1. 计算:(1)$(3x-1)(-1-3x)$;
(2)$(a+2b)(a-2b)-\dfrac{1}{2}b(a-8b)$.

1.【解】(1)原式$=(-1+3x)(-1-3x)=(-1)^2-(3x)^2=1-9x^2$.
(2)原式$=a^2-4b^2-\dfrac{1}{2}ab+4b^2=a^2-\dfrac{1}{2}ab$.

【分析】
（1）观察算式$(3x-1)(-1-3x)$，可调整项的顺序后发现，两个因式中相同项为$-1$，互为相反项为$3x$和$-3x$，完全符合平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的结构特征，因此可以直接套用平方差公式简便计算，无需逐项展开多项式乘法。
（2）本题属于整式混合运算，按照先乘除后加减的顺序计算：前半部分$(a+2b)(a-2b)$符合平方差公式特征，先利用公式展开；后半部分是单项式乘多项式，按照对应法则展开即可，最后合并同类项得到最简结果，运算时需特别注意负号的处理。
【解析】
(1) 调整因式中项的顺序，凑平方差公式标准形式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(-1+3x)(-1-3x)\\&=(-1)^2-(3x)^2\\&=1-9x^2\end{aligned}$
(2) 先分别计算乘法部分，再合并同类项：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=a^2-(2b)^2-(\dfrac{1}{2}ab-\dfrac{1}{2}b×8b)\\&=a^2-4b^2-\dfrac{1}{2}ab+4b^2\\&=a^2-\dfrac{1}{2}ab\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{1-9x^2}$；(2) $\boxed{a^2-\dfrac{1}{2}ab}$
【知识点】
平方差公式；单项式乘多项式；合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别公式中“相同项”和“相反项”，运算过程中注意符号规则，避免去括号、合并同类项时出现符号错误。
【难度系数】
0.8

【典型例题2】运用平方差公式计算：
(1)$59.9×60.1$；(2)$20\dfrac{3}{5}×19\dfrac{2}{5}$。
思路导引 相乘的两个有理数，如果可以分别拆成较为简单的两个数的和与差时，就可以运用平方差公式简化运算过程。
【解】(1)$59.9×60.1=(60-0.1)×(60+0.1)=60^2 - 0.1^2=3600 - 0.01=3599.99$。
(2)$20\dfrac{3}{5}×19\dfrac{2}{5}=(20+\dfrac{3}{5})×(20-\dfrac{3}{5})=20^2 - (\dfrac{3}{5})^2=400 - \dfrac{9}{25}=399\dfrac{16}{25}$。
规律方法 运用平方差公式简便计算的关键是将形如$m·n$的两数化为$(a+b)·(a-b)$的形式，其中$a=\dfrac{m+n}{2},b=\dfrac{m-n}{2}$。

解：
(1) $59.9×60.1=(60-0.1)×(60+0.1)$
$=60^2 - 0.1^2$
$=3600 - 0.01$
$=3599.99$
(2) $20\dfrac{3}{5}×19\dfrac{2}{5}=(20+\dfrac{3}{5})×(20-\dfrac{3}{5})$
$=20^2 - (\dfrac{3}{5})^2$
$=400 - \dfrac{9}{25}$
$=399\dfrac{16}{25}$

【分析】
本题考查利用平方差公式进行有理数的简便计算。解题思路为：首先观察相乘两个数的特征，发现两组乘数均与同一个整数的差值大小相同，因此可将两个乘数分别改写为同一个数加一个数、同一个数减同一个数的形式，即凑出平方差公式$(a+b)(a-b)$的结构，再套用平方差公式$a^2-b^2$计算，即可避免复杂的多位数乘法，快速得到结果。
【解析】
(1) 计算$59.9×60.1$时，可将两个数拆分为与60相关的和与差：
$59.9×60.1=(60-0.1)×(60+0.1)$
$=60^2 - 0.1^2$
$=3600 - 0.01$
$=3599.99$
(2) 计算$20\dfrac{3}{5}×19\dfrac{2}{5}$时，可将两个数拆分为与20相关的和与差：
$20\dfrac{3}{5}×19\dfrac{2}{5}=(20+\dfrac{3}{5})×(20-\dfrac{3}{5})$
$=20^2 - (\dfrac{3}{5})^2$
$=400 - \dfrac{9}{25}$
$=399\dfrac{16}{25}$
【答案】
(1) $\boxed{3599.99}$；(2) $\boxed{399\dfrac{16}{25}}$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是平方差公式在数值计算中的典型应用，解题核心是掌握将两个乘数转化为$(a+b)(a-b)$结构的技巧，运用该方法能大幅简化计算步骤，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.8

2. 运用平方差公式进行计算：
$2025^2 - 2024 × 2026.$

2.【解】原式$=2\ 025^2-(2\ 025-1)×(2\ 025+1)=2\ 025^2-(2\ 025^2-1)=1$.

