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9. 古希腊著名的毕达哥拉斯学派对"三角形数、正方形数、五边形数"等形数有所研究。
(1)他们把1、3、6、10、15……这样的数称作"三角形数"(如下图)。第6个三角形数是(
(2)他们把1、4、9、16……称作"正方形数"。第n个正方形数是(
(3)如果用一条斜线把正方形数分成了两部分(如下图)。
可以发现:任何一个大于1的"正方形数"都可以看作两个相邻的"三角形数"之和。以此类推,第n幅图为(
(1)他们把1、3、6、10、15……这样的数称作"三角形数"(如下图)。第6个三角形数是(
21
);第n个三角形数是($\frac{(1+n)×n}{2}$
)。(2)他们把1、4、9、16……称作"正方形数"。第n个正方形数是(
$n^{2}$
)。(3)如果用一条斜线把正方形数分成了两部分(如下图)。
可以发现:任何一个大于1的"正方形数"都可以看作两个相邻的"三角形数"之和。以此类推,第n幅图为(
$n^{2}$
)=($\frac{n(n-1)}{2}$
)+($\frac{(1+n)n}{2}$
)。答案
9. (1) 21
$\frac{(1+n)×n}{2}$ (2) $n^{2}$ (3) $n^{2}$ $\frac{n(n-1)}{2}$ $\frac{(1+n)n}{2}$
$\frac{(1+n)×n}{2}$ (2) $n^{2}$ (3) $n^{2}$ $\frac{n(n-1)}{2}$ $\frac{(1+n)n}{2}$
解析
【分析】
这道题是形数规律探究题，我们可以从给出的前几项数值入手，先找相邻项的差的规律，再逐步推导通项：
1. 第一问的三角形数，观察给出的1、3、6、10、15，能发现后一项比前一项依次大2、3、4、5，也就是第k个三角形数比第k-1个大k，因此第6个就是第5项加6，第n个就是从1连续加到n的和，用等差数列求和就能算出通项。
2. 第二问的正方形数，给出的1、4、9、16刚好是1、2、3、4的平方，直接就能得到第n项的表达式。
3. 第三问结合题目给出的“大于1的正方形数是两个相邻三角形数之和”的提示，代入前几个例子验证，就能对应得到第n个正方形数拆分的两个相邻三角形数的通项。
【解析】
(1) 推导三角形数：
第1个三角形数：1
第2个三角形数：1+2=3
第3个三角形数：1+2+3=6
第4个三角形数：1+2+3+4=10
第5个三角形数：1+2+3+4+5=15
第6个三角形数：1+2+3+4+5+6=21
第n个三角形数是首项为1、末项为n的等差数列的和，由等差数列求和公式得：$\frac{n(n+1)}{2}$
(2) 推导正方形数：
第1个正方形数：$1^2=1$
第2个正方形数：$2^2=4$
第3个正方形数：$3^2=9$
第4个正方形数：$4^2=16$
因此第n个正方形数为$n^2$
(3) 验证拆分规律：
当n=2时，$2^2=4=1+3=\frac{2×(2-1)}{2}+\frac{2×(2+1)}{2}$
当n=3时，$3^2=9=3+6=\frac{3×(3-1)}{2}+\frac{3×(3+1)}{2}$
符合题目描述的拆分规则，因此第n幅图对应的等式为：$n^2=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}$
【答案】
(1) 21；$\frac{n(n+1)}{2}$ (2) $n^2$ (3) $n^2$；$\frac{n(n-1)}{2}$；$\frac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
数列规律探究，形数性质，等差数列求和
【点评】
本题融入了古希腊数学文化背景，由浅入深引导学生自主归纳不同形数的递推规律，能够有效锻炼学生的归纳推理能力，解题时注意第三问两个相邻三角形数的下标对应关系，不要把两个相邻三角形数的通项写反。
【难度系数】
0.7
这道题是形数规律探究题，我们可以从给出的前几项数值入手，先找相邻项的差的规律，再逐步推导通项：
1. 第一问的三角形数，观察给出的1、3、6、10、15，能发现后一项比前一项依次大2、3、4、5，也就是第k个三角形数比第k-1个大k，因此第6个就是第5项加6，第n个就是从1连续加到n的和，用等差数列求和就能算出通项。
