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3.小优是个科学迷，在家经常动手做科学小实验，他感觉小区的水质有问题，于是做了个过滤装置进行“污水过滤”的实验，下图是他改装的过滤装置：上层漏斗是近似的圆锥，底面直径是6cm，高5cm，实验规定漏斗中的液体体积不能超过漏斗容积的$\frac{2}{3}$，此时漏斗内水的体积刚好到规定的临界值，漏斗的过滤速度是每秒0.5mL。则漏斗内的水过滤完需要多少秒？
答案
$6÷2=3\ (\mathrm{cm})$
$\frac{1}{3}×3.14×3^2×5=47.1\ (\mathrm{cm}^3)$
$47.1×\frac{2}{3}=31.4\ (\mathrm{cm}^3)=31.4\ (\mathrm{mL})$
$31.4÷0.5=62.8\ (\mathrm{秒})$
答：漏斗内的水过滤完需要62.8秒。
$\frac{1}{3}×3.14×3^2×5=47.1\ (\mathrm{cm}^3)$
$47.1×\frac{2}{3}=31.4\ (\mathrm{cm}^3)=31.4\ (\mathrm{mL})$
$31.4÷0.5=62.8\ (\mathrm{秒})$
答：漏斗内的水过滤完需要62.8秒。
解析
【分析】要解决这个问题，需先求出圆锥漏斗的底面半径，再利用圆锥体积公式算出漏斗总容积，接着根据规定算出漏斗内水的体积，最后用体积除以过滤速度得到过滤时间，每一步都要结合公式和题目要求计算。
【解析】
1. 计算圆锥漏斗的底面半径：已知底面直径是6cm，所以半径$ r = 6÷2 = 3\ (\mathrm{cm}) $。
2. 计算漏斗的总容积：根据圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}π r^2h $，代入数据得：
$ V_{总}=\frac{1}{3}×3.14×3^2×5 = \frac{1}{3}×3.14×9×5 = 47.1\ (\mathrm{cm}^3) $。
3. 计算漏斗内水的体积：题目要求水的体积不超过总容积的$\frac{2}{3}$，所以水的体积$ V_{水}=47.1×\frac{2}{3}=31.4\ (\mathrm{cm}^3) $，又因为$ 1\ \mathrm{cm}^3=1\ \mathrm{mL} $，所以$ 31.4\ \mathrm{cm}^3=31.4\ \mathrm{mL} $。
4. 计算过滤时间：过滤速度是每秒0.5mL，所以时间$ t=31.4÷0.5=62.8\ (\mathrm{秒}) $。
【答案】62.8秒
【知识点】圆锥体积计算、体积单位换算、小数乘除法
【点评】本题结合实际实验场景，考查圆锥体积公式的应用，解题时需注意体积单位的换算，步骤清晰，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.7
【解析】
1. 计算圆锥漏斗的底面半径：已知底面直径是6cm，所以半径$ r = 6÷2 = 3\ (\mathrm{cm}) $。
2. 计算漏斗的总容积：根据圆锥体积公式$ V=\frac{1}{3}π r^2h $，代入数据得：
$ V_{总}=\frac{1}{3}×3.14×3^2×5 = \frac{1}{3}×3.14×9×5 = 47.1\ (\mathrm{cm}^3) $。
3. 计算漏斗内水的体积：题目要求水的体积不超过总容积的$\frac{2}{3}$，所以水的体积$ V_{水}=47.1×\frac{2}{3}=31.4\ (\mathrm{cm}^3) $，又因为$ 1\ \mathrm{cm}^3=1\ \mathrm{mL} $，所以$ 31.4\ \mathrm{cm}^3=31.4\ \mathrm{mL} $。
4. 计算过滤时间：过滤速度是每秒0.5mL，所以时间$ t=31.4÷0.5=62.8\ (\mathrm{秒}) $。
【答案】62.8秒
【知识点】圆锥体积计算、体积单位换算、小数乘除法
【点评】本题结合实际实验场景，考查圆锥体积公式的应用，解题时需注意体积单位的换算，步骤清晰，属于基础几何应用题目。
【难度系数】0.7
4.从古代到近代,匠人们打铁时,用火将铁烧红变软,然后用锤子击打成想要的形状,最后放到凉水里迅速冷却,以增加铁的硬度,这就是“淬火”。一铁匠将底面半径为10cm的圆柱形铁块烧红,击打成与它底面大小相同的圆锥形,然后将其完全没入一底面积为$31.4dm^2$的长方体容器里淬火,水面上升了1.5cm(水未溢出)。请你计算这个圆锥的高是多少厘米。(损耗忽略不计)
答案
31.4dm² = 3140cm²
圆锥体积：3140×1.5 = 4710（cm³）
圆锥的底面积：3.14×10² = 314（cm²）
圆锥的高：4710×3÷314 = 45（cm）
