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24.(12分)已知长方形纸片ABCD,点E,F在AD上,点G,H在BC上,将纸片分别沿EG,FH折叠,A,B,C,D的对应点分别为A',B',C',D',记∠BGE=α,∠CHF=β。
(1)如图,已知点B'在AD上,点D'在BC上。
①若α=55°,求∠A'B'E的度数。
②若B'G//FD',求α与β满足的关系式。
(2)若点A'始终在AD上方,B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直,请直接写出α与β满足的关系式。
(1)如图,已知点B'在AD上,点D'在BC上。
①若α=55°,求∠A'B'E的度数。
②若B'G//FD',求α与β满足的关系式。
(2)若点A'始终在AD上方,B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直,请直接写出α与β满足的关系式。
答案
24.(1)①由折叠可得$∠B'GE=α=55°$,$∠A'B'G=∠B=90°$,所以$∠B'GB=2α=110°$。因为$AD// BC$,所以$∠AB'G=180°-∠B'GB=180°-110°=70°$。所以$∠A'B'E=∠A'B'G-∠AB'G=90°-70°=20°$。 ②因为$AD// BC$,所以$∠DB'G=∠BGB'=2α$,$∠DFH=180°-∠FHC=180°-β$。由折叠可得$∠D'FD=2∠DFH=360°-2β$,又因为$B'G// FD'$,所以$∠DB'G=∠DFD'$,即$2α=360°-2β$,整理得$α+β=180°$。
(2)如图1。因为$B'G$所在直线与$FD'$所在直线互相垂直,所以$B'G$所在直线与$C'H$所在直线互相垂直,即$∠PMG=90°$。由折叠可得$∠BGB'=2α$,$∠C'HC=2∠FHC=2β$,所以$∠MGH=180°-∠BGB'=180°-2α$,$∠PHG=180°-∠C'HC=180°-2β$。过点$M$作$MN// AD$,则$MN// AD// BC$,所以$∠NMG=∠MGH=180°-2α$,$∠NMP=∠PHG=180°-2β$。 所以$180°-2α+180°-2β=90°$,解得$α+β=135°$。如图2,这时$∠FMG=90°$。由翻折可得$∠DFM=2∠DFH=360°-2β$,过交点$M$作$MN// AD$,则$MN// AD// BC$,所以$∠NMG=∠MGH=180°-2α$,$∠NMF=∠MFD=360°-2β$。 所以$180°-2α+360°-2β=90°$,解得$α+β=225°$。综上,$α$与$β$满足的关系式为$α+β=135°$或$α+β=225°$。
解析
【分析】
本题以长方形纸片的折叠为背景，核心运用折叠的性质（折叠前后对应角相等）、长方形对边平行的性质（AD//BC），结合平行线的角度关系、垂直的角度特征解题。对于(1)①，先利用折叠得∠B'GB=2α，再由AD//BC求∠AB'G，结合折叠后∠A'B'G=90°，即可算出∠A'B'E；(1)②利用平行线同位角相等，结合折叠后∠D'FD=2∠DFH，建立α与β的关系式；(2)中B'G与FD'垂直，需分两种图形情况，通过作辅助平行线转化角度，结合垂直的90°特征列方程，注意不要漏解。
【解析】
(1)① 由折叠性质得：∠B'GE=α=55°，∠A'B'G=∠B=90°，
∴ ∠B'GB=2α=110°，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AB'G=180°−∠B'GB=180°−110°=70°，
∴ ∠A'B'E=∠A'B'G−∠AB'G=90°−70°=20°；
②
∵ AD//BC，
∴ ∠DB'G=∠BGB'=2α，∠DFH=180°−β，
由折叠性质得：∠D'FD=2∠DFH=2(180°−β)=360°−2β，
∵ B'G//FD'，
∴ ∠DB'G=∠DFD'，即2α=360°−2β，
整理得：α+β=180°；
(2) 分两种情况：
情况1（对应图1）：
∵ B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直，
∴ ∠PMG=90°，
由折叠性质得：∠BGB'=2α，∠C'HC=2β，
∴ ∠MGH=180°−∠BGB'=180°−2α，∠PHG=180°−∠C'HC=180°−2β，
过点M作MN//AD，
∵ AD//BC，
