2$。
(3)当$n=20$时,$A_{20}=(m+20)^2$;当$n=16$时,$A_{16}=(m+16)^2$,所以$A_{20}-A_{16}=4(2m+36)=200$,解得$m=7$。
(2) 因为$A_1=(m+1)^2$, 所以$A_2=A_1+a_1=(m+1)^2+2m+3=m^2+4m+4=(m+2)^2$,$A_3=A_2+a_2=(m+1)^2+2m+3+2m+3+2=m^2+6m+9=(m+3)^2$。所以$A_n=(m+n)^2$。
(3)当$n=20$时,$A_{20}=(m+20)^2$;当$n=16$时,$A_{16}=(m+16)^2$,所以$A_{20}-A_{16}=4(2m+36)=200$,解得$m=7$。
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问中，a系列是后项比前项多2的等差数列，直接代入递推式即可计算a₂、a₃；
2. 第(2)问中，A系列是前项加对应a项的递推式，依次计算A₂、A₃后，通过结果归纳Aₙ的规律；
3. 第(3)问中，先利用归纳的Aₙ规律写出A₂₀、A₁₆的表达式，代入等式后通过解方程求m的值。
【解析】
(1) 已知a₁=2m+3，根据递推关系aₙ₊₁=aₙ+2：
a₂ = a₁ + 2 = (2m+3) + 2 = 2m+5；
a₃ = a₂ + 2 = (2m+5) + 2 = 2m+7。
(2) 已知A₁=(m+1)²，根据递推关系Aₙ₊₁=Aₙ+aₙ：
A₂ = A₁ + a₁ = (m+1)² + (2m+3) = m²+2m+1+2m+3 = m²+4m+4 = (m+2)²；
A₃ = A₂ + a₂ = (m+2)² + (2m+5) = m²+4m+4+2m+5 = m²+6m+9 = (m+3)²；
观察A₁=(m+1)²、A₂=(m+2)²、A₃=(m+3)²，归纳得：Aₙ=(m+n)²。
(3) 根据Aₙ=(m+n)²，得A₂₀=(m+20)²，A₁₆=(m+16)²；
代入A₂₀ - A₁₆=200：
(m+20)² - (m+16)² =200；
利用平方差公式展开：[(m+20)-(m+16)][(m+20)+(m+16)] =200；
化简得：4×(2m+36)=200；
即8m+144=200，解得m=7。
【答案】
(1) a₂=2m+5，a₃=2m+7；
(2) A₂=(m+2)²，A₃=(m+3)²，Aₙ=(m+n)²；
(3) m=7。
【知识点】
整式的加减运算，完全平方公式，规律探究
【点评】
本题是整式运算与规律探究的综合题，考查递推式应用、完全平方公式化简及代数求值，需学生具备观察归纳能力，是整式部分的典型练习题型。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问，解题思路如下：
1. 第(1)问中，a系列是后项比前项多2的等差数列，直接代入递推式即可计算a₂、a₃；
2. 第(2)问中，A系列是前项加对应a项的递推式，依次计算A₂、A₃后，通过结果归纳Aₙ的规律；
3. 第(3)问中，先利用归纳的Aₙ规律写出A₂₀、A₁₆的表达式，代入等式后通过解方程求m的值。
【解析】
(1) 已知a₁=2m+3，根据递推关系aₙ₊₁=aₙ+2：
a₂ = a₁ + 2 = (2m+3) + 2 = 2m+5；
a₃ = a₂ + 2 = (2m+5) + 2 = 2m+7。
(2) 已知A₁=(m+1)²，根据递推关系Aₙ₊₁=Aₙ+aₙ：
A₂ = A₁ + a₁ = (m+1)² + (2m+3) = m²+2m+1+2m+3 = m²+4m+4 = (m+2)²；
A₃ = A₂ + a₂ = (m+2)² + (2m+5) = m²+4m+4+2m+5 = m²+6m+9 = (m+3)²；
观察A₁=(m+1)²、A₂=(m+2)²、A₃=(m+3)²，归纳得：Aₙ=(m+n)²。
(3) 根据Aₙ=(m+n)²，得A₂₀=(m+20)²，A₁₆=(m+16)²；
代入A₂₀ - A₁₆=200：
(m+20)² - (m+16)² =200；
利用平方差公式展开：[(m+20)-(m+16)][(m+20)+(m+16)] =200；
化简得：4×(2m+36)=200；
即8m+144=200，解得m=7。
【答案】
(1) a₂=2m+5，a₃=2m+7；
(2) A₂=(m+2)²，A₃=(m+3)²，Aₙ=(m+n)²；
(3) m=7。
【知识点】
整式的加减运算，完全平方公式，规律探究
【点评】
本题是整式运算与规律探究的综合题，考查递推式应用、完全平方公式化简及代数求值，需学生具备观察归纳能力，是整式部分的典型练习题型。
【难度系数】
0.6
23.(10分)某景区计划用160万元资金采购若干机器狗和无人机运送货物。已知购进2只机器狗和3台无人机需54万元,购进4只机器狗和1台无人机需58万元。
(1)求机器狗和无人机的采购单价。
(2)满载情况下,每只机器狗比每台无人机单次多载25kg,运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同,求机器狗和无人机的单次最高载货量。