答：这个圆锥的高是45厘米。
圆锥体积：3140×1.5 = 4710（cm³）
圆锥的底面积：3.14×10² = 314（cm²）
圆锥的高：4710×3÷314 = 45（cm）
答：这个圆锥的高是45厘米。
解析
【分析】
本题是立体图形体积的实际应用问题，核心利用“等积变形”思想：铁块锻造前后体积不变，圆锥完全浸没时，水面上升的体积等于圆锥的体积。解题步骤为：①统一单位，将容器底面积换算为平方厘米；②计算水面上升的体积（即圆锥体积）；③计算圆锥的底面积；④根据圆锥体积公式变形求高。
【解析】
解：先统一单位：$31.4dm^2 = 3140cm^2$
1. 计算圆锥体积（等于水面上升的体积）：
$V_{圆锥}=3140×1.5 = 4710（cm^3）$
2. 计算圆锥的底面积：
$S_{圆锥}=3.14×10^2 = 314（cm^2）$
3. 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形得$h=\frac{3V}{S}$，代入计算高：
$h=\frac{3×4710}{314}=45（cm）$
【答案】
45厘米
【知识点】
圆锥体积公式应用、长方体体积计算、单位换算
【点评】
本题结合“淬火”实际场景，考查体积等积变形，需明确圆锥体积与水面上升体积的等量关系，注意单位统一和公式灵活变形，是一道综合性适中的立体几何应用题。
【难度系数】
0.6
本题是立体图形体积的实际应用问题，核心利用“等积变形”思想：铁块锻造前后体积不变，圆锥完全浸没时，水面上升的体积等于圆锥的体积。解题步骤为：①统一单位，将容器底面积换算为平方厘米；②计算水面上升的体积（即圆锥体积）；③计算圆锥的底面积；④根据圆锥体积公式变形求高。
【解析】
解：先统一单位：$31.4dm^2 = 3140cm^2$
1. 计算圆锥体积（等于水面上升的体积）：
$V_{圆锥}=3140×1.5 = 4710（cm^3）$
2. 计算圆锥的底面积：
$S_{圆锥}=3.14×10^2 = 314（cm^2）$
3. 根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，变形得$h=\frac{3V}{S}$，代入计算高：
$h=\frac{3×4710}{314}=45（cm）$
【答案】
45厘米
【知识点】
圆锥体积公式应用、长方体体积计算、单位换算
【点评】
本题结合“淬火”实际场景，考查体积等积变形，需明确圆锥体积与水面上升体积的等量关系，注意单位统一和公式灵活变形，是一道综合性适中的立体几何应用题。
【难度系数】
0.6
5.杭州宇树科技生产的机器人亮相2025年春晚，表演了舞蹈《秧BOT》，引起大家强烈的关注，标志着我国机器人的设计与生产进入新的高度。据统计，目前宇树科技人形机器人出货量位居全球前列，四足机器狗全球市场占有率更是超过60%。宇树科技公司计划生产400台机器人，第一周完成了计划产量的$\frac{1}{4}$，第二周完成了计划的$\frac{3}{8}$。机器人的圆柱形电池外壳底面半径是5厘米，高是14厘米，给机器人电池外壳(无盖)贴保护膜，每平方厘米保护膜成本0.6元，根据题意解决以下问题。
(1)$400×(\frac{3}{8}-\frac{1}{4})$解决的问题是();
请在下边的线段图中画出第二周生产的部分。
(2)生产两周后，还剩下多少台机器人没生产？
(3)制作一个机器人的电池外壳(无盖)需要多少平方厘米的材料？
(1)$400×(\frac{3}{8}-\frac{1}{4})$解决的问题是();
请在下边的线段图中画出第二周生产的部分。
(2)生产两周后，还剩下多少台机器人没生产？
(3)制作一个机器人的电池外壳(无盖)需要多少平方厘米的材料？
答案
(1) 第二周比第一周多生产多少台机器人
线段图绘制：在整条代表400台的线段上，从第一周线段的右端点开始，向右截取占整条线段总长度$\frac{3}{8}$的部分，用标注框标出该部分为“第二周”。
(2)
$400×(1-\frac{1}{4}-\frac{3}{8})$
$=400×\frac{3}{8}$
$=150$（台）
答：还剩下150台机器人没生产。
(3)
$3.14×5^2 + 2×3.14×5×14$
$=78.5 + 439.6$
$=518.1$（平方厘米）
答：制作一个机器人的电池外壳(无盖)需要518.1平方厘米的材料。
线段图绘制：在整条代表400台的线段上，从第一周线段的右端点开始，向右截取占整条线段总长度$\frac{3}{8}$的部分，用标注框标出该部分为“第二周”。
(2)
$400×(1-\frac{1}{4}-\frac{3}{8})$
$=400×\frac{3}{8}$
$=150$（台）
答：还剩下150台机器人没生产。
(3)
$3.14×5^2 + 2×3.14×5×14$
