登录
1. 计算:
(1)$(ab+b^{2})÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a}$；
(2)(徐州中考)$(1-\frac{1}{x^{2}})÷\frac{x-1}{x}$；
(3)$\frac{a^{2}-1}{a^{2}-2a+1}+\frac{2a-a^{2}}{a-2}÷a$；
(4)$(1-\frac{1}{x^{2}-2x+1})÷(\frac{x^{2}-2}{x-1}-2)$.
(1)$(ab+b^{2})÷\frac{a^{2}-b^{2}}{a}$；
(2)(徐州中考)$(1-\frac{1}{x^{2}})÷\frac{x-1}{x}$；
(3)$\frac{a^{2}-1}{a^{2}-2a+1}+\frac{2a-a^{2}}{a-2}÷a$；
(4)$(1-\frac{1}{x^{2}-2x+1})÷(\frac{x^{2}-2}{x-1}-2)$.
答案
(1)原式=$\frac{ab}{a-b}$；
(2)原式=$\frac{x+1}{x}$；
(3)原式=$\frac{2}{a-1}$；
(4)原式=$\frac{1}{x-1}$.
(2)原式=$\frac{x+1}{x}$；
(3)原式=$\frac{2}{a-1}$；
(4)原式=$\frac{1}{x-1}$.
解析
【分析】
分式混合运算遵循以下解题思路：1. 明确运算顺序：有括号先算括号内的，无括号时先算乘除、后算加减；2. 所有除法运算先转化为乘以除式的倒数；3. 分子、分母能因式分解的先因式分解，再约分简化计算；4. 最终结果要化为最简分式或整式。解题时按照以上规则逐题逐步计算即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分：
原式=$b(a+b) × \frac{a}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$(a+b)$，得$\frac{ab}{a-b}$
(2) 先计算括号内的减法，通分后因式分解，再转除法为乘法约分：
原式=$\frac{x^2 - 1}{x^2} × \frac{x}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x^2} × \frac{x}{x-1}$
约去公因式$x$和$(x-1)$，得$\frac{x+1}{x}$
(3) 先计算除法部分，再计算加法：
先算除法：$\frac{2a - a^2}{a-2} ÷ a = \frac{-a(a-2)}{a-2} × \frac{1}{a} = -1$
再算加法：$\frac{a^2 -1}{a^2 - 2a +1} + (-1) = \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} - 1 = \frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a-1}$
合并分子得$\frac{a+1 - (a-1)}{a-1} = \frac{2}{a-1}$
(4) 先分别计算两个括号内的运算，再算除法：
第一个括号：$1 - \frac{1}{x^2 - 2x +1} = \frac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$
第二个括号：$\frac{x^2 - 2}{x-1} - 2 = \frac{x^2 - 2 - 2(x-1)}{x-1} = \frac{x^2 - 2x}{x-1} = \frac{x(x-2)}{x-1}$
原式=$\frac{x(x-2)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x-2)}{x-1} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} × \frac{x-1}{x(x-2)}$
约去公因式$x(x-2)$和$(x-1)$，得$\frac{1}{x-1}$
【答案】
(1)$\frac{ab}{a-b}$；(2)$\frac{x+1}{x}$；(3)$\frac{2}{a-1}$；(4)$\frac{1}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规训练题型，核心考查运算顺序、因式分解熟练度以及约分规则的应用，计算时要注意符号处理，通分、约分过程需保证等价变形，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循以下解题思路：1. 明确运算顺序：有括号先算括号内的，无括号时先算乘除、后算加减；2. 所有除法运算先转化为乘以除式的倒数；3. 分子、分母能因式分解的先因式分解，再约分简化计算；4. 最终结果要化为最简分式或整式。解题时按照以上规则逐题逐步计算即可。
【解析】
(1) 先对多项式因式分解，再将除法转化为乘法约分：
原式=$b(a+b) × \frac{a}{(a+b)(a-b)}$
约去公因式$(a+b)$，得$\frac{ab}{a-b}$
(2) 先计算括号内的减法，通分后因式分解，再转除法为乘法约分：
原式=$\frac{x^2 - 1}{x^2} × \frac{x}{x-1} = \frac{(x+1)(x-1)}{x^2} × \frac{x}{x-1}$
约去公因式$x$和$(x-1)$，得$\frac{x+1}{x}$
(3) 先计算除法部分，再计算加法：