(3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完,请根据上述信息列出所有的采购方案,并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高。
(1)求机器狗和无人机的采购单价。
(2)满载情况下,每只机器狗比每台无人机单次多载25kg,运送400kg货物所需的机器狗数量恰好与运送150kg货物所需的无人机数量相同,求机器狗和无人机的单次最高载货量。
(3)若两种设备均要采购且资金恰好全部用完,请根据上述信息列出所有的采购方案,并通过计算说明哪种方案的单次载货总量最高。
答案
23.(1)设机器狗的采购单价是$x$万元,无人机的采购单价是$y$万元。根据题意得$\begin{cases}2x+3y=54, \\ 4x+y=58,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=12, \\ y=10,\end{cases}$ 所以机器狗的采购单价是12万元,无人机的采购单价是10万元。
(2)设无人机的单次最高载货量为$m$kg,则机器狗的单次最高载货量为$(m+25)$kg。根据题意得$\frac{400}{m+25}=\frac{150}{m}$,解得$m=15$,经检验,$m=15$是所列分式方程的解,且符合题意。所以$m+25=15+25=40$。所以机器狗的单次最高载货量为40kg,无人机的单次最高载货量为15kg。
(3)设采购$a$只机器狗,$b$台无人机。根据题意得$12a+10b=160$,所以$b=16-\frac{6}{5}a$。又因为$a,b$均为正整数,所以$\begin{cases}a=5, \\ b=10\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=10, \\ b=4。\end{cases}$ 所以共有2种采购方案,方案1:采购5只机器狗,10台无人机,单次载货总量为$40×5+15×10=350$(kg);方案2:采购10只机器狗,4台无人机,单次载货总量为$40×10+15×4=460$(kg)。因为$350＜460$,所以方案2的单次载货总量最高。
(2)设无人机的单次最高载货量为$m$kg,则机器狗的单次最高载货量为$(m+25)$kg。根据题意得$\frac{400}{m+25}=\frac{150}{m}$,解得$m=15$,经检验,$m=15$是所列分式方程的解,且符合题意。所以$m+25=15+25=40$。所以机器狗的单次最高载货量为40kg,无人机的单次最高载货量为15kg。
(3)设采购$a$只机器狗,$b$台无人机。根据题意得$12a+10b=160$,所以$b=16-\frac{6}{5}a$。又因为$a,b$均为正整数,所以$\begin{cases}a=5, \\ b=10\end{cases}$ 或$\begin{cases}a=10, \\ b=4。\end{cases}$ 所以共有2种采购方案,方案1:采购5只机器狗,10台无人机,单次载货总量为$40×5+15×10=350$(kg);方案2:采购10只机器狗,4台无人机,单次载货总量为$40×10+15×4=460$(kg)。因为$350＜460$,所以方案2的单次载货总量最高。
解析
【分析】
本题分为三个小问，逐步解决实际问题。第(1)问求机器狗和无人机的采购单价，属于二元一次方程组的应用，需设两个未知数，根据两组采购费用条件列方程组求解；第(2)问求单次最高载货量，利用“运送货物总量÷单次载货量=所需设备数量”的关系，结合两种设备数量相同的条件列分式方程，注意解后检验；第(3)问需根据资金恰好用完且两种设备都采购的条件，列出二元一次不定方程，结合正整数限制找出所有采购方案，再计算各方案的单次载货总量并比较。
【解析】
(1) 设机器狗的采购单价是$x$万元，无人机的采购单价是$y$万元。根据题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 54 \\ 4x + y = 58\end{cases}$
由第二个方程得$y = 58 - 4x$，代入第一个方程：
$2x + 3(58 - 4x) = 54$
$2x + 174 - 12x = 54$
$-10x = -120$，解得$x = 12$，则$y = 58 - 4×12 = 10$。
所以机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元。
(2) 设无人机的单次最高载货量为$m$kg，则机器狗的单次最高载货量为$(m + 25)$kg。根据“运送400kg货物的机器狗数量=运送150kg货物的无人机数量”得：
$\frac{400}{m + 25} = \frac{150}{m}$
交叉相乘得：$400m = 150(m + 25)$
$400m = 150m + 3750$
$250m = 3750$，解得$m = 15$。
经检验，$m = 15$是所列分式方程的解，且符合题意。则机器狗的单次最高载货量为$15 + 25 = 40$kg。
