2. 如图,怎样用一根长为 40 m 的细绳靠一面墙(墙长 25 m)围成一个面积为 150 m²的矩形区域?

设垂直于墙的边长为 x m,则平行于墙的边长为(40-2x)m.
根据题意,得 x(40-2x)=150.
解得 x₁=5,x₂=15.
当 x=5 时,40-2x=40-2×5=30,30＞25,不合题意,舍去.
当 x=15 时,40-2x=40-2×15=10,10＜25,符合题意.
因此,当垂直于墙的边长为 15 m,平行于墙的边长为 10 m 时,能用一根长为 40 m 的细绳靠一面墙(墙长 25 m)围成一个面积为 150 m²的矩形区域.

【分析】
本题是靠墙围矩形的实际应用题，首先明确细绳仅需围矩形的3条边：2条垂直于墙面，1条平行于墙面。我们选择设垂直于墙的边长为x m，那么平行于墙的边长就等于细绳总长度减去2个垂直边的长度，即(40-2x)m。接下来根据矩形面积=长×宽的公式列出方程，求解后要注意：平行于墙的边长不能超过墙长25m，否则无法利用墙面围成矩形，因此需要对求出的根进行检验，舍去不符合实际条件的解，最终得到正确的边长。
【解析】
解：设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的边长为(40-2x)m。
根据矩形面积为150 m²，列方程得：
$x(40-2x)=150$
整理得$x^2-20x+75=0$，解得$x_1=5$，$x_2=15$。
当$x=5$时，$40-2x=40-2×5=30$，$30＞25$，超过墙长，不合题意，舍去；
当$x=15$时，$40-2x=40-2×15=10$，$10＜25$，符合墙长限制，符合题意。
【答案】
当垂直于墙的边长为15 m，平行于墙的边长为10 m时，能用给定细绳围成符合要求的矩形区域。
【知识点】
一元二次方程的应用、矩形面积公式、实际问题根的检验
【点评】
本题属于几何类的一元二次方程应用题，解题核心是结合靠墙围边的特点正确表示矩形的边长，易错点是容易忽略墙长的限制，未对解出的根进行合理性筛选，解题时要注意结合实际场景的约束条件验证解的正确性。
【难度系数】
0.7

1.一个直角三角形的两条直角边长的和是28，面积是96.设这个直角三角形的一条直角边的长为$x$，依题意，可列出方程为（）

A.$x(14 - x)=96$
B.$\frac{1}{2}x(14 - x)=96$
C.$\frac{1}{2}x(28 - x)=96$
D.$x(28 - x)=96$

1.C

【分析】
解这道题的核心是先明确题中的等量关系，再用含$x$的式子表示出所需未知量，最后代入等量关系列方程。首先回忆直角三角形的面积公式：面积=$\frac{1}{2}$×一条直角边×另一条直角边。题中已经设一条直角边长为$x$，结合两条直角边长的和是28，可先表示出另一条直角边的长度，再代入面积公式即可得到对应方程。
【解析】
已知设该直角三角形的一条直角边长为$x$，
因为两条直角边长的和是28，所以另一条直角边长为$(28-x)$。
根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}×直角边\_\_\_\_\_\_1×直角边\_\_\_\_\_\_2$，已知面积是96，代入得：
$\frac{1}{2}x(28-x)=96$
因此符合的选项为C。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形面积计算；列一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，考查几何图形问题的方程列写，解题关键是找准面积的等量关系，正确表示两条直角边的长度，注意不要遗漏面积公式中的$\frac{1}{2}$。
【难度系数】
0.8

2.用6 m长的木板，在两边都足够长的直角围墙的一角围出一个8 m²的矩形区域如图所示.设矩形区域的一边长为x m,根据题意可列方程为 ()

A.$6(1+x^2)=8$
B.$6(1+x)^2=8$
C.$x(6-x)=8$
D.$x(6+x)=8$

2.C

【分析】
解题时首先结合图形理解题意：直角围墙的两个墙面可作为矩形的两条相邻边，因此6m长的木板仅需搭建矩形剩下的两条相邻边，即矩形两条邻边的长度和为6m。已知其中一条边长为x m，即可推出另一条边长为(6-x)m，再结合矩形面积=长×宽，且面积为8㎡，代入即可列出对应的方程。
【解析】
由题意和图形可知，矩形的两条邻边依托直角围墙，无需使用木板，因此6m长的木板为矩形另外两条邻边的总长度。
设矩形的一边长为x m，则另一边长为$(6-x)$m，
根据矩形面积公式，面积为8㎡，可列方程：
$x(6-x)=8$，对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
列一元二次方程，矩形面积计算
【点评】
本题属于几何实际应用类基础题，解题的核心是准确判断木板长度对应的是矩形两条邻边的长度和，避免误将木板长度当做矩形周长计算。
【难度系数】
0.8

3.已知两个连续整数的积是132，则这两个连续整数的和是.

