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1. 方程$(x-1)^2=1$的解是 （
A.$x_1=2,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=-2,x_2=1$
D.$x_1=2,x_2=-1$
B
）A.$x_1=2,x_2=1$
B.$x_1=2,x_2=0$
C.$x_1=-2,x_2=1$
D.$x_1=2,x_2=-1$
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特征，左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的性质，一个数的平方等于1，则这个数为1或-1，据此可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对方程$(x-1)^2=1$两边直接开平方，可得：
$x-1=\pm1$
即$x-1=1$ 或 $x-1=-1$
当$x-1=1$时，解得$x_1=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x_2=0$。
因此原方程的解为$x_1=2,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的运用，解题时注意开平方后要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.9
本题考查用直接开平方法解一元二次方程，解题思路如下：首先观察方程特征，左边是关于x的完全平方式，右边是正的常数，符合直接开平方法的适用条件；根据平方根的性质，一个数的平方等于1，则这个数为1或-1，据此可将一元二次方程降次转化为两个一元一次方程，分别求解两个一次方程即可得到原方程的解，最后匹配对应选项即可。
【解析】
解：对方程$(x-1)^2=1$两边直接开平方，可得：
$x-1=\pm1$
即$x-1=1$ 或 $x-1=-1$
当$x-1=1$时，解得$x_1=2$；
当$x-1=-1$时，解得$x_2=0$。
因此原方程的解为$x_1=2,x_2=0$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程、平方根的性质
【点评】
本题属于一元二次方程解法的基础题型，核心考查直接开平方法的运用，解题时注意开平方后要同时考虑正负两种情况，避免漏解。
【难度系数】
0.9
2. 若关于$x$的一元二次方程$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{c}{4}-1$可以用直接开平方法进行求解，则$c$的取值范围是（
A.$c≥4$
B.$c＞4$
C.$c≥0$
D.$c＞0$
A
）A.$c≥4$
B.$c＞4$
C.$c≥0$
D.$c＞0$
答案
2.A
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：方程左边是完全平方式，右边的常数必须是非负数（因为实数的平方具有非负性，不可能为负数）。本题中方程左边已经是完全平方形式，因此只需令等号右边的代数式大于等于0，解不等式即可求出c的取值范围。
【解析】
∵ 用直接开平方法解一元二次方程时，等号右边的数必须为非负数，
∴ 对于方程$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{c}{4}-1$，有$\dfrac{c}{4}-1≥0$，
移项得：$\dfrac{c}{4}≥1$，
两边同时乘4得：$c≥4$，
因此c的取值范围是$c≥4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生掌握直接开平方法的适用条件，结合平方非负性列简单不等式求解即可，易错点是容易忽略等号成立的情况，误选B选项。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需要明确直接开平方法解一元二次方程的适用条件：方程左边是完全平方式，右边的常数必须是非负数（因为实数的平方具有非负性，不可能为负数）。本题中方程左边已经是完全平方形式，因此只需令等号右边的代数式大于等于0，解不等式即可求出c的取值范围。
【解析】
∵ 用直接开平方法解一元二次方程时，等号右边的数必须为非负数，
∴ 对于方程$(x-\dfrac{1}{2})^2=\dfrac{c}{4}-1$，有$\dfrac{c}{4}-1≥0$，
移项得：$\dfrac{c}{4}≥1$，
两边同时乘4得：$c≥4$，
因此c的取值范围是$c≥4$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法、平方的非负性、解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础概念考查题，重点要求学生掌握直接开平方法的适用条件，结合平方非负性列简单不等式求解即可，易错点是容易忽略等号成立的情况，误选B选项。
【难度系数】
0.8
3. 用配方法解一元二次方程 $x^2 -12x =7$ 时，方程两边同时 $\boldsymbol{（ ）}$
A.加6
B.减6
C.加36
D.减36
A.加6
B.减6
C.加36
D.减36
答案
3.C
解析
【分析】
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心规则：我们需要把方程左边含未知数的部分转化为完全平方式，操作方法是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。解题时先定位方程的一次项系数，计算其一半的平方，就能确定要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
已知方程为$x^2 -12x =7$，二次项系数是1，一次项系数为-12：
第一步，计算一次项系数的一半：$-12÷2=-6$；
第二步，计算一次项系数一半的平方：$(-6)^2=36$。
因此方程两边需要同时加36，此时左边可化为完全平方式$(x-6)^2$，完成配方操作。
故选C。
【答案】C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方的核心操作，熟练掌握配方规则即可轻松解题，是后续用配方法解方程及解决二次相关问题的基础。
【难度系数】
0.85
要解决这道题，首先回忆配方法解二次项系数为1的一元二次方程的核心规则：我们需要把方程左边含未知数的部分转化为完全平方式，操作方法是在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。解题时先定位方程的一次项系数，计算其一半的平方，就能确定要添加的数。