∴ MN//AD//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180°−2α，∠NMP=∠PHG=180°−2β，
∵ ∠NMG+∠NMP=∠PMG=90°，
∴ (180°−2α)+(180°−2β)=90°，解得α+β=135°；
情况2（对应图2）：
∵ B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直，
∴ ∠FMG=90°，
由折叠性质得：∠DFM=2∠DFH=2(180°−β)=360°−2β，
过点M作MN//AD，
∵ AD//BC，
∴ MN//AD//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180°−2α，∠NMF=∠MFD=360°−2β，
∵ ∠NMG+∠NMF=∠FMG=90°，
∴ (180°−2α)+(360°−2β)=90°，解得α+β=225°；
综上，α与β满足的关系式为α+β=135°或α+β=225°。
【答案】
(1)①20°；②α+β=180°；(2)α+β=135°或α+β=225°
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题是长方形折叠的几何综合题，重点考查折叠前后图形的对应关系，以及平行线、垂直的角度计算，需分情况讨论避免漏解，对学生的空间想象和逻辑推理能力有一定要求，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
本题以长方形纸片的折叠为背景，核心运用折叠的性质（折叠前后对应角相等）、长方形对边平行的性质（AD//BC），结合平行线的角度关系、垂直的角度特征解题。对于(1)①，先利用折叠得∠B'GB=2α，再由AD//BC求∠AB'G，结合折叠后∠A'B'G=90°，即可算出∠A'B'E；(1)②利用平行线同位角相等，结合折叠后∠D'FD=2∠DFH，建立α与β的关系式；(2)中B'G与FD'垂直，需分两种图形情况，通过作辅助平行线转化角度，结合垂直的90°特征列方程，注意不要漏解。
【解析】
(1)① 由折叠性质得：∠B'GE=α=55°，∠A'B'G=∠B=90°，
∴ ∠B'GB=2α=110°，
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠AB'G=180°−∠B'GB=180°−110°=70°，
∴ ∠A'B'E=∠A'B'G−∠AB'G=90°−70°=20°；
②
∵ AD//BC，
∴ ∠DB'G=∠BGB'=2α，∠DFH=180°−β，
由折叠性质得：∠D'FD=2∠DFH=2(180°−β)=360°−2β，
∵ B'G//FD'，
∴ ∠DB'G=∠DFD'，即2α=360°−2β，
整理得：α+β=180°；
(2) 分两种情况：
情况1（对应图1）：
∵ B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直，
∴ ∠PMG=90°，
由折叠性质得：∠BGB'=2α，∠C'HC=2β，
∴ ∠MGH=180°−∠BGB'=180°−2α，∠PHG=180°−∠C'HC=180°−2β，
过点M作MN//AD，
∵ AD//BC，
∴ MN//AD//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180°−2α，∠NMP=∠PHG=180°−2β，
∵ ∠NMG+∠NMP=∠PMG=90°，
∴ (180°−2α)+(180°−2β)=90°，解得α+β=135°；
情况2（对应图2）：
∵ B'G所在直线与FD'所在直线互相垂直，
∴ ∠FMG=90°，
由折叠性质得：∠DFM=2∠DFH=2(180°−β)=360°−2β，
过点M作MN//AD，
∵ AD//BC，
∴ MN//AD//BC，
∴ ∠NMG=∠MGH=180°−2α，∠NMF=∠MFD=360°−2β，
∵ ∠NMG+∠NMF=∠FMG=90°，
∴ (180°−2α)+(360°−2β)=90°，解得α+β=225°；
综上，α与β满足的关系式为α+β=135°或α+β=225°。
【答案】
(1)①20°；②α+β=180°；(2)α+β=135°或α+β=225°
【知识点】
折叠的性质、平行线的性质、垂直的性质
【点评】
本题是长方形折叠的几何综合题，重点考查折叠前后图形的对应关系，以及平行线、垂直的角度计算，需分情况讨论避免漏解，对学生的空间想象和逻辑推理能力有一定要求，是一道综合性较强的几何题。
【难度系数】
0.4