3.-23或23

【分析】
遇到连续整数的乘积问题，首先考虑设未知数表示两个连续整数，通常设较小的整数为$x$，则较大的连续整数为$x+1$，再根据“积为132”的等量关系列一元二次方程求解。求解时要注意整数包含正整数和负整数两种情况，算出两组解后分别计算两个数的和即可，不要漏解。
【解析】
设较小的连续整数为$ x $，则较大的连续整数为$ x+1 $，根据题意列方程：
$ x(x+1)=132 $
整理为一元二次方程的标准形式：
$ x^2 + x - 132 = 0 $
用因式分解法解方程，将方程左边分解得：
$ (x+12)(x-11)=0 $
解得：$ x_1=-12 $，$ x_2=11 $
① 当$ x=-12 $时，另一个整数为$ -12+1=-11 $，两数之和为$ -12 + (-11) = -23 $
② 当$ x=11 $时，另一个整数为$ 11+1=12 $，两数之和为$ 11 + 12 = 23 $
综上，这两个连续整数的和为-23或23。
【答案】
-23或23
【知识点】
一元二次方程的应用；解一元二次方程；整数的概念
【点评】
本题属于基础的数字类应用题，解题核心是正确用未知数表示连续整数、根据等量关系列方程，求解时注意不要忽略负整数的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.7

4. 一个菱形的两条对角线长之和是14，面积是24，则这个菱形的边长是.

4.5

【分析】
解题需结合菱形的核心性质推导：首先，菱形的面积等于两条对角线乘积的一半；其次，菱形的对角线互相垂直平分，因此菱形边长可通过两条对角线一半的长度用勾股定理计算。我们可以先设两条对角线长分别为a、b，根据已知条件得到a+b与ab的值，再利用完全平方公式变形求出对角线一半的平方和，最后代入勾股公式即可算出边长。
【解析】
设菱形的两条对角线长分别为$ a $、$ b $。
根据题意列等式：
1. 两条对角线之和为14：$ a + b = 14 $
2. 由菱形面积公式（对角线乘积的一半）得：$ \frac{1}{2}ab = 24 $，化简得$ ab = 48 $
因为菱形对角线互相垂直平分，所以边长$ l $满足勾股定理：
$ l = \sqrt{(\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2} $
对根号内的式子利用完全平方公式变形：
$ (\frac{a}{2})^2 + (\frac{b}{2})^2 = \frac{a^2 + b^2}{4} = \frac{(a+b)^2 - 2ab}{4} $
将$ a+b=14 $、$ ab=48 $代入得：
$ \frac{14^2 - 2×48}{4} = \frac{196 - 96}{4} = 25 $
因此$ l = \sqrt{25} = 5 $
【答案】
5
【知识点】
菱形的性质；勾股定理；完全平方公式
【点评】
本题考查菱形性质的综合应用，解题时可利用整体代入的思想简化运算，无需单独求出两条对角线的长度，熟练掌握菱形的面积公式和对角线的特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 一个直角三角形三条边的长为三个连续偶数，则这个三角形的斜边长为。

5.10

【分析】
本题是结合直角三角形性质与连续偶数特点的计算问题，解题思路如下：1. 直角三角形三边满足勾股定理，且斜边是三边中最长的边；2. 连续偶数之间相差2，可通过设未知数表示出三条边的长度；3. 将三边代入勾股定理得到一元二次方程，求解后根据边长为正的要求舍去不合题意的根，即可得到斜边长。
【解析】
设这个直角三角形较短的直角边长为$x$（$x$为偶数），则另一条直角边长为$x+2$，斜边为最长边，长度为$x+4$。
根据勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，列方程得：
$x^2 + (x+2)^2 = (x+4)^2$
展开并整理方程：
$x^2 + x^2 +4x +4 = x^2 +8x +16$
$x^2 -4x -12 = 0$
因式分解得$(x-6)(x+2)=0$，解得$x_1=6$，$x_2=-2$。
由于三角形边长为正数，故舍去$x=-2$，因此斜边长为$x+4=6+4=10$。
【答案】
10
【知识点】
勾股定理；一元二次方程的应用；连续偶数的表示
【点评】
本题是方程思想在几何计算中的典型基础题，解题核心是结合连续偶数的特点合理设元，利用勾股定理建立方程，求解后要注意结合边长的实际意义舍去不符合要求的根，是勾股定理应用模块的常考题。
【难度系数】
0.75

6. 一个长方体木箱的高是8 dm，长比宽多5 dm，体积是528 dm³，求这个木箱的长和宽.

