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五、解答题。(共25分)
1. 一种书包的定价为150元,定价的60%是进价,定价的40%就是赚的钱。年中大庆促销活动即将开始,为保证一个书包赚的钱不少于30元,应该怎样确定折扣?(5分)
1. 一种书包的定价为150元,定价的60%是进价,定价的40%就是赚的钱。年中大庆促销活动即将开始,为保证一个书包赚的钱不少于30元,应该怎样确定折扣?(5分)
答案
1. $150×60\% =90$(元) $(30+90)÷150=80\% $
折扣不低于八折
折扣不低于八折
解析
【分析】
这是一道生活场景中的折扣类实际应用题，解题思路非常清晰：首先我们要先找到题目里的固定不变量也就是书包的进价，根据“定价的60%是进价”这个条件就能直接算出进价；接下来题目要求赚的钱不少于30元，也就是最低利润是30元，用进价加上最低利润就能得到我们允许的最低实际售价；最后用最低实际售价除以原定价，得到最低售价占原定价的百分比，这个百分比对应的就是折扣的下限，就能确定折扣的要求了。
【解析】
1. 计算书包的进价：
已知书包定价为150元，定价的60%是进价，因此进价为：
$150×60\% = 90$（元）
2. 计算满足利润要求的最低实际售价：
要保证赚的钱不少于30元，也就是最低利润为30元，因此最低实际售价为进价加上最低利润：
$90 + 30 = 120$（元）
3. 换算得到对应的折扣下限：
用最低实际售价除以原定价，得到最低售价占原定价的比例：
$120÷150 = 80\%$
售价为原定价的80%对应八折，说明折扣不能低于八折，否则利润就会不足30元。
【答案】
折扣不低于八折
【知识点】
百分数实际应用，折扣问题
【点评】
本题是非常典型的促销类百分数应用题，核心解题关键点是先抓住进价这个不变量，再结合最低利润要求反向推导最低售价，最终换算得到折扣要求，解题时要注意明确“几折”的定义就是售价为原价的百分之几十，不要把折扣比例和售价占比的关系搞反。
【难度系数】
0.7
这是一道生活场景中的折扣类实际应用题，解题思路非常清晰：首先我们要先找到题目里的固定不变量也就是书包的进价，根据“定价的60%是进价”这个条件就能直接算出进价；接下来题目要求赚的钱不少于30元，也就是最低利润是30元，用进价加上最低利润就能得到我们允许的最低实际售价；最后用最低实际售价除以原定价，得到最低售价占原定价的百分比，这个百分比对应的就是折扣的下限，就能确定折扣的要求了。
【解析】
1. 计算书包的进价：
已知书包定价为150元，定价的60%是进价，因此进价为：
$150×60\% = 90$（元）
2. 计算满足利润要求的最低实际售价：
要保证赚的钱不少于30元，也就是最低利润为30元，因此最低实际售价为进价加上最低利润：
$90 + 30 = 120$（元）
3. 换算得到对应的折扣下限：
用最低实际售价除以原定价，得到最低售价占原定价的比例：
$120÷150 = 80\%$
售价为原定价的80%对应八折，说明折扣不能低于八折，否则利润就会不足30元。
【答案】
折扣不低于八折
【知识点】
百分数实际应用，折扣问题
【点评】
本题是非常典型的促销类百分数应用题，核心解题关键点是先抓住进价这个不变量，再结合最低利润要求反向推导最低售价，最终换算得到折扣要求，解题时要注意明确“几折”的定义就是售价为原价的百分之几十，不要把折扣比例和售价占比的关系搞反。
【难度系数】
0.7
2. 右图中,北京到徐州的图上距离是3厘米,徐州到南通的图上距离是2厘米。G2586次列车上午8:30从南通西站开出,2.4小时后行到徐州站,如果不考虑停靠站时间,这列火车什么时候能到达北京南站?(5分)
