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【典型例题2】某品牌新能源汽车2026年1月的销售量为9 000辆，2026年3月的销售量为12 960辆，则该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为（）
A. 44% B. 25% C. 22% D. 20%
【解析】设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$.
根据题意，得$9000(1+x)^2=12960$.
解得$x_1=0.2,x_2=-2.2$（不合题意，舍去）.
因此，该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%.
故选D.
【答案】D
规律方法 若$a$为增长（或下降）的基础数，$x$为增长（或下降）率，$n$为增长（或下降）的次数，$b$为增长（或下降）后的数量，则$a(1\pm x)^n = b$.
A. 44% B. 25% C. 22% D. 20%
【解析】设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$.
根据题意，得$9000(1+x)^2=12960$.
解得$x_1=0.2,x_2=-2.2$（不合题意，舍去）.
因此，该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为20%.
故选D.
【答案】D
规律方法 若$a$为增长（或下降）的基础数，$x$为增长（或下降）率，$n$为增长（或下降）的次数，$b$为增长（或下降）后的数量，则$a(1\pm x)^n = b$.
答案
解：设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
整理，得$(1+x)^2=1.44$
开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，$x=-2.2$不合题意，舍去。
所以月平均增长率为$0.2=20\%$。
故选D。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
整理，得$(1+x)^2=1.44$
开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，$x=-2.2$不合题意，舍去。
所以月平均增长率为$0.2=20\%$。
故选D。
解析
【分析】
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确已知量：1月销售量是增长的基础量为9000辆，从1月到3月共经过2次月增长，3月销售量是增长2次后的最终量为12960辆；2. 设月平均增长率为x，套用平均增长率公式列方程；3. 求解一元二次方程，结合增长率不能为负的实际意义舍去不合理的负根，最终得到增长率对应选项即可。
【解析】
设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
整理，得$(1+x)^2=1.44$
开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，$x=-2.2$不合题意，舍去。
所以月平均增长率为$0.2=20\%$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程的求解
【点评】
本题是平均变化率的常规考法，解题关键是熟记平均增长率的计算公式，同时要注意结合实际问题对方程的解进行取舍，排除不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.8
这是一道平均增长率类的一元二次方程应用题，解题思路如下：1. 明确已知量：1月销售量是增长的基础量为9000辆，从1月到3月共经过2次月增长，3月销售量是增长2次后的最终量为12960辆；2. 设月平均增长率为x，套用平均增长率公式列方程；3. 求解一元二次方程，结合增长率不能为负的实际意义舍去不合理的负根，最终得到增长率对应选项即可。
【解析】
设该品牌新能源汽车1月至3月的销售量的月平均增长率为$x$。
根据题意，得
$9000(1+x)^2=12960$
整理，得$(1+x)^2=1.44$
开平方，得$1+x=\pm1.2$
解得$x_1=0.2$，$x_2=-2.2$。
因为增长率不能为负数，$x=-2.2$不合题意，舍去。
所以月平均增长率为$0.2=20\%$。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；一元二次方程的求解
【点评】
本题是平均变化率的常规考法，解题关键是熟记平均增长率的计算公式，同时要注意结合实际问题对方程的解进行取舍，排除不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.8
2.某芯片公司引进了一条芯片生产线，2025年的第四季度生产了芯片64万个，2026年第二季度生产了芯片100万个.
(1)求该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率，该公司希望2026年第三季度这条生产线的芯片生产量达到130万个，这个目标能否实现？请说明理由.
(1)求该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率.
(2)按照(1)中的平均增长率，该公司希望2026年第三季度这条生产线的芯片生产量达到130万个，这个目标能否实现？请说明理由.
答案
2.【解】(1)设该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为x.
根据题意,得$64(1+x)^2=100$.
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意,舍去).
因此,该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为25%.
(2)这个目标不能实现.理由如下：
$100×(1+25\%)=125$(万个).
$\because 125＜130$,
$\therefore$这个目标不能实现.
根据题意,得$64(1+x)^2=100$.
解得$x_1=0.25,x_2=-2.25$(不合题意,舍去).
