8.如图,若线段MN将由边长为6,8,m的三个正方形组成的图形分成了面积相等的两部分,则m的值为。

8.2或6

【分析】
要解决线段平分组合图形面积的问题，我们可以按以下思路思考：首先计算三个正方形的总面积，平分后每部分的面积就是总面积的一半；接着我们利用割补法，计算MN下方属于原图形的面积：先求出由M、N和N点的水平投影点构成的直角三角形的面积，再减去三角形内不属于原图形的左上角空白区域的面积，即可得到MN下方原图形的面积；最后根据“MN下方原图形面积等于总面积一半”的等量关系列方程求解即可。
【解析】
1. 计算三个正方形的总面积：
$S_{\mathrm{总}} = 6^2 + 8^2 + m^2 = 100 + m^2$
因为MN将图形分成面积相等的两部分，所以每部分面积为$\frac{S_{\mathrm{总}}}{2} = \frac{100 + m^2}{2}$。
2. 计算MN下方直角三角形的面积：
该直角三角形的底为$6+8+m=14+m$，高为8，因此面积为：
$S_{\mathrm{三角形}} = \frac{1}{2} × (14+m) × 8 = 4(14+m) = 56 + 4m$
3. 计算三角形内的空白区域面积：
左边正方形边长为6，比中间正方形矮$8-6=2$，因此左上角空白矩形的面积为：
$S_{\mathrm{空白}} = 6 × 2 = 12$
4. 列方程求解：
MN下方原图形的面积 = 直角三角形面积 - 空白面积，等于总面积的一半，因此：
$56 + 4m - 12 = \frac{100 + m^2}{2}$
整理得：
$44 + 4m = \frac{100 + m^2}{2}$
两边同乘2得：
$88 + 8m = 100 + m^2$
即$m^2 - 8m + 12 = 0$，因式分解得$(m-2)(m-6)=0$，解得$m=2$或$m=6$，均符合边长为正的要求。
【答案】
2或6
【知识点】
割补法求面积，一元二次方程的应用，组合图形面积计算
【点评】
本题核心是利用割补法将不规则图形的面积转化为规则图形的面积差，进而找到等量关系列方程求解，解题时要注意准确识别图形中的空白区域，避免计算出错，同时得到方程的解后要验证是否符合实际意义。
【难度系数】
0.6

9. 如图，$AB=4\ \mathrm{cm}$，线段$AB$上的点$C$把线段分成两段，其中$AC$是较短的一段，且$AC:CB=CB:AB$，求$CB$的长.

设 CB 的长为 x cm,则 AC 的长为(4-x)cm.
∵AC:CB=CB:AB，
∴(4-x):x=x:4,即 x²+4x-16=0.
解得 x₁=-2+2√5,x₂=-2-2√5(不合题意,舍去).
因此,CB 的长为(-2+2√5)cm.

【分析】
解题时首先结合题中给出的线段比例关系，采用设未知数列方程的方法求解：第一步设CB的长度为x cm，结合AB总长为4 cm，可表示出AC的长度为(4-x)cm；第二步将AC、CB、AB的长度代入比例式AC:CB=CB:AB，利用比例的基本性质将比例式转化为一元二次方程；第三步求解方程，结合线段长度为正数的实际要求舍去负根，即可得到CB的长度。
【解析】
解：设$CB$的长为$x\ \mathrm{cm}$，则$AC$的长为$(4-x)\ \mathrm{cm}$。
$\because AC:CB=CB:AB$，
$\therefore (4-x):x=x:4$，
根据比例的基本性质交叉相乘得：$x^2=4(4-x)$，
整理得：$x^2+4x-16=0$，
解得：$x_1=-2+2\sqrt{5}$，$x_2=-2-2\sqrt{5}$，
$\because$ 线段长度为正数，$x_2=-2-2\sqrt{5}＜0$，不合题意，舍去。
【答案】
$(-2+2\sqrt{5})\ \mathrm{cm}$
【知识点】
比例的基本性质；一元二次方程的解法；比例线段
【点评】
本题是比例线段与一元二次方程结合的常规应用题，解题核心是根据给定的比例关系正确列方程，求解后要注意结合线段长度的实际意义舍去不符合要求的根，掌握相关基础知识点即可轻松解题。
【难度系数】
0.7

10.一个矩形养鸡场如图所示,养鸡场的一边靠墙,墙长22 m,围成养鸡场的篱笆长40 m,为方便进出,留出了两扇宽均为2 m的门.若养鸡场的面积是160 m²,求养鸡场的宽(AB 的长).