答案
2. $2.4÷2×3=3.6$(时) $3.6+$
$2.4=6$(时) 8时30分+6时=14时30分
$2.4=6$(时) 8时30分+6时=14时30分
解析
【分析】
这是一道结合图上距离比例关系的行程推算题，解题思路如下：首先已知徐州到南通的图上距离是2厘米，列车走完这段路程用时2.4小时，我们可以先算出每1厘米图上距离对应的列车行驶时长；接着结合北京到徐州的图上距离3厘米，算出徐州到北京需要的行驶时间；之后把两段路程的行驶时间相加得到全程总耗时；最后用列车的出发时间加上总耗时，就能直接推算出到达北京南站的时刻，全程不需要额外计算实际路程，用比例关系就能简化运算。
【解析】
1. 计算徐州到北京的行驶时长
已知徐州到南通图上距离2厘米，对应行驶时间2.4小时，北京到徐州图上距离为3厘米，因此徐州到北京的行驶时间为：
$2.4÷2×3=3.6$（时）
2. 计算全程总行驶时长
将南通到徐州、徐州到北京的行驶时间相加：
$3.6+2.4=6$（时）
3. 推算到达时刻
列车上午8:30从南通西站开出，加上总行驶时长6小时：
8时30分$+6$时$=14$时30分
【答案】
这列火车14时30分能到达北京南站。
【知识点】
行程问题计算，时间推算，比例应用
【点评】
本题没有直接给出各段路程的实际长度，引导学生利用图上距离的比例关系求解行驶时间，避免了复杂的实际路程换算，简化运算的同时，考察了学生对行程基本关系的灵活运用能力，同时巩固了时刻推算的相关知识点，整体难度适中。
【难度系数】
0.7
这是一道结合图上距离比例关系的行程推算题，解题思路如下：首先已知徐州到南通的图上距离是2厘米，列车走完这段路程用时2.4小时，我们可以先算出每1厘米图上距离对应的列车行驶时长；接着结合北京到徐州的图上距离3厘米，算出徐州到北京需要的行驶时间；之后把两段路程的行驶时间相加得到全程总耗时；最后用列车的出发时间加上总耗时，就能直接推算出到达北京南站的时刻，全程不需要额外计算实际路程，用比例关系就能简化运算。
【解析】
1. 计算徐州到北京的行驶时长
已知徐州到南通图上距离2厘米，对应行驶时间2.4小时，北京到徐州图上距离为3厘米，因此徐州到北京的行驶时间为：
$2.4÷2×3=3.6$（时）
2. 计算全程总行驶时长
将南通到徐州、徐州到北京的行驶时间相加：
$3.6+2.4=6$（时）
3. 推算到达时刻
列车上午8:30从南通西站开出，加上总行驶时长6小时：
8时30分$+6$时$=14$时30分
【答案】
这列火车14时30分能到达北京南站。
【知识点】
行程问题计算，时间推算，比例应用
【点评】
本题没有直接给出各段路程的实际长度，引导学生利用图上距离的比例关系求解行驶时间，避免了复杂的实际路程换算，简化运算的同时，考察了学生对行程基本关系的灵活运用能力，同时巩固了时刻推算的相关知识点，整体难度适中。
【难度系数】
0.7
3. 一台压路机的前轮直径是1.5米,后轮直径是2米。欢欢和乐乐在观看压路机压路时做了一个记录,在3分钟时间内,欢欢记录前轮转了40圈,乐乐记录后轮转了30圈。
(1)他们的记录对吗? 请用算式说明。(2分)
(2)如果前轮的轮宽是2.5米,那么在上述时间段内,前轮压过的面积是多少平方米?(3分)
(1)他们的记录对吗? 请用算式说明。(2分)
(2)如果前轮的轮宽是2.5米,那么在上述时间段内,前轮压过的面积是多少平方米?(3分)
答案
3. (1) $1.5π×40=60π$(米) $2π×30=60π$(米) 他们
的记录是对的。 (2) $60π×2.5×3=450π$(平方米)
的记录是对的。 (2) $60π×2.5×3=450π$(平方米)
解析