先算除法：$\frac{2a - a^2}{a-2} ÷ a = \frac{-a(a-2)}{a-2} × \frac{1}{a} = -1$
再算加法：$\frac{a^2 -1}{a^2 - 2a +1} + (-1) = \frac{(a+1)(a-1)}{(a-1)^2} - 1 = \frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a-1}$
合并分子得$\frac{a+1 - (a-1)}{a-1} = \frac{2}{a-1}$
(4) 先分别计算两个括号内的运算，再算除法：
第一个括号：$1 - \frac{1}{x^2 - 2x +1} = \frac{(x-1)^2 - 1}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$
第二个括号：$\frac{x^2 - 2}{x-1} - 2 = \frac{x^2 - 2 - 2(x-1)}{x-1} = \frac{x^2 - 2x}{x-1} = \frac{x(x-2)}{x-1}$
原式=$\frac{x(x-2)}{(x-1)^2} ÷ \frac{x(x-2)}{x-1} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} × \frac{x-1}{x(x-2)}$
约去公因式$x(x-2)$和$(x-1)$，得$\frac{1}{x-1}$
【答案】
(1)$\frac{ab}{a-b}$；(2)$\frac{x+1}{x}$；(3)$\frac{2}{a-1}$；(4)$\frac{1}{x-1}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式运算的常规训练题型，核心考查运算顺序、因式分解熟练度以及约分规则的应用，计算时要注意符号处理，通分、约分过程需保证等价变形，避免低级运算错误。
【难度系数】
0.7
2. 化简求值：$(\dfrac{1}{x-y}+\dfrac{1}{x+y})÷\dfrac{2x-y}{x^2-y^2}$，其中$x,y$满足$|x-2|+(2x-y-3)^2=0$。
答案
原式=$\frac{2x}{2x-y}$.
∵$|x-2|+(2x-y-3)^{2}=0$,
∴$|x-2|=0,(2x-y-3)^{2}=0$,
解得$x=2,y=1$.
∴原式=$\frac{2×2}{2×2-1}=\frac{4}{3}$.
∵$|x-2|+(2x-y-3)^{2}=0$,
∴$|x-2|=0,(2x-y-3)^{2}=0$,
解得$x=2,y=1$.
∴原式=$\frac{2×2}{2×2-1}=\frac{4}{3}$.
解析
【分析】
本题需分分式化简、代值计算两步求解：①化简分式时，先计算括号内的分式加法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对$x^2-y^2$因式分解后约分即可得到最简结果；②求$x、y$的值时，利用绝对值和平方的非负性：两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，列方程求出$x、y$后代入最简式计算即可。
【解析】
第一步：化简原式
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x+y}{(x-y)(x+y)}+\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}] ÷ \frac{2x-y}{x^2-y^2}\\&=\frac{(x+y)+(x-y)}{x^2-y^2} × \frac{x^2-y^2}{2x-y}\\&=\frac{2x}{x^2-y^2} × \frac{x^2-y^2}{2x-y}\\&=\frac{2x}{2x-y}\end{aligned}$
第二步：求$x、y$的值
∵绝对值和平方均为非负数，且$|x-2|+(2x-y-3)^2=0$
∴$\begin{cases}x-2=0 \\ 2x-y-3=0\end{cases}$
解得：$x=2$，将$x=2$代入$2x-y-3=0$得$4-y-3=0$，即$y=1$
第三步：代值计算
将$x=2,y=1$代入$\frac{2x}{2x-y}$得：
$\mathrm{原式}=\frac{2×2}{2×2 -1}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
分式的混合运算；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，化简过程中要注意通分、约分的正确性，灵活运用因式分解可简化运算，利用非负性求解未知数是这类题的常见突破口，计算时需细心避免代入求值出错。
【难度系数】
0.7
本题需分分式化简、代值计算两步求解：①化简分式时，先计算括号内的分式加法，通分后合并分子，再将除法转化为乘法，对$x^2-y^2$因式分解后约分即可得到最简结果；②求$x、y$的值时，利用绝对值和平方的非负性：两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，列方程求出$x、y$后代入最简式计算即可。
【解析】
第一步：化简原式