【解析】
配方法解二次项系数为1的一元二次方程时，需在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。
已知方程为$x^2 -12x =7$，二次项系数是1，一次项系数为-12：
第一步，计算一次项系数的一半：$-12÷2=-6$；
第二步，计算一次项系数一半的平方：$(-6)^2=36$。
因此方程两边需要同时加36，此时左边可化为完全平方式$(x-6)^2$，完成配方操作。
故选C。
【答案】C
【知识点】
1.配方法解一元二次方程
2.完全平方公式
【点评】
本题是配方法的基础考查题，重点考察配方的核心操作，熟练掌握配方规则即可轻松解题，是后续用配方法解方程及解决二次相关问题的基础。
【难度系数】
0.85
4.将一元二次方程$x^2 + 10x + 9 = 0$化成$(x + m)^2 = n$的形式，则$2m + n$的值为（
A.26
B.$-26$
C.6
D.$-6$
A
）A.26
B.$-26$
C.6
D.$-6$
答案
4.A
解析
【分析】
要将一元二次方程的一般式化成$(x+m)^2=n$的形式，需使用配方法变形。解题思路为：第一步先将常数项移到方程右边，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，即可得到$m$、$n$的取值，最后代入$2m+n$计算结果即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 10x + 9 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 + 10x = -9$
2. 配方：一次项系数为10，其一半的平方为$(\frac{10}{2})^2=25$，在方程两边同时加25：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
3. 整理得：$(x+5)^2 = 16$
对比$(x+m)^2 = n$的形式，可得$m=5$，$n=16$
代入$2m+n$计算：$2×5 + 16 = 10 + 16 = 26$
故选A。
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程，完全平方公式，代数式求值
【点评】本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、配方整理”的流程即可快速解题。
【难度系数】0.8
要将一元二次方程的一般式化成$(x+m)^2=n$的形式，需使用配方法变形。解题思路为：第一步先将常数项移到方程右边，第二步在方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左边配成完全平方式，即可得到$m$、$n$的取值，最后代入$2m+n$计算结果即可。
【解析】
解：对原方程$x^2 + 10x + 9 = 0$进行配方：
1. 移项，将常数项移到等号右侧：$x^2 + 10x = -9$
2. 配方：一次项系数为10，其一半的平方为$(\frac{10}{2})^2=25$，在方程两边同时加25：
$x^2 + 10x + 25 = -9 + 25$
3. 整理得：$(x+5)^2 = 16$
对比$(x+m)^2 = n$的形式，可得$m=5$，$n=16$
代入$2m+n$计算：$2×5 + 16 = 10 + 16 = 26$
故选A。
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程，完全平方公式，代数式求值
【点评】本题属于基础题型，重点考查配方法的操作步骤，熟练掌握“移项、加一次项系数一半的平方、配方整理”的流程即可快速解题。
【难度系数】0.8
5. 老师设计了一个接力游戏，规则是通过合作的方式解一元二次方程，每人只能看到前一人给的式子，将式子进行一步计算，再将结果传递给下一人，直到解出方程。其中一次游戏过程如图所示，图中自己负责的一步出现错误的是 （
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A
）A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
5.A
解析
【分析】
解题时需逐一验证每一步计算是否符合解方程的规则：原方程是两个式子平方相等的形式，根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此先判断甲的步骤正误，再依次验证后续乙、丙、丁的步骤即可得出结论。
【解析】
1. 验证甲的步骤：原方程为$16x^2=(2x+8)^2$，根据平方根的性质，对等式两边开平方应得到$4x=2x+8$或$4x=-(2x+8)$两种情况，甲仅写出了$4x=2x+8$，漏掉了另一种情况，因此甲的步骤错误。
2. 验证乙的步骤：基于甲给出的$4x=2x+8$，移项得$4x-2x=8$，移项规则正确，乙的步骤无误。
3. 验证丙的步骤：合并同类项$4x-2x=2x$，得到$2x=8$，计算正确，丙的步骤无误。
4. 验证丁的步骤：系数化为1，等式两边同除以2得$x=4$，计算正确，丁的步骤无误。
综上，出现错误的是甲。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解方程，平方根的性质
【点评】
本题的易错点是对平方相等的等式开平方时，容易漏掉两个数互为相反数的情况，解题时要注意考虑两种可能，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
解题时需逐一验证每一步计算是否符合解方程的规则：原方程是两个式子平方相等的形式，根据平方根的性质，若两个数的平方相等，则这两个数相等或互为相反数，据此先判断甲的步骤正误，再依次验证后续乙、丙、丁的步骤即可得出结论。
【解析】
1. 验证甲的步骤：原方程为$16x^2=(2x+8)^2$，根据平方根的性质，对等式两边开平方应得到$4x=2x+8$或$4x=-(2x+8)$两种情况，甲仅写出了$4x=2x+8$，漏掉了另一种情况，因此甲的步骤错误。
2. 验证乙的步骤：基于甲给出的$4x=2x+8$，移项得$4x-2x=8$，移项规则正确，乙的步骤无误。
3. 验证丙的步骤：合并同类项$4x-2x=2x$，得到$2x=8$，计算正确，丙的步骤无误。
4. 验证丁的步骤：系数化为1，等式两边同除以2得$x=4$，计算正确，丁的步骤无误。
综上，出现错误的是甲。
【答案】
A
【知识点】
直接开平方法解方程，平方根的性质
【点评】
本题的易错点是对平方相等的等式开平方时，容易漏掉两个数互为相反数的情况，解题时要注意考虑两种可能，避免出现漏解的问题。
【难度系数】
0.7
6.填空.