设这个木箱的宽为 x dm,则长为(x+5)dm.
根据题意,得 8x(x+5)=528.
解得 x₁=6,x₂=-11(不合题意,舍去).
当 x=6 时,x+5=6+5=11.
因此,这个木箱的长为 11 dm,宽为 6 dm.

【分析】
本题是利用一元二次方程解决几何体积问题，解题思路如下：首先回忆长方体体积公式为长×宽×高，题目已知高、体积以及长和宽的数量关系，我们可以通过设未知数列方程求解。第一步设较小的量宽为x dm，根据长比宽多5 dm，可将长表示为(x+5)dm；第二步利用体积公式找到等量关系，列出方程；第三步求解一元二次方程，结合长度为正数的实际意义舍去不符合的根；最后将符合题意的解代入求出长即可。
【解析】
设这个木箱的宽为$ x $ dm，则长为$ (x+5) $ dm。
根据题意，结合长方体体积公式列方程得：
$ 8x(x+5)=528 $
解得$ x_1=6 $，$ x_2=-11 $。
因为木箱的宽度不能为负数，所以$ x_2=-11 $不合题意，舍去。
当$ x=6 $时，长为$ x+5=6+5=11 $（dm）。
【答案】
这个木箱的长为11 dm，宽为6 dm。
【知识点】
长方体体积计算、一元二次方程的应用、一元二次方程的求解
【点评】
本题是方程在几何实际问题中的基础应用，解题关键是抓住体积等量关系列方程，同时要注意结合实际场景检验解的合理性，舍去不符合实际意义的根。
【难度系数】
0.75

7. 给一幅长 40 cm,宽 30 cm 的年画四周镶上一条宽度相同的金色纸边,制成一幅挂画.若要求年画的面积占整个挂画面积的 60%,则金色纸边的宽度是（）

A.3 cm
B.5 cm
C.10 cm
D.25 cm

7.B

【分析】这是一道结合矩形面积的一元二次方程应用题，解题思路如下：第一步，设金色纸边的宽度为未知数x；第二步，明确年画面积固定，镶边后整个挂画的长和宽都比原来增加2x（因为上下、左右各有一条宽度为x的纸边），据此表示出挂画的面积；第三步，根据“年画面积=整个挂画面积×60%”的等量关系列方程；第四步，求解方程后，结合实际意义（宽度不能为负）舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
解：设金色纸边的宽度为$ x \, \mathrm{cm} $。
1. 计算年画的面积：$ 40 × 30 = 1200 \, \mathrm{cm}^2 $
2. 镶边后挂画的长为$ (40 + 2x) \, \mathrm{cm} $，宽为$ (30 + 2x) \, \mathrm{cm} $，因此挂画的面积为$ (40 + 2x)(30 + 2x) \, \mathrm{cm}^2 $
3. 根据题意列方程：
$ 1200 = 60\% × (40 + 2x)(30 + 2x) $
整理方程：
两边同时除以0.6得：$ (40 + 2x)(30 + 2x) = 2000 $
展开左边：$ 1200 + 140x + 4x^2 = 2000 $
移项化简得：$ x^2 + 35x - 200 = 0 $
因式分解得：$ (x + 40)(x - 5) = 0 $
解得：$ x_1 = 5 $，$ x_2 = -40 $
4. 因为纸边宽度不能为负数，所以舍去$ x = -40 $，即金色纸边的宽度为5 cm。
【答案】B
【知识点】一元二次方程的应用；矩形面积计算；实际问题根的检验
【点评】本题属于常见的一元二次方程实际应用题型，解题核心是正确表示镶边后图形的长宽参数，找准等量关系列方程，同时要注意结合实际场景对解出的根进行筛选，排除不符合现实意义的错误解。
【难度系数】0.7