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x+y}{(x-y)(x+y)}+\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}] ÷ \frac{2x-y}{x^2-y^2}\\&=\frac{(x+y)+(x-y)}{x^2-y^2} × \frac{x^2-y^2}{2x-y}\\&=\frac{2x}{x^2-y^2} × \frac{x^2-y^2}{2x-y}\\&=\frac{2x}{2x-y}\end{aligned}$
第二步：求$x、y$的值
∵绝对值和平方均为非负数，且$|x-2|+(2x-y-3)^2=0$
∴$\begin{cases}x-2=0 \\ 2x-y-3=0\end{cases}$
解得：$x=2$，将$x=2$代入$2x-y-3=0$得$4-y-3=0$，即$y=1$
第三步：代值计算
将$x=2,y=1$代入$\frac{2x}{2x-y}$得：
$\mathrm{原式}=\frac{2×2}{2×2 -1}=\frac{4}{3}$
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
分式的混合运算；非负数的性质；代数式求值
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，化简过程中要注意通分、约分的正确性，灵活运用因式分解可简化运算，利用非负性求解未知数是这类题的常见突破口，计算时需细心避免代入求值出错。
【难度系数】
0.7
3. 如果实数 $ x,y $ 满足方程组 $ \begin{cases} x + 3y = 0, \\ 2x + 3y = 3, \end{cases} $ 求代数式 $ ( \frac{xy}{x + y} + 2 ) ÷ \frac{1}{x + y} $ 的值.
答案
原式=$xy+2x+2y$.
方程组$\begin{cases} x+3y=0, \\ 2x+3y=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
当$x=3,y=-1$时,原式=$-3+6-2=1$.
方程组$\begin{cases} x+3y=0, \\ 2x+3y=3, \end{cases}$解得$\begin{cases} x=3, \\ y=-1. \end{cases}$
当$x=3,y=-1$时,原式=$-3+6-2=1$.
解析
【分析】
遇到此类代数式结合方程组的求值题，优先先化简代数式简化计算：首先将除法运算转化为乘法运算，利用乘法分配律去括号即可完成化简；再通过加减消元法解二元一次方程组得到x、y的值，最后将x、y代入化简后的代数式计算结果即可。
【解析】
1. 先化简代数式：
$\begin{aligned}( \frac{xy}{x + y} + 2 ) ÷ \frac{1}{x + y}&=( \frac{xy}{x + y} + 2 ) × (x + y)\\&=\frac{xy}{x + y} × (x + y) + 2 × (x + y)\\&=xy + 2x + 2y\end{aligned}$
2. 解二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 0&①\\2x + 3y = 3&②\end{cases}$
用②-①得：$2x + 3y - (x + 3y) = 3 - 0$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①得：$3 + 3y = 0$，解得$y=-1$。
3. 代入求值：
把$x=3,y=-1$代入化简后的式子，得：
原式$=3×(-1) + 2×3 + 2×(-1) = -3 + 6 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是常规的计算综合题，解题时优先化简代数式再代入求值，可有效降低计算量、减少计算错误，解题过程中要注意运算顺序和符号处理，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.7
遇到此类代数式结合方程组的求值题，优先先化简代数式简化计算：首先将除法运算转化为乘法运算，利用乘法分配律去括号即可完成化简；再通过加减消元法解二元一次方程组得到x、y的值，最后将x、y代入化简后的代数式计算结果即可。
【解析】
1. 先化简代数式：
$\begin{aligned}( \frac{xy}{x + y} + 2 ) ÷ \frac{1}{x + y}&=( \frac{xy}{x + y} + 2 ) × (x + y)\\&=\frac{xy}{x + y} × (x + y) + 2 × (x + y)\\&=xy + 2x + 2y\end{aligned}$
2. 解二元一次方程组：
$\begin{cases}x + 3y = 0&①\\2x + 3y = 3&②\end{cases}$
用②-①得：$2x + 3y - (x + 3y) = 3 - 0$，解得$x=3$。
把$x=3$代入①得：$3 + 3y = 0$，解得$y=-1$。
3. 代入求值：
把$x=3,y=-1$代入化简后的式子，得：
原式$=3×(-1) + 2×3 + 2×(-1) = -3 + 6 - 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
分式化简求值，解二元一次方程组，代数式求值
【点评】
本题是常规的计算综合题，解题时优先化简代数式再代入求值，可有效降低计算量、减少计算错误，解题过程中要注意运算顺序和符号处理，避免出现低级错误。
【难度系数】
0.7