【分析】
这是圆的周长与圆柱侧面积结合生活场景的应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问判断记录是否正确：同一台压路机相同时间内，前轮和后轮行驶的总路程必然相等。我们可以利用圆的周长公式C=πd，分别计算前轮转40圈的总路程、后轮转30圈的总路程，若两个路程数值相等，就说明两人的记录是符合实际的。
2. 第(2)问求前轮压过的面积：压路机前轮压路的接触面等效为长方形，长方形的长是压路机行驶的总路程，宽等于前轮的轮宽，用总路程乘轮宽即可得到压过的总面积，结合题目给定的3分钟时长完成计算即可。
【解析】
(1) 计算前轮转40圈的总行驶路程：
前轮周长$C_前 = π d_前 = 1.5π$ 米
前轮对应路程：$1.5π × 40 = 60π$ 米
计算后轮转30圈的总行驶路程：
后轮周长$C_后 = π d_后 = 2π$ 米
后轮对应路程：$2π × 30 = 60π$ 米
二者路程相等，说明相同时间内前后轮行驶距离一致，因此他们的记录是对的。
(2) 计算3分钟内前轮压过的总面积：
前轮每分钟行驶路程为$60π$米，3分钟总行驶路程为$60π × 3$米，压路面积等效为长是总路程、宽是轮宽的长方形面积：
$S_{压路} = 60π × 2.5 × 3 = 450π$ 平方米
【答案】
(1) 前轮转40圈路程为$60π$米，后轮转30圈路程为$60π$米，二者相等，他们的记录是对的；(2) 前轮压过的面积是$450π$平方米
【知识点】
圆的周长计算，圆柱侧面积应用
【点评】
本题结合压路机压路的生活场景，考察圆周长和几何图形面积的实际应用，核心要抓住“压路机前后轮同时间行驶路程相等”“压路面积等于行驶总路程乘轮宽”两个关键点，避免混淆转动圈数和总路程的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.7
这是圆的周长与圆柱侧面积结合生活场景的应用题，解题思路如下：
1. 第(1)问判断记录是否正确：同一台压路机相同时间内，前轮和后轮行驶的总路程必然相等。我们可以利用圆的周长公式C=πd，分别计算前轮转40圈的总路程、后轮转30圈的总路程，若两个路程数值相等，就说明两人的记录是符合实际的。
2. 第(2)问求前轮压过的面积：压路机前轮压路的接触面等效为长方形，长方形的长是压路机行驶的总路程，宽等于前轮的轮宽，用总路程乘轮宽即可得到压过的总面积，结合题目给定的3分钟时长完成计算即可。
【解析】
(1) 计算前轮转40圈的总行驶路程：
前轮周长$C_前 = π d_前 = 1.5π$ 米
前轮对应路程：$1.5π × 40 = 60π$ 米
计算后轮转30圈的总行驶路程：
后轮周长$C_后 = π d_后 = 2π$ 米
后轮对应路程：$2π × 30 = 60π$ 米
二者路程相等，说明相同时间内前后轮行驶距离一致，因此他们的记录是对的。
(2) 计算3分钟内前轮压过的总面积：
前轮每分钟行驶路程为$60π$米，3分钟总行驶路程为$60π × 3$米，压路面积等效为长是总路程、宽是轮宽的长方形面积：
$S_{压路} = 60π × 2.5 × 3 = 450π$ 平方米
【答案】
(1) 前轮转40圈路程为$60π$米，后轮转30圈路程为$60π$米，二者相等，他们的记录是对的；(2) 前轮压过的面积是$450π$平方米
【知识点】
圆的周长计算，圆柱侧面积应用
【点评】
本题结合压路机压路的生活场景，考察圆周长和几何图形面积的实际应用，核心要抓住“压路机前后轮同时间行驶路程相等”“压路面积等于行驶总路程乘轮宽”两个关键点，避免混淆转动圈数和总路程的对应关系，难度适中。
【难度系数】
0.7