设 AB 的长为 x m,则 AD 的长为(44-3x)m.
根据题意,得 x(44-3x)=160.
解得 x₁=20/3,x₂=8.
当 x=20/3 时,44-3x=44-3×20/3=24,24＞22,不合题意,舍去.
当 x=8 时,44-3x=44-3×8=20,20＜22,符合题意.
因此,养鸡场的宽是 8 m.

【分析】
这是一道结合几何图形的一元二次方程实际应用题，解题思路如下：首先明确等量关系为矩形面积=长×宽。第一步设未知数，设AB的长为x m；第二步推导平行于墙的边AD的长度：观察图形可知垂直于墙的篱笆共有3段，每段长度均等于AB的长x，总长度为3x；已知篱笆总长40m，另有两扇宽均为2m的门不需要篱笆，因此平行于墙的AD边长等于篱笆总长加上两扇门的宽度，再减去3段垂直墙的篱笆总长度，即(40+2×2-3x)=(44-3x)m；第三步根据面积为160m²列方程求解；最后要结合墙长22m的限制条件，对求出的根进行检验，舍去不符合实际的解，得到最终结果。
【解析】
解：设养鸡场的宽AB的长为x m，则平行于墙的边AD的长为(44-3x)m。
根据题意列方程得：
$x(44-3x)=160$
解得：$x_1=\frac{20}{3}$，$x_2=8$。
检验：当$x=\frac{20}{3}$时，$44-3x=44-3×\frac{20}{3}=24$，$24＞22$，超出墙的最大长度，不合题意，舍去；
当$x=8$时，$44-3x=44-3×8=20$，$20＜22$，符合墙长的限制条件。
【答案】
8 m
【知识点】
一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】
本题属于常见的实际应用类题型，解题的核心是正确用含未知数的式子表示出矩形的两条边长，同时要注意结合题目中的实际限制条件对求解得到的根进行取舍，避免得到不符合实际的答案。
【难度系数】
0.7

11.一幅长20 cm，宽12 cm的图案如图所示，图案中有一横两竖的阴影，横向和竖向阴影的宽度比为3：2.若阴影面积是图案面积的$\frac{2}{5}$，求横向阴影的宽度.

设横向阴影的宽度为 3x cm,则竖向阴影的宽度为 2x cm.
根据题意,得 20×3x+2×(12-3x)×2x=20×12×2/5.
解得 x₁=1,x₂=8.
当 x=1 时,3x=3×1=3,3＜12,符合题意.
当 x=8 时,3x=3×8=24,24＞20,不合题意,舍去.
因此,横向阴影的宽度为 3 cm.

【分析】
解题可按以下思路推进：①根据横向、竖向阴影的宽度比3:2，设横向阴影宽度为3x cm，竖向阴影宽度为2x cm，用含x的式子表示各阴影部分的尺寸；②计算阴影面积时，注意横向和竖向阴影存在重叠部分，为避免重复计算，竖向阴影的高度需要减去横向阴影的宽度；③根据“阴影面积是图案面积的$\frac{2}{5}$”这一等量关系列一元二次方程；④解方程后，结合阴影宽度不能超过图案长宽的实际意义，舍去不符合要求的根，得到最终结果。
【解析】
解：设横向阴影的宽度为3x cm，则竖向阴影的宽度为2x cm。
图案总面积为$20×12=240\ \mathrm{cm}^2$，因此阴影面积为$240×\frac{2}{5}=96\ \mathrm{cm}^2$。
横向阴影的面积为$20×3x$，2条竖向阴影未和横向阴影重叠部分的总面积为$2×(12-3x)×2x$，根据题意列方程：
$20× 3x + 2× (12-3x)× 2x = 20× 12× \frac{2}{5}$
整理方程得：
$108x-12x^2=96$
$x^2-9x+8=0$
因式分解得$(x-1)(x-8)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=8$。
检验：当$x=1$时，$3x=3＜12$，符合实际意义；当$x=8$时，$3x=24＞12$，超出图案宽度，不合题意，舍去。
因此横向阴影的宽度为$3×1=3$cm。
【答案】
3 cm
【知识点】
一元二次方程应用，几何面积计算，根的实际检验
【点评】
本题是几何与方程结合的典型应用题，解题核心是准确找到等量关系列方程，同时要注意避免重叠部分的重复计算，方程求解后必须结合实际场景检验根的合理性，排除不符合实际的解。
【难度系数】
0.7

12.如图,在$△ ABC$中,$∠ B = 90°,AB = 5\ \mathrm{cm},BC=7\ \mathrm{cm}$.点$P$从点$A$出发,以$1\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,同时点$Q$从点$B$出发,以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动.当点$Q$到达点$C$时,$P,Q$两点同时停止运动.
(1)出发几秒时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$?
(2)出发几秒时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$?
(3)在第(1)问中,$△ PBQ$的面积能为$7\ \mathrm{cm}^2$吗?若能,求出$P,Q$出发的时间;若不能,请说明理由.

