1. 计算:
(1)$\dfrac{a^2 - b^2}{ab} ÷ (\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b})$；
(2)(镇江中考)$\dfrac{a + 2}{a^2} ÷ (1 + \dfrac{2}{a})$；
(3)$\dfrac{2}{x - 1} ÷ (\dfrac{2}{x^2 - 1} + \dfrac{1}{x + 1})$；
(4)$1 + \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 2} ÷ (x - 2 + \dfrac{3}{x + 2})$.

(1)原式$=-a-b$；
(2)原式$=\dfrac{1}{a}$；
(3)原式$=2$；
(4)原式$=\dfrac{2x}{x-1}$.

【分析】
分式混合运算的解题思路遵循以下步骤：① 先算括号内的运算：异分母分式加减先找最简公分母通分，转化为同分母分式后分子相加减，分母不变，再化简括号内的结果；② 除法运算转化为乘法运算：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数；③ 对分子分母中能因式分解的多项式进行因式分解，再约去公因式，最终得到最简整式或分式。计算过程中注意互为相反数的因式约分时要变号，避免符号错误。
【解析】
(1) 先计算括号内的减法：
$\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}$
再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a^2 - b^2}{ab} × \dfrac{ab}{b - a}$
对分子因式分解：$a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$，代入得：
$=\dfrac{(a-b)(a+b)}{ab} × \dfrac{ab}{-(a-b)}$
约去公因式$ab$和$(a-b)$，得：
$= -(a+b) = -a -b$
(2) 先计算括号内的加法：
$1 + \dfrac{2}{a} = \dfrac{a + 2}{a}$
再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a + 2}{a^2} × \dfrac{a}{a + 2}$
约去公因式$a$和$(a+2)$，得：
$=\dfrac{1}{a}$
(3) 先计算括号内的加法，最简公分母为$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$：
$\dfrac{2}{x^2 - 1} + \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{2}{(x-1)(x+1)} + \dfrac{x - 1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{2 + x - 1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x + 1}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{1}{x - 1}$
再将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{2}{x - 1} × (x - 1) = 2$
(4) 先计算最内层括号的运算，最简公分母为$x+2$：
$x - 2 + \dfrac{3}{x + 2} = \dfrac{(x-2)(x+2) + 3}{x + 2} = \dfrac{x^2 - 4 + 3}{x + 2} = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2} = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x + 2}$
再计算除法部分，先因式分解：$x^2 + 2x +1 = (x+1)^2$，将除法转化为乘法：
$\dfrac{x^2 + 2x + 1}{x + 2} ÷ (x - 2 + \dfrac{3}{x + 2}) = \dfrac{(x+1)^2}{x + 2} × \dfrac{x + 2}{(x-1)(x+1)} = \dfrac{x + 1}{x - 1}$
最后计算加法：
原式$=1 + \dfrac{x + 1}{x - 1} = \dfrac{x - 1 + x + 1}{x - 1} = \dfrac{2x}{x - 1}$
【答案】
(1)$-a-b$；(2)$\dfrac{1}{a}$；(3)$2$；(4)$\dfrac{2x}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算；因式分解；分式的通分约分
【点评】
这组题目是分式混合运算的基础典型题，核心考查运算顺序的掌握和通分、约分、因式分解的基本技能，计算时要注意符号处理，尤其是互为相反数的因式约分时的符号变化，熟练掌握方法后可以快速准确求解。
【难度系数】
0.7

2. 先化简,再求代数式$(\dfrac{2a-b}{a+b}-\dfrac{b}{a-b})÷\dfrac{a-2b}{a+b}$的值,其中$a=3^{-1},b=(-2)^0$.

原式$=\dfrac{2a}{a-b}$.
$\because a=3^{-1},b=(-2)^0,\therefore a=\dfrac{1}{3},b=1$,
$\therefore$原式$=\dfrac{2× \dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{3}-1}=-1$.

【分析】
本题是分式化简求值类题目，遵循“先化简、后代入”的原则可大幅降低运算量。解题思路如下：1. 先计算括号内的分式减法，两个分式的最简公分母为$(a+b)(a-b)$，通分后完成分子的整式运算；2. 将括号外的除法转化为乘法，即乘以除式的倒数；3. 对分式的分子因式分解，约去公因式得到最简结果；4. 先根据负整数指数幂、零指数幂的规则计算$a$、$b$的取值，再代入最简式计算最终结果。
【解析】
解：先化简代数式：
$\begin{aligned}原式&=[\frac{(2a-b)(a-b)}{(a+b)(a-b)}-\frac{b(a+b)}{(a+b)(a-b)}] · \frac{a+b}{a-2b}\\&=\frac{2a^2-3ab+b^2 - ab -b^2}{(a+b)(a-b)} · \frac{a+b}{a-2b}\\&=\frac{2a^2-4ab}{(a+b)(a-b)} · \frac{a+b}{a-2b}\\&=\frac{2a(a-2b)}{(a+b)(a-b)} · \frac{a+b}{a-2b}\\&=\frac{2a}{a-b}\end{aligned}$
再计算$a$、$b$的值：
$\because a=3^{-1}=\frac{1}{3}$，$b=(-2)^0=1$
将$a$、$b$代入化简后的式子：
$原式=\frac{2× \frac{1}{3}}{\frac{1}{3}-1}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{2}{3}}=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
分式的混合运算，负整数指数幂，零指数幂
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，解题时要注意遵循分式运算的顺序，通分、约分过程中需留意符号的正确性，先化简再代入的计算方式能有效降低运算错误率，同时要熟练掌握幂的相关运算规则。
【难度系数】
0.7

3. 先化简,再求值:$(\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} + \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x}) ÷ \dfrac{1}{x}$,其中$x$从$-2,-1,0,1$四个数中选取一个适当的数代入.

原式$=2x-3$.
由题意,得$x≠ -2,0,1$,
$\therefore x=-1$.
当$x=-1$时,原式$=2×(-1)-3=-5$.

【分析】
本题考查分式的混合运算及化简求值，解题思路如下：第一步先处理括号内的两个分式，先对分子、分母分别因式分解，约分后再进行加法运算；第二步将除法运算转化为乘法运算，完成化简；第三步根据分式有意义的条件（分母不为0、除式不为0）排除不能取的x值，选出合适的x代入化简后的式子计算结果。
【解析】
解：先对原式括号内的分式因式分解并约分：
第一个分式：$\dfrac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - x} = \dfrac{(x-1)^2}{x(x-1)} = \dfrac{x-1}{x}$（$x≠0且x≠1$）
第二个分式：$\dfrac{x^2 - 4}{x^2 + 2x} = \dfrac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)} = \dfrac{x-2}{x}$（$x≠0且x≠-2$）
括号内相加：$\dfrac{x-1}{x} + \dfrac{x-2}{x} = \dfrac{(x-1)+(x-2)}{x} = \dfrac{2x-3}{x}$
再计算除法：除以$\dfrac{1}{x}$等于乘以$x$，即$\dfrac{2x-3}{x} × x = 2x-3$
接下来确定x的取值：要使原式所有分式有意义，需满足$x^2-x≠0$，$x^2+2x≠0$，且$x≠0$，解得$x≠-2,0,1$，因此从给定的四个数中只能选取$x=-1$。
将$x=-1$代入化简后的式子：$2×(-1) - 3 = -2 -3 = -5$
【答案】
$\boldsymbol{-5}$
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，易错点在于容易忽略分式有意义的条件，错误选取x的值导致结果错误，运算时先对分子分母因式分解再约分，能有效降低计算错误率。
【难度系数】
0.7