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3. 解方程。(6分)
$x-\frac{4}{9}x=\frac{20}{21}$ $1+0.4x=3.4$ $\frac{2.5}{x}=2:0.4$
$x-\frac{4}{9}x=\frac{20}{21}$ $1+0.4x=3.4$ $\frac{2.5}{x}=2:0.4$
答案
3. $x=\frac{12}{7}$ $x=6$
$x=0.5$
$x=0.5$
解析
【分析】
我们逐个处理这三个不同形式的方程：
1. 第一个方程左侧是x减去分数系数的x，先合并同类项把左侧化简为单系数x的形式，之后将x的系数化为1即可求解；
2. 第二个是带小数系数的一元一次方程，先把不含x的常数项移到等号右侧，算出右侧结果后除以x的系数就能得到解；
3. 第三个是比例形式的方程，利用比例的基本性质把比例式转化为普通一元一次方程，再按常规步骤求解即可。
【解析】
我们分别计算三个方程：
① 求解 $x-\frac{4}{9}x=\frac{20}{21}$
合并左侧同类项：$(1-\frac{4}{9})x=\frac{20}{21}$
化简得：$\frac{5}{9}x=\frac{20}{21}$
两边同时乘$\frac{9}{5}$消去x的系数：$x=\frac{20}{21}×\frac{9}{5}=\frac{12}{7}$
② 求解 $1+0.4x=3.4$
移项整理常数项：$0.4x=3.4-1$
计算右侧结果：$0.4x=2.4$
两边同时除以0.4：$x=2.4÷0.4=6$
③ 求解 $\frac{2.5}{x}=2:0.4$
根据比例“两内项之积等于两外项之积”转化：$2x=2.5×0.4$
计算右侧结果：$2x=1$
两边同时除以2：$x=0.5$
【答案】
$x=\frac{12}{7}$；$x=6$；$x=0.5$
【知识点】
一元一次方程求解，比例基本性质，分数运算
【点评】
这三道题是小学解方程的典型基础题型，分别覆盖了分数系数合并、小数移项计算、比例式转化三类常见考法，整体计算门槛低，只需要注意约分和小数运算的细节，避免粗心失误即可拿到全分。
【难度系数】
0.8
我们逐个处理这三个不同形式的方程：
1. 第一个方程左侧是x减去分数系数的x，先合并同类项把左侧化简为单系数x的形式，之后将x的系数化为1即可求解；
2. 第二个是带小数系数的一元一次方程，先把不含x的常数项移到等号右侧，算出右侧结果后除以x的系数就能得到解；
3. 第三个是比例形式的方程，利用比例的基本性质把比例式转化为普通一元一次方程，再按常规步骤求解即可。
【解析】
我们分别计算三个方程：
① 求解 $x-\frac{4}{9}x=\frac{20}{21}$
合并左侧同类项：$(1-\frac{4}{9})x=\frac{20}{21}$
化简得：$\frac{5}{9}x=\frac{20}{21}$
两边同时乘$\frac{9}{5}$消去x的系数：$x=\frac{20}{21}×\frac{9}{5}=\frac{12}{7}$
② 求解 $1+0.4x=3.4$
移项整理常数项：$0.4x=3.4-1$
计算右侧结果：$0.4x=2.4$
两边同时除以0.4：$x=2.4÷0.4=6$
③ 求解 $\frac{2.5}{x}=2:0.4$
根据比例“两内项之积等于两外项之积”转化：$2x=2.5×0.4$
计算右侧结果：$2x=1$
两边同时除以2：$x=0.5$
【答案】
$x=\frac{12}{7}$；$x=6$；$x=0.5$
【知识点】
一元一次方程求解，比例基本性质，分数运算
【点评】
这三道题是小学解方程的典型基础题型，分别覆盖了分数系数合并、小数移项计算、比例式转化三类常见考法，整体计算门槛低，只需要注意约分和小数运算的细节，避免粗心失误即可拿到全分。
【难度系数】
0.8
四、操作题。(共6分)
图中每个小方格的边长是1 cm。
1. 小亮在推导三角形面积公式时,可以将三角形绕点B旋转(
2. 将圆O按2:1的比放大,并和原来的圆组成的一个有无数条对称轴的图形。放大圆的圆心位置在(
图中每个小方格的边长是1 cm。
1. 小亮在推导三角形面积公式时,可以将三角形绕点B旋转(
180
)°,再向上平移(3
)cm,从而和原三角形拼成平行四边形。画出旋转、平移过程中点A移动的轨迹。点A移动的路程是(12.42
)cm。(4分)2. 将圆O按2:1的比放大,并和原来的圆组成的一个有无数条对称轴的图形。放大圆的圆心位置在(
(13,6)
);这两个圆组成的图形的面积是(37.68
)$\mathrm{cm}^{2}$。(2分)答案
第1题答案
依次填：$\boldsymbol{180}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{12.42}$
轨迹绘制说明：先以点B为圆心、AB的长度3cm为半径，画180°的半圆弧，为旋转过程点A的轨迹；再从半圆弧的终点向上画长度为3cm的竖直线段，为平移过程点A的轨迹。
第2题答案
依次填：$\boldsymbol{(13,6)}$，$\boldsymbol{37.68}$
依次填：$\boldsymbol{180}$，$\boldsymbol{3}$，$\boldsymbol{12.42}$