2. 第二问的正方形数，给出的1、4、9、16刚好是1、2、3、4的平方，直接就能得到第n项的表达式。
3. 第三问结合题目给出的“大于1的正方形数是两个相邻三角形数之和”的提示，代入前几个例子验证，就能对应得到第n个正方形数拆分的两个相邻三角形数的通项。
【解析】
(1) 推导三角形数：
第1个三角形数：1
第2个三角形数：1+2=3
第3个三角形数：1+2+3=6
第4个三角形数：1+2+3+4=10
第5个三角形数：1+2+3+4+5=15
第6个三角形数：1+2+3+4+5+6=21
第n个三角形数是首项为1、末项为n的等差数列的和，由等差数列求和公式得：$\frac{n(n+1)}{2}$
(2) 推导正方形数：
第1个正方形数：$1^2=1$
第2个正方形数：$2^2=4$
第3个正方形数：$3^2=9$
第4个正方形数：$4^2=16$
因此第n个正方形数为$n^2$
(3) 验证拆分规律：
当n=2时，$2^2=4=1+3=\frac{2×(2-1)}{2}+\frac{2×(2+1)}{2}$
当n=3时，$3^2=9=3+6=\frac{3×(3-1)}{2}+\frac{3×(3+1)}{2}$
符合题目描述的拆分规则，因此第n幅图对应的等式为：$n^2=\frac{n(n-1)}{2}+\frac{n(n+1)}{2}$
【答案】
(1) 21；$\frac{n(n+1)}{2}$ (2) $n^2$ (3) $n^2$；$\frac{n(n-1)}{2}$；$\frac{n(n+1)}{2}$
【知识点】
数列规律探究，形数性质，等差数列求和
【点评】
本题融入了古希腊数学文化背景，由浅入深引导学生自主归纳不同形数的递推规律，能够有效锻炼学生的归纳推理能力，解题时注意第三问两个相邻三角形数的下标对应关系，不要把两个相邻三角形数的通项写反。
【难度系数】
0.7
三、计算题。(共21分)
1. 直接写得数。(5分)
519+203= 4-1.6= 3.6÷2= 0.23÷0.1= $0.4^{2}=$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=$ $\frac{7}{8}-\frac{3}{4}=$ $52×\frac{7}{13}=$ $\frac{3}{8}÷\frac{2}{9}=$ $0.125×\frac{16}{17}=$
1. 直接写得数。(5分)
519+203= 4-1.6= 3.6÷2= 0.23÷0.1= $0.4^{2}=$
$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=$ $\frac{7}{8}-\frac{3}{4}=$ $52×\frac{7}{13}=$ $\frac{3}{8}÷\frac{2}{9}=$ $0.125×\frac{16}{17}=$
答案
1. 722 2.4 1.8 2.3 0.16 $\frac{8}{15}$ $\frac{1}{8}$ 28
$\frac{27}{16}$ $\frac{2}{17}$
$\frac{27}{16}$ $\frac{2}{17}$
解析
【分析】
这是一道综合口算题，涵盖整数加法、小数四则运算、有理数平方、分数四则运算多个基础运算考点，解题时只需要对应各类运算的计算规则逐个计算即可：整数加法对齐数位拆分简便计算，小数运算对齐小数点/转化为整数运算，异分母分数加减先通分，分数除法转化为乘倒数，能约分的先约分简化计算，部分题目可以利用特殊数的运算特性（比如0.125和8的倍数的关系）快速得出结果。
【解析】
逐个计算各算式：
1. $519+203 = 519+200+3 = 722$
2. $4-1.6 = 2.4$，将4写作4.0对齐小数点相减即可
3. $3.6÷2 = 1.8$，直接按整数除法规则拆分计算
4. $0.23÷0.1 = 2.3$，被除数和除数同时扩大10倍，等价于2.3÷1
5. $0.4^2 = 0.4×0.4 = 0.16$，平方表示两个相同因数相乘
6. $\frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{5}{15}+\frac{3}{15} = \frac{8}{15}$，通分后同分母分数相加