(1)$x^2 + 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(2)$\_\_\_\_\_\_ - 3x + \frac{1}{4} = (3x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
(1)$x^2 + 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$.
(2)$\_\_\_\_\_\_ - 3x + \frac{1}{4} = (3x - \_\_\_\_\_\_)^2$.
答案
6. (1)$\dfrac{9}{4}$ $\dfrac{3}{2}$ (2)$9x^2$ $\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。解题时先根据已知的平方项确定$a$，再根据中间的2倍乘积项求出$b$，最后补全缺失的项即可。
(1) 已知等式左边的二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，可得$a=x$，结合一次项$3x$是2倍乘积项，即可求出$b$，进而得到需要补充的常数项$b^2$；
(2) 已知等式右边的底数第一项为$3x$，对应公式里的$a$，常数项$\frac{1}{4}$对应$b^2$，先求出$b$，再验证一次项是否匹配，最后求出左边缺失的二次项$a^2$。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$解题：
(1) 对于$x^2 + 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$：
二次项$x^2=a^2$，得$a=x$；
一次项$3x=2ab=2· x· b$，解得$b=\frac{3}{2}$；
需要补充的常数项为$b^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，
因此第一空填$\frac{9}{4}$，第二空填$\frac{3}{2}$。
(2) 对于$\_\_\_\_\_\_ - 3x + \frac{1}{4} = (3x - \_\_\_\_\_\_)^2$：
右侧底数第一项$3x=a$，常数项$\frac{1}{4}=b^2$，解得$b=\frac{1}{2}$（因右侧为减号，$b$取正值）；
验证中间项：$2ab=2×3x×\frac{1}{2}=3x$，和左侧的$-3x$匹配；
需要补充的二次项为$a^2=(3x)^2=9x^2$，
因此第一空填$9x^2$，第二空填$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{9}{4}$；$\dfrac{3}{2}$ (2)$9x^2$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，熟练掌握公式中各项的对应关系，是解决配方类问题的核心，也为后续用配方法解一元二次方程等内容奠定基础。
【难度系数】
0.8
本题考查完全平方公式的应用，解题核心是牢记完全平方公式的结构特征：$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和加上（或减去）它们积的2倍。解题时先根据已知的平方项确定$a$，再根据中间的2倍乘积项求出$b$，最后补全缺失的项即可。
(1) 已知等式左边的二次项为$x^2$，对应公式里的$a^2$，可得$a=x$，结合一次项$3x$是2倍乘积项，即可求出$b$，进而得到需要补充的常数项$b^2$；
(2) 已知等式右边的底数第一项为$3x$，对应公式里的$a$，常数项$\frac{1}{4}$对应$b^2$，先求出$b$，再验证一次项是否匹配，最后求出左边缺失的二次项$a^2$。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm 2ab+b^2$解题：
(1) 对于$x^2 + 3x + \_\_\_\_\_\_ = (x + \_\_\_\_\_\_)^2$：
二次项$x^2=a^2$，得$a=x$；
一次项$3x=2ab=2· x· b$，解得$b=\frac{3}{2}$；
需要补充的常数项为$b^2=(\frac{3}{2})^2=\frac{9}{4}$，
因此第一空填$\frac{9}{4}$，第二空填$\frac{3}{2}$。
(2) 对于$\_\_\_\_\_\_ - 3x + \frac{1}{4} = (3x - \_\_\_\_\_\_)^2$：
右侧底数第一项$3x=a$，常数项$\frac{1}{4}=b^2$，解得$b=\frac{1}{2}$（因右侧为减号，$b$取正值）；
验证中间项：$2ab=2×3x×\frac{1}{2}=3x$，和左侧的$-3x$匹配；
需要补充的二次项为$a^2=(3x)^2=9x^2$，
因此第一空填$9x^2$，第二空填$\frac{1}{2}$。
【答案】
(1)$\dfrac{9}{4}$；$\dfrac{3}{2}$ (2)$9x^2$；$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.配方法
【点评】