(3) 设采购$a$只机器狗，$b$台无人机（$a、b$均为正整数）。根据资金恰好160万元用完得：
$12a + 10b = 160$
整理得：$b = 16 - \frac{6}{5}a$
因为$b$是正整数，所以$\frac{6}{5}a$为整数，即$a$是5的倍数；又$b ＞ 0$，则$16 - \frac{6}{5}a ＞ 0$，解得$a ＜ \frac{40}{3} ≈13.33$。
结合$a$为正整数，得$a=5$时，$b=10$；$a=10$时，$b=4$；$a=15$时，$b=-2$（舍去）。
所以共有2种采购方案：
方案1：采购5只机器狗，10台无人机，单次载货总量为$40×5 + 15×10 = 350$kg；
方案2：采购10只机器狗，4台无人机，单次载货总量为$40×10 + 15×4 = 460$kg；
因为$350 ＜ 460$，所以方案2的单次载货总量最高。
【答案】
23.(1)机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元；(2)机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg；(3)共有2种采购方案：方案1：采购5只机器狗，10台无人机；方案2：采购10只机器狗，4台无人机；方案2的单次载货总量最高。
【知识点】
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、二元一次不定方程的正整数解
【点评】
本题是结合实际采购与运输的代数应用题，分三小问逐步考查不同方程的应用，需准确梳理各量关系，注意分式方程的检验和不定方程正整数解的限制，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
本题分为三个小问，逐步解决实际问题。第(1)问求机器狗和无人机的采购单价，属于二元一次方程组的应用，需设两个未知数，根据两组采购费用条件列方程组求解；第(2)问求单次最高载货量，利用“运送货物总量÷单次载货量=所需设备数量”的关系，结合两种设备数量相同的条件列分式方程，注意解后检验；第(3)问需根据资金恰好用完且两种设备都采购的条件，列出二元一次不定方程，结合正整数限制找出所有采购方案，再计算各方案的单次载货总量并比较。
【解析】
(1) 设机器狗的采购单价是$x$万元，无人机的采购单价是$y$万元。根据题意得：
$\begin{cases}2x + 3y = 54 \\ 4x + y = 58\end{cases}$
由第二个方程得$y = 58 - 4x$，代入第一个方程：
$2x + 3(58 - 4x) = 54$
$2x + 174 - 12x = 54$
$-10x = -120$，解得$x = 12$，则$y = 58 - 4×12 = 10$。
所以机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元。
(2) 设无人机的单次最高载货量为$m$kg，则机器狗的单次最高载货量为$(m + 25)$kg。根据“运送400kg货物的机器狗数量=运送150kg货物的无人机数量”得：
$\frac{400}{m + 25} = \frac{150}{m}$
交叉相乘得：$400m = 150(m + 25)$
$400m = 150m + 3750$
$250m = 3750$，解得$m = 15$。
经检验，$m = 15$是所列分式方程的解，且符合题意。则机器狗的单次最高载货量为$15 + 25 = 40$kg。
(3) 设采购$a$只机器狗，$b$台无人机（$a、b$均为正整数）。根据资金恰好160万元用完得：
$12a + 10b = 160$
整理得：$b = 16 - \frac{6}{5}a$
因为$b$是正整数，所以$\frac{6}{5}a$为整数，即$a$是5的倍数；又$b ＞ 0$，则$16 - \frac{6}{5}a ＞ 0$，解得$a ＜ \frac{40}{3} ≈13.33$。
结合$a$为正整数，得$a=5$时，$b=10$；$a=10$时，$b=4$；$a=15$时，$b=-2$（舍去）。
所以共有2种采购方案：
方案1：采购5只机器狗，10台无人机，单次载货总量为$40×5 + 15×10 = 350$kg；
方案2：采购10只机器狗，4台无人机，单次载货总量为$40×10 + 15×4 = 460$kg；
因为$350 ＜ 460$，所以方案2的单次载货总量最高。
【答案】
23.(1)机器狗的采购单价是12万元，无人机的采购单价是10万元；(2)机器狗的单次最高载货量为40kg，无人机的单次最高载货量为15kg；(3)共有2种采购方案：方案1：采购5只机器狗，10台无人机；方案2：采购10只机器狗，4台无人机；方案2的单次载货总量最高。
【知识点】
二元一次方程组的应用、分式方程的应用、二元一次不定方程的正整数解
【点评】
本题是结合实际采购与运输的代数应用题，分三小问逐步考查不同方程的应用，需准确梳理各量关系，注意分式方程的检验和不定方程正整数解的限制，整体逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.6