轨迹绘制说明：先以点B为圆心、AB的长度3cm为半径，画180°的半圆弧，为旋转过程点A的轨迹；再从半圆弧的终点向上画长度为3cm的竖直线段，为平移过程点A的轨迹。
第2题答案
依次填：$\boldsymbol{(13,6)}$，$\boldsymbol{37.68}$
解析
【分析】
我们可以分步骤梳理解题思路：
1. 第一小问：要让两个完全相同的直角三角形拼成平行四边形，绕公共点B旋转180°，就能让原三角形的边和旋转后三角形的对应边形成平行对边；观察网格可知AB长度为3cm，旋转后点A落在B点正下方3格的位置，整体向上平移3cm即可完成拼接。计算点A移动的总路程时，旋转阶段点A走的是半径为3cm的半圆弧，平移阶段走的是3cm的竖直线段，两段长度相加就是总路程。
2. 第二小问：两个圆组成有无数条对称轴的图形，只有同心圆满足该条件，因此放大后的圆圆心和原圆圆心O位置完全相同，直接读取网格坐标即可；原圆半径是2cm，按2:1放大后半径为4cm，两圆组成的圆环面积用大圆面积减去小圆面积就能算出。
【解析】
1. 观察网格坐标：点B为(3,5)，点A为(3,8)，AB长度为3cm。将三角形绕点B旋转180°后，点A旋转到B点正下方3cm处，再将旋转后的三角形整体向上平移3cm，即可和原三角形拼成平行四边形。
点A移动轨迹总长度：旋转阶段半圆弧长= $\frac{1}{2} × 2π r = 3.14 × 3 = 9.42\ \mathrm{cm}$，平移阶段线段长为3cm，总路程= $9.42 + 3 = 12.42\ \mathrm{cm}$。轨迹绘制：先以点B为圆心、3cm为半径画180°半圆弧，再从半圆弧终点向上画3cm长的竖直线段。
2. 有无数条对称轴的两圆组合图形是同心圆，因此放大后的圆圆心和原圆圆心O坐标一致，读取网格得O点坐标为(13,6)；原圆半径为2cm，放大后半径为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，圆环面积= $π R^2 - π r^2 = 3.14×4^2 - 3.14×2^2 = 37.68\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1. $\boldsymbol{180}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{12.42}$；轨迹为以点B为圆心、3cm为半径的180°半圆弧，再从半圆弧终点向上画3cm长的竖直线段
2. $\boldsymbol{(13,6)}$；$\boldsymbol{37.68}$
【知识点】
图形旋转平移，圆周长计算，圆环面积
【点评】
本题结合动手操作和几何计算，既考察了空间想象能力，又考察了圆的相关公式应用，易错点是容易误将点A的移动路程当成位移距离，以及忽略“无数条对称轴的两圆图形是同心圆”的隐含条件。
【难度系数】
0.45
我们可以分步骤梳理解题思路：
1. 第一小问：要让两个完全相同的直角三角形拼成平行四边形，绕公共点B旋转180°，就能让原三角形的边和旋转后三角形的对应边形成平行对边；观察网格可知AB长度为3cm，旋转后点A落在B点正下方3格的位置，整体向上平移3cm即可完成拼接。计算点A移动的总路程时，旋转阶段点A走的是半径为3cm的半圆弧，平移阶段走的是3cm的竖直线段，两段长度相加就是总路程。
2. 第二小问：两个圆组成有无数条对称轴的图形，只有同心圆满足该条件，因此放大后的圆圆心和原圆圆心O位置完全相同，直接读取网格坐标即可；原圆半径是2cm，按2:1放大后半径为4cm，两圆组成的圆环面积用大圆面积减去小圆面积就能算出。
【解析】
1. 观察网格坐标：点B为(3,5)，点A为(3,8)，AB长度为3cm。将三角形绕点B旋转180°后，点A旋转到B点正下方3cm处，再将旋转后的三角形整体向上平移3cm，即可和原三角形拼成平行四边形。
点A移动轨迹总长度：旋转阶段半圆弧长= $\frac{1}{2} × 2π r = 3.14 × 3 = 9.42\ \mathrm{cm}$，平移阶段线段长为3cm，总路程= $9.42 + 3 = 12.42\ \mathrm{cm}$。轨迹绘制：先以点B为圆心、3cm为半径画180°半圆弧，再从半圆弧终点向上画3cm长的竖直线段。
2. 有无数条对称轴的两圆组合图形是同心圆，因此放大后的圆圆心和原圆圆心O坐标一致，读取网格得O点坐标为(13,6)；原圆半径为2cm，放大后半径为$2×2=4\ \mathrm{cm}$，圆环面积= $π R^2 - π r^2 = 3.14×4^2 - 3.14×2^2 = 37.68\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1. $\boldsymbol{180}$；$\boldsymbol{3}$；$\boldsymbol{12.42}$；轨迹为以点B为圆心、3cm为半径的180°半圆弧，再从半圆弧终点向上画3cm长的竖直线段
2. $\boldsymbol{(13,6)}$；$\boldsymbol{37.68}$
【知识点】
图形旋转平移，圆周长计算，圆环面积
【点评】
本题结合动手操作和几何计算，既考察了空间想象能力，又考察了圆的相关公式应用，易错点是容易误将点A的移动路程当成位移距离，以及忽略“无数条对称轴的两圆图形是同心圆”的隐含条件。
【难度系数】
0.45