7. $\frac{7}{8}-\frac{3}{4} = \frac{7}{8}-\frac{6}{8} = \frac{1}{8}$，将$\frac{3}{4}$通分为分母是8的分数再相减
8. $52×\frac{7}{13} = 4×7 = 28$，先将52和分母13约分，52÷13=4
9. $\frac{3}{8}÷\frac{2}{9} = \frac{3}{8}×\frac{9}{2} = \frac{27}{16}$，除以一个分数等于乘它的倒数
10. $0.125×\frac{16}{17} = \frac{1}{8}×\frac{16}{17} = \frac{2}{17}$，将0.125转化为$\frac{1}{8}$约分计算
【答案】
722；2.4；1.8；2.3；0.16；$\frac{8}{15}$；$\frac{1}{8}$；28；$\frac{27}{16}$；$\frac{2}{17}$
【知识点】
整数口算加减；小数四则运算；分数四则运算
【点评】
本题是小学高段基础运算综合口算题，覆盖了数与代数板块的基础运算类型，重点考察学生基础运算的熟练度，多数题目可通过简便口算技巧快速得出结果，能够有效巩固学生的基础计算能力，排查运算规则的掌握漏洞。
【难度系数】
0.9
这是一道综合口算题，涵盖整数加法、小数四则运算、有理数平方、分数四则运算多个基础运算考点，解题时只需要对应各类运算的计算规则逐个计算即可：整数加法对齐数位拆分简便计算，小数运算对齐小数点/转化为整数运算，异分母分数加减先通分，分数除法转化为乘倒数，能约分的先约分简化计算，部分题目可以利用特殊数的运算特性（比如0.125和8的倍数的关系）快速得出结果。
【解析】
逐个计算各算式：
1. $519+203 = 519+200+3 = 722$
2. $4-1.6 = 2.4$，将4写作4.0对齐小数点相减即可
3. $3.6÷2 = 1.8$，直接按整数除法规则拆分计算
4. $0.23÷0.1 = 2.3$，被除数和除数同时扩大10倍，等价于2.3÷1
5. $0.4^2 = 0.4×0.4 = 0.16$，平方表示两个相同因数相乘
6. $\frac{1}{3}+\frac{1}{5} = \frac{5}{15}+\frac{3}{15} = \frac{8}{15}$，通分后同分母分数相加
7. $\frac{7}{8}-\frac{3}{4} = \frac{7}{8}-\frac{6}{8} = \frac{1}{8}$，将$\frac{3}{4}$通分为分母是8的分数再相减
8. $52×\frac{7}{13} = 4×7 = 28$，先将52和分母13约分，52÷13=4
9. $\frac{3}{8}÷\frac{2}{9} = \frac{3}{8}×\frac{9}{2} = \frac{27}{16}$，除以一个分数等于乘它的倒数
10. $0.125×\frac{16}{17} = \frac{1}{8}×\frac{16}{17} = \frac{2}{17}$，将0.125转化为$\frac{1}{8}$约分计算
【答案】
722；2.4；1.8；2.3；0.16；$\frac{8}{15}$；$\frac{1}{8}$；28；$\frac{27}{16}$；$\frac{2}{17}$
【知识点】
整数口算加减；小数四则运算；分数四则运算
【点评】
本题是小学高段基础运算综合口算题，覆盖了数与代数板块的基础运算类型，重点考察学生基础运算的熟练度，多数题目可通过简便口算技巧快速得出结果，能够有效巩固学生的基础计算能力，排查运算规则的掌握漏洞。
【难度系数】
0.9
2. 下面各题,怎样算简便就怎样算。(10分)
12.7-3.6-5.4 $32÷\frac{5}{4}÷\frac{8}{3}$
$0.125×32×2.5$ $\frac{23}{11}×5+23×\frac{6}{11}$
12.7-3.6-5.4 $32÷\frac{5}{4}÷\frac{8}{3}$
$0.125×32×2.5$ $\frac{23}{11}×5+23×\frac{6}{11}$
答案
2. 3.7 $\frac{48}{5}$ 10 23
解析
【分析】
这道题要求用简便方法完成四则运算，核心思路是先观察每个算式的数字、运算符号特征，匹配对应的运算定律或性质，通过凑整、合理变形简化计算，避免复杂硬算：