(1)设出发 t s 时△PBQ的面积为 4 cm²,则 AP=t cm,PB=(5-t)cm,BQ=2t cm.
根据题意,得 1/2×2t·(5-t)=4.
解得 t₁=1,t₂=4(不合题意,舍去).
因此,出发 1 s 时△PBQ的面积为 4 cm².
(2)设出发 m s 时 PQ 的长度为 5 cm,则 AP=m cm,PB=(5-m)cm,BQ=2m cm.
根据题意,得(5-m)²+(2m)²=5².
解得 m₁=2,m₂=0(不合题意,舍去).
因此,出发 2 s 时 PQ 的长度为 5 cm.
(3)不能.理由如下:
设出发 n s 时△PBQ的面积为 7 cm².
根据题意,得 1/2×2n·(5-n)=7.
整理,得 n²-5n+7=0.
∵Δ=b²-4ac=(-5)²-4×1×7=-3＜0,
∴方程没有实数根.
∴△PBQ的面积不能为 7 cm².

【分析】
这是一道几何动点结合一元二次方程应用的题目，解题思路如下：首先确定运动时间的取值范围：点Q从B到C的总时间为$7÷2=3.5\ \mathrm{s}$，因此运动时间t的范围是$0≤ t≤3.5$。三个小问均先设运动时间为未知数，用含未知数的代数式表示出$△ PBQ$的两条直角边$PB$、$BQ$的长度：①第(1)问利用直角三角形面积公式列一元二次方程，求解后舍去超出时间范围的根即可；②第(2)问因为$∠ B$是直角，结合勾股定理列方程求解，舍去不符合题意的根；③第(3)问按面积为$7\ \mathrm{cm}^2$列方程，通过计算一元二次方程的根的判别式判断方程是否有实根，即可判断该情况是否存在。
【解析】
(1) 设出发$t\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$，则$AP=t\ \mathrm{cm}$，$PB=(5-t)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2t\ \mathrm{cm}$。
根据直角三角形面积公式得：
$\frac{1}{2}×2t·(5-t)=4$
整理得$t^2-5t+4=0$，解得$t_1=1$，$t_2=4$。
$\because t=4＞3.5$，不符合运动时间范围，舍去，因此$t=1$。
(2) 设出发$m\ \mathrm{s}$时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$，则$PB=(5-m)\ \mathrm{cm}$，$BQ=2m\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ PBQ$中，由勾股定理得：
$(5-m)^2+(2m)^2=5^2$
整理得$5m^2-10m=0$，解得$m_1=2$，$m_2=0$。
$\because m=0$为初始时刻，不符合题意，舍去，因此$m=2$。
(3) 不能，理由如下：
设出发$n\ \mathrm{s}$时$△ PBQ$的面积为$7\ \mathrm{cm}^2$，根据面积公式列方程：
$\frac{1}{2}×2n·(5-n)=7$
整理得$n^2-5n+7=0$。
$\because\Delta =b^2-4ac=(-5)^2-4×1×7=-3＜0$，
$\therefore$该方程没有实数根，即$△ PBQ$的面积不能为$7\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) 出发$\boldsymbol{1\ \mathrm{s}}$时$△ PBQ$的面积为$4\ \mathrm{cm}^2$；
(2) 出发$\boldsymbol{2\ \mathrm{s}}$时$PQ$的长度为$5\ \mathrm{cm}$；
(3) 不能，理由见解析。
【知识点】
一元二次方程的应用；勾股定理；根的判别式
【点评】
本题是动点问题与一元二次方程结合的典型题型，解题核心是用含时间的代数式正确表示相关线段长度，结合几何性质列方程，同时要注意结合动点的运动范围检验方程的根是否符合实际意义，这类问题也常用根的判别式判断某类情况是否存在。
【难度系数】
0.7