因此,该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为25%.
(2)这个目标不能实现.理由如下：
$100×(1+25\%)=125$(万个).
$\because 125＜130$,
$\therefore$这个目标不能实现.
解析
【分析】
(1)求解平均增长率问题，我们可以先设增长率为x，依据“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”的等量关系列方程。首先明确2025年第四季度到2026年第二季度间隔2个季度，初始产量为64万个，最终产量为100万个，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到季度平均增长率。(2)判断第三季度产量目标能否实现，只需用第二季度的产量乘以(1+平均增长率)算出第三季度的预计产量，再和130万个比较大小即可。
【解析】
(1)设该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为x。
根据题意，2025年第四季度到2026年第二季度共经历2次季度增长，列方程得：
$64(1+x)^2=100$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2)该目标不能实现，理由如下：
按照25%的季度平均增长率，2026年第三季度的预计产量为：
$100×(1+25\%)=125$（万个）
$\because 125＜130$
$\therefore$2026年第三季度的芯片生产量达不到130万个，该目标不能实现。
【答案】
(1)该生产线的生产量的季度平均增长率为25%；(2)这个目标不能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；实数大小比较
【点评】
本题是平均变化率类的典型基础应用题，核心考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题时需注意准确判断增长次数，同时要结合实际意义舍去不符合要求的方程根，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
(1)求解平均增长率问题，我们可以先设增长率为x，依据“初始量×(1+增长率)^增长次数=最终量”的等量关系列方程。首先明确2025年第四季度到2026年第二季度间隔2个季度，初始产量为64万个，最终产量为100万个，代入等量关系列一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的负根，即可得到季度平均增长率。(2)判断第三季度产量目标能否实现，只需用第二季度的产量乘以(1+平均增长率)算出第三季度的预计产量，再和130万个比较大小即可。
【解析】
(1)设该芯片公司这条生产线的生产量的季度平均增长率为x。
根据题意，2025年第四季度到2026年第二季度共经历2次季度增长，列方程得：
$64(1+x)^2=100$
解得：$x_1=0.25=25\%$，$x_2=-2.25$（增长率不能为负，不合题意，舍去）。
(2)该目标不能实现，理由如下：
按照25%的季度平均增长率，2026年第三季度的预计产量为：
$100×(1+25\%)=125$（万个）
$\because 125＜130$
$\therefore$2026年第三季度的芯片生产量达不到130万个，该目标不能实现。
【答案】
(1)该生产线的生产量的季度平均增长率为25%；(2)这个目标不能实现。
【知识点】
一元二次方程的应用；平均增长率问题；实数大小比较
【点评】
本题是平均变化率类的典型基础应用题，核心考查从实际问题中提取等量关系列方程的能力，解题时需注意准确判断增长次数，同时要结合实际意义舍去不符合要求的方程根，整体解题逻辑清晰。
【难度系数】
0.8
1.某物流公司2026年1月份和3月份运输的货物总件数分别为4万件和5.76万件.设该物流公司从1月份到3月份运输的货物总件数的月平均增长率为$ x $,则可列方程为（
A.$ 4(1+x)=5.76 $
B.$ 4(1+2x)=5.76 $
C.$ 4(1+x)^2=5.76 $
D.$ 4+4(1+x)+4(1+x)^2=5.76 $
C
）A.$ 4(1+x)=5.76 $
B.$ 4(1+2x)=5.76 $
C.$ 4(1+x)^2=5.76 $
D.$ 4+4(1+x)+4(1+x)^2=5.76 $
答案
1.C
解析
【分析】
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：第一步先明确平均增长率问题的基本数量关系：初始量为a，月平均增长率为x时，经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$；第二步确定本题对应量：1月份运输量4万件是初始量，从1月到3月共经过2次增长（1月到2月、2月到3月各增长1次），3月份运输量5.76万件是最终量；第三步代入数量关系列方程即可，同时注意区分“3月份单独运输量”和“1-3月总运输量”，避免错选求和类选项。