1. 第一题是小数连减，发现后两个减数相加刚好是整数，可直接用减法的性质凑整；
2. 第二题是分数连除，先把除法转化为乘倒数，通过交叉约分就能快速算出结果；
3. 第三题出现0.125和2.5，熟知0.125×8=1、2.5×4=10，因此把32拆成8×4，用乘法结合律分组凑整即可；
4. 第四题是乘加混合运算，先对算式做变形，构造出相同公因数后用乘法分配律提取公因数，大幅简化计算步骤。
【解析】
我们逐个用简便方法计算：
① $12.7-3.6-5.4$
利用减法运算性质：$a-b-c=a-(b+c)$
$=12.7-(3.6+5.4)$
$=12.7-9$
$=3.7$
② $32÷\frac{5}{4}÷\frac{8}{3}$
先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）：
$=32×\frac{4}{5}×\frac{3}{8}$
先对32和8约分，得到整数4：
$=4×4×\frac{3}{5}$
$=\frac{48}{5}$
③ $0.125×32×2.5$
把32拆分为$8×4$，利用乘法结合律分组凑整：
$=0.125×(8×4)×2.5$
$=(0.125×8)×(4×2.5)$
$=1×10$
$=10$
④ $\frac{23}{11}×5+23×\frac{6}{11}$
先对算式变形：$23×\frac{6}{11}=\frac{23}{11}×6$，提取公因数$\frac{23}{11}$：
$=\frac{23}{11}×5+\frac{23}{11}×6$
$=\frac{23}{11}×(5+6)$
$=\frac{23}{11}×11$
$=23$
【答案】
3.7；$\frac{48}{5}$；10；23
【知识点】
减法运算性质，乘法运算定律，分数除法计算
【点评】
本题是小学阶段简便运算的典型基础题型，所有题目都不需要复杂硬算，只要学生熟悉常见凑整组合，能灵活运用运算定律对算式做合理变形，就能快速得到结果，重点考察学生对运算定律的灵活运用能力，避免机械计算。
【难度系数】
0.7
这道题要求用简便方法完成四则运算，核心思路是先观察每个算式的数字、运算符号特征，匹配对应的运算定律或性质，通过凑整、合理变形简化计算，避免复杂硬算：
1. 第一题是小数连减，发现后两个减数相加刚好是整数，可直接用减法的性质凑整；
2. 第二题是分数连除，先把除法转化为乘倒数，通过交叉约分就能快速算出结果；
3. 第三题出现0.125和2.5，熟知0.125×8=1、2.5×4=10，因此把32拆成8×4，用乘法结合律分组凑整即可；
4. 第四题是乘加混合运算，先对算式做变形，构造出相同公因数后用乘法分配律提取公因数，大幅简化计算步骤。
【解析】
我们逐个用简便方法计算：
① $12.7-3.6-5.4$
利用减法运算性质：$a-b-c=a-(b+c)$
$=12.7-(3.6+5.4)$
$=12.7-9$
$=3.7$
② $32÷\frac{5}{4}÷\frac{8}{3}$
先将除法转化为乘法（除以一个数等于乘它的倒数）：
$=32×\frac{4}{5}×\frac{3}{8}$
先对32和8约分，得到整数4：
$=4×4×\frac{3}{5}$
$=\frac{48}{5}$
③ $0.125×32×2.5$
把32拆分为$8×4$，利用乘法结合律分组凑整：
$=0.125×(8×4)×2.5$
$=(0.125×8)×(4×2.5)$
$=1×10$
$=10$
④ $\frac{23}{11}×5+23×\frac{6}{11}$
先对算式变形：$23×\frac{6}{11}=\frac{23}{11}×6$，提取公因数$\frac{23}{11}$：
$=\frac{23}{11}×5+\frac{23}{11}×6$
$=\frac{23}{11}×(5+6)$
$=\frac{23}{11}×11$
$=23$
【答案】
3.7；$\frac{48}{5}$；10；23
【知识点】
减法运算性质，乘法运算定律，分数除法计算
【点评】
本题是小学阶段简便运算的典型基础题型，所有题目都不需要复杂硬算，只要学生熟悉常见凑整组合，能灵活运用运算定律对算式做合理变形，就能快速得到结果，重点考察学生对运算定律的灵活运用能力，避免机械计算。
【难度系数】
0.7