【分析】
观察待计算的式子，发现相乘的两个数2024、2026分别与2025相差1，因此可以将2024转化为2025-1，2026转化为2025+1，此时2024×2026就符合平方差公式$(a-b)(a+b)$的结构，代入公式展开后即可和前面的$2025^2$抵消，无需计算大数的平方即可快速得到结果。
【解析】
解：原式$=2025^2-(2025-1)×(2025+1)$
$=2025^2-(2025^2-1^2)$
$=2025^2-2025^2+1$
$=1$
【答案】
$1$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是平方差公式在简便计算中的典型应用，核心是通过观察数字特征，对相近数字进行变形构造出平方差公式的结构，从而大幅简化运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8

1. 下列多项式的乘法中，能用平方差公式计算的是（）

A.$(5x-1)(5x-1)$
B.$(x-3)(-3+x)$
C.$(3m+n)(-n+3m)$
D.$(y-2)(y+4)$

1. C 【解析】$(3m + n)(-n + 3m) = (3m + n)(3m-n)$,可用平方差公式计算,故选 C.

【分析】
要判断能否用平方差公式计算，首先要明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，存在一组完全相同的项，另一组互为相反数的项，即符合$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$的形式。解题时只需逐个分析选项中两个相乘的多项式，是否符合“一项相同、另一项相反”的特征即可。
【解析】
平方差公式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，其适用特征为：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数。
对各选项逐一分析：
A选项：$(5x-1)(5x-1)=(5x-1)^2$，两个因式的两项均完全相同，属于完全平方公式的适用形式，不符合平方差公式要求，排除；
B选项：$(x-3)(-3+x)=(x-3)(x-3)=(x-3)^2$，两个因式的两项均完全相同，属于完全平方公式的适用形式，不符合要求，排除；
C选项：$(3m+n)(-n+3m)=(3m+n)(3m-n)$，其中相同项为$3m$，互为相反数的项为$n$和$-n$，符合平方差公式的特征，可使用平方差公式计算；
D选项：$(y-2)(y+4)$，仅$y$为相同项，另一项$-2$和$+4$不互为相反数，不符合平方差公式要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式的特征
【点评】
本题是对平方差公式基础概念的考查，解题核心是准确区分相乘多项式中的相同项与相反项，牢记公式结构即可快速做出判断。
【难度系数】
0.85

2.若$(-mx -3y)(mx -3y)= -49x^2 +9y^2$，则$m$的值为（）

A.7
B.$-7$
C.$\pm7$
D.以上都不对

2. C 【解析】根据题意,得 $9y^2 - m^2 x^2 = - 49x^2 + 9y^2$,所以 $m^2=49,m=\pm7$.

【分析】
首先观察等式左边的乘积形式，符合平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中-3y是完全相同的项，-mx和mx是互为相反数的项。解题时先利用平方差公式展开左边的式子，再将展开结果与等式右边的多项式对比，让同类项的系数相等即可求出m的值，注意平方等于正数的数有正负两个解，不要漏解。
【解析】
第一步，对等式左边运用平方差公式计算：
将$(-mx -3y)(mx -3y)$中的相同项$-3y$看作平方差公式中的"$a$"，互为相反项的$-mx$和$mx$看作平方差公式中的"$b$"，因此：
$\begin{aligned}(-mx -3y)(mx -3y)&=(-3y - mx)(-3y + mx)\\&=(-3y)^2 - (mx)^2\\&=9y^2 - m^2x^2\end{aligned}$
第二步，根据等式左右两边相等，对应同类项系数相等：
已知$9y^2 - m^2x^2 = -49x^2 + 9y^2$，两边同时减去$9y^2$得：
$-m^2x^2 = -49x^2$
约去两边的$-x^2$可得$m^2=49$，解得$m=\pm7$。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算；代数式恒等变形
【点评】
本题重点考查平方差公式的灵活应用，解题的核心是准确区分平方差公式中的相同项和相反项，同时要注意正数的平方根有两个、互为相反数，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7

3. $(a + \_\_\_\_\_\_)(2 - \_\_\_\_\_\_) = 4 - a^2$

3. 2 a 【解析】根据平方差公式的特征,有$(a + 2)(2-a)=(2+a)(2-a)=4-a^2$.

【分析】
本题考查平方差公式的逆用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$。观察等式右侧的$4-a^2$，可变形为$2^2 - a^2$，符合平方差公式右侧的形式，因此只需对应找到左侧两个因式中缺失的相同项和相反项即可。
【解析】
首先明确平方差公式：$\boxed{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，其中$x$是两个因式中相同的项，$y$是互为相反的项。
将等式右侧的$4-a^2$改写为平方差形式：$4-a^2=2^2 - a^2$，对应平方差公式右侧可知，相同项为$2$，相反项为$a$，因此左侧因式应为$(2+a)(2-a)$，调整第一个因式的顺序可得$(a+2)(2-a)$，因此第一个空填$2$，第二个空填$a$。
验证：$(a+2)(2-a)=(2+a)(2-a)=2^2 - a^2=4-a^2$，符合原式。
【答案】
$2$；$a$
【知识点】
平方差公式
【点评】
本题属于基础题，主要考查平方差公式的逆应用，解题关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，准确区分公式中的相同项和相反项即可快速求解。
【难度系数】
0.9