【解析】
已知1月份运输货物总件数为4万件，月平均增长率为x：
1. 2月份运输总件数为1月份运输量乘（1+增长率），即$4(1+x)$万件；
2. 3月份运输总件数为2月份运输量乘（1+增长率），即$4(1+x) × (1+x) = 4(1+x)^2$万件；
3. 结合题干给出的3月份运输总件数为5.76万件，可列方程：$4(1+x)^2 = 5.76$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，解题核心是准确判断增长的次数，同时要注意审题，区分所求为单个月份的最终量还是多个月份的累计量，避免因审题疏漏选错选项。
【难度系数】
0.8
本题考查平均增长率的实际应用，解题思路如下：第一步先明确平均增长率问题的基本数量关系：初始量为a，月平均增长率为x时，经过n次增长后的量为$a(1+x)^n$；第二步确定本题对应量：1月份运输量4万件是初始量，从1月到3月共经过2次增长（1月到2月、2月到3月各增长1次），3月份运输量5.76万件是最终量；第三步代入数量关系列方程即可，同时注意区分“3月份单独运输量”和“1-3月总运输量”，避免错选求和类选项。
【解析】
已知1月份运输货物总件数为4万件，月平均增长率为x：
1. 2月份运输总件数为1月份运输量乘（1+增长率），即$4(1+x)$万件；
2. 3月份运输总件数为2月份运输量乘（1+增长率），即$4(1+x) × (1+x) = 4(1+x)^2$万件；
3. 结合题干给出的3月份运输总件数为5.76万件，可列方程：$4(1+x)^2 = 5.76$。
故选C。
【答案】
C
【知识点】
平均变化率问题；一元二次方程的实际应用
【点评】
本题是平均增长率类的基础题型，解题核心是准确判断增长的次数，同时要注意审题，区分所求为单个月份的最终量还是多个月份的累计量，避免因审题疏漏选错选项。
【难度系数】
0.8
2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干相同数目的小分支。若主干、支干和小分支的总数是31，则每个支干长出的小分支的个数是
5
。答案
2. 5
解析
【分析】
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确各层级的数量关系：仅有1个主干，主干生长出$ x $个支干，每个支干再生长出和支干数目相同的$ x $个小分支，因此小分支总个数为$ x × x = x^2 $。再根据“主干数量+支干数量+小分支数量=总数量31”的等量关系列方程求解，最后结合分支个数为正整数的实际要求，舍去不符合题意的负根即可。
【解析】
解：设每个支干长出的小分支的个数是$ x $。
由题意得：主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三者总和为31，列方程：
$1 + x + x^2 = 31$
整理得：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -6 $
由于小分支的个数不能为负数，因此舍去$ x = -6 $，即$ x = 5 $。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用，因式分解法解方程，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，列方程时注意不要遗漏主干，求解后需结合实际意义验证根的合理性，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.7
这是一道一元二次方程的实际应用题，解题思路如下：首先明确各层级的数量关系：仅有1个主干，主干生长出$ x $个支干，每个支干再生长出和支干数目相同的$ x $个小分支，因此小分支总个数为$ x × x = x^2 $。再根据“主干数量+支干数量+小分支数量=总数量31”的等量关系列方程求解，最后结合分支个数为正整数的实际要求，舍去不符合题意的负根即可。
【解析】
解：设每个支干长出的小分支的个数是$ x $。
由题意得：主干数量为1，支干数量为$ x $，小分支数量为$ x^2 $，三者总和为31，列方程：
$1 + x + x^2 = 31$
整理得：
$x^2 + x - 30 = 0$
因式分解得：
$(x + 6)(x - 5) = 0$
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -6 $
由于小分支的个数不能为负数，因此舍去$ x = -6 $，即$ x = 5 $。
【答案】
5
【知识点】
一元二次方程的应用，因式分解法解方程，实际问题根的取舍
【点评】
本题是典型的分支类一元二次方程应用题，解题核心是准确梳理不同层级的数量关系，列方程时注意不要遗漏主干，求解后需结合实际意义验证根的合理性，属于基础应用题型。
【难度系数】
0.7