$=78.5 + 439.6$
$=518.1$（平方厘米）
答：制作一个机器人的电池外壳(无盖)需要518.1平方厘米的材料。
解析
【分析】
1. 对于(1)：先明确计划生产总量为400台，第一周完成计划的$\frac{1}{4}$，第二周完成计划的$\frac{3}{8}$，式子中$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}$是第二周比第一周多完成计划的分率，乘总量400即可得到多生产的台数；画线段图时，将代表400台的线段看作单位“1”，平均分成8份，第一周占2份（对应$\frac{1}{4}$），第二周占3份，从第一周线段右端点开始向右截取3份长度标注为第二周。
2. 对于(2)：求剩余台数，先算出两周完成的分率和，用1减去该和得到剩余分率，再乘总量400即可。
3. 对于(3)：无盖圆柱的表面积=底面积+侧面积，分别代入底面积公式$πr²$和侧面积公式$2πrh$计算求和。
【解析】
(1) 计划生产400台，第一周完成$\frac{1}{4}$，第二周完成$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}$表示第二周比第一周多完成计划的分率，因此$400×(\frac{3}{8}-\frac{1}{4})$解决的是“第二周比第一周多生产多少台机器人”。
线段图绘制：将代表400台的线段平均分成8份，第一周占2份，从第一周线段右端点开始向右截取3份长度的部分，标注为“第二周”。
(2) 剩余台数占计划的分率：$1-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$，剩余台数：$400×\frac{3}{8}=150$（台）。
(3) 无盖圆柱的底面积：$3.14×5²=78.5$（平方厘米），侧面积：$2×3.14×5×14=439.6$（平方厘米），总面积：$78.5+439.6=518.1$（平方厘米）。
【答案】
(1) 第二周比第一周多生产多少台机器人；线段图：在代表400台的线段上，从第一周线段右端点开始，向右截取占总长度$\frac{3}{8}$的部分，标注“第二周”。
(2) 150台
(3) 518.1平方厘米
【知识点】
分数乘法应用题，圆柱表面积计算，线段图应用
【点评】
本题结合实际生产场景，考查分数的意义、分数乘法的应用以及无盖圆柱表面积的计算，知识点基础，贴近生活，需要学生准确理解分率含义和圆柱表面积公式。
【难度系数】
0.6
1. 对于(1)：先明确计划生产总量为400台，第一周完成计划的$\frac{1}{4}$，第二周完成计划的$\frac{3}{8}$，式子中$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}$是第二周比第一周多完成计划的分率，乘总量400即可得到多生产的台数；画线段图时，将代表400台的线段看作单位“1”，平均分成8份，第一周占2份（对应$\frac{1}{4}$），第二周占3份，从第一周线段右端点开始向右截取3份长度标注为第二周。
2. 对于(2)：求剩余台数，先算出两周完成的分率和，用1减去该和得到剩余分率，再乘总量400即可。
3. 对于(3)：无盖圆柱的表面积=底面积+侧面积，分别代入底面积公式$πr²$和侧面积公式$2πrh$计算求和。
【解析】
(1) 计划生产400台，第一周完成$\frac{1}{4}$，第二周完成$\frac{3}{8}$，$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}$表示第二周比第一周多完成计划的分率，因此$400×(\frac{3}{8}-\frac{1}{4})$解决的是“第二周比第一周多生产多少台机器人”。
线段图绘制：将代表400台的线段平均分成8份，第一周占2份，从第一周线段右端点开始向右截取3份长度的部分，标注为“第二周”。
(2) 剩余台数占计划的分率：$1-\frac{1}{4}-\frac{3}{8}=\frac{3}{8}$，剩余台数：$400×\frac{3}{8}=150$（台）。
(3) 无盖圆柱的底面积：$3.14×5²=78.5$（平方厘米），侧面积：$2×3.14×5×14=439.6$（平方厘米），总面积：$78.5+439.6=518.1$（平方厘米）。
【答案】
(1) 第二周比第一周多生产多少台机器人；线段图：在代表400台的线段上，从第一周线段右端点开始，向右截取占总长度$\frac{3}{8}$的部分，标注“第二周”。
(2) 150台
(3) 518.1平方厘米
【知识点】
分数乘法应用题，圆柱表面积计算，线段图应用
【点评】
本题结合实际生产场景，考查分数的意义、分数乘法的应用以及无盖圆柱表面积的计算，知识点基础，贴近生活，需要学生准确理解分率含义和圆柱表面积公式。
【难度系数】
0.6