本题是配方法的基础训练题，重点考查对完全平方公式结构特征的理解与应用，熟练掌握公式中各项的对应关系，是解决配方类问题的核心，也为后续用配方法解一元二次方程等内容奠定基础。
【难度系数】
0.8
7.若关于$x$的一元二次方程$(x+5)^2 = m-2$有两个不相等的实数根，则$m$的取值范围是
$m＞2$
。答案
7.$m＞2$
解析
【分析】
我们可以利用直接开平方法解一元二次方程的条件来解题。首先观察方程左边是$(x+5)$的平方，根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数。要让这个一元二次方程有两个不相等的实数根，等号右边的式子必须是正数：如果右边等于0，方程会有两个相等的实数根；如果右边小于0，方程没有实数根。因此我们只需要让右边的$m-2$大于0，解这个不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的一元二次方程$(x+5)^2 = m-2$有两个不相等的实数根，
根据平方的非负性，若方程有两个不等实根，则右侧被开方数必须为正数，
即 $m-2 ＞ 0$，
解得 $m ＞ 2$。
【答案】
$m＞2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握直接开平方法求解一元二次方程时，等号右侧的常数需要满足的取值要求，结合平方的非负性即可快速列出不等式求解。
【难度系数】
0.9
我们可以利用直接开平方法解一元二次方程的条件来解题。首先观察方程左边是$(x+5)$的平方，根据平方的性质，任意实数的平方都是非负数。要让这个一元二次方程有两个不相等的实数根，等号右边的式子必须是正数：如果右边等于0，方程会有两个相等的实数根；如果右边小于0，方程没有实数根。因此我们只需要让右边的$m-2$大于0，解这个不等式就能得到$m$的取值范围。
【解析】
解：$\because$ 关于$x$的一元二次方程$(x+5)^2 = m-2$有两个不相等的实数根，
根据平方的非负性，若方程有两个不等实根，则右侧被开方数必须为正数，
即 $m-2 ＞ 0$，
解得 $m ＞ 2$。
【答案】
$m＞2$
【知识点】
直接开平方法解一元二次方程；平方的非负性；解一元一次不等式
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握直接开平方法求解一元二次方程时，等号右侧的常数需要满足的取值要求，结合平方的非负性即可快速列出不等式求解。
【难度系数】
0.9
8.若关于x的一元二次方程$mx^2 + mx = 3x + 12$中不含一次项，则此方程的根为
$x_1=2,x_2=-2$
。答案
8.$x_1=2,x_2=-2$
解析
【分析】
首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据“不含一次项”的条件可知一次项系数为0，据此求出参数m的值，再将m代入原方程，用直接开平方法求解方程的根即可。解题时注意一元二次方程的二次项系数不能为0，避免出错。
【解析】
第一步：整理原方程为一般形式
将方程$mx^2 + mx = 3x + 12$移项、合并同类项，得：
$mx^2 + (m-3)x -12 = 0$
第二步：根据条件求m的值
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ $m≠0$
又
∵ 方程不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即$m-3=0$
解得：$m=3$
第三步：代入m的值解方程
将$m=3$代入方程，得：
$3x^2 -12 = 0$
移项得：$3x^2 =12$
两边同时除以3得：$x^2=4$
开平方得：$x=±2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义；一次项系数的意义；直接开平方法解方程
【点评】
本题核心考查对一元二次方程项的系数的理解，解题的突破口是明确“不含某一项”即对应项的系数为0，求出参数后代入求解即可，属于一元二次方程的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
首先需要将原方程整理为一元二次方程的一般形式，根据“不含一次项”的条件可知一次项系数为0，据此求出参数m的值，再将m代入原方程，用直接开平方法求解方程的根即可。解题时注意一元二次方程的二次项系数不能为0，避免出错。
【解析】
第一步：整理原方程为一般形式
将方程$mx^2 + mx = 3x + 12$移项、合并同类项，得：
$mx^2 + (m-3)x -12 = 0$
第二步：根据条件求m的值
∵ 该方程是一元二次方程，
∴ $m≠0$
又
∵ 方程不含一次项，
∴ 一次项系数为0，即$m-3=0$
解得：$m=3$
第三步：代入m的值解方程
将$m=3$代入方程，得：
$3x^2 -12 = 0$
移项得：$3x^2 =12$
两边同时除以3得：$x^2=4$
开平方得：$x=±2$，即$x_1=2$，$x_2=-2$
【答案】
$x_1=2,x_2=-2$
【知识点】
一元二次方程的定义；一次项系数的意义；直接开平方法解方程
【点评】
本题核心考查对一元二次方程项的系数的理解，解题的突破口是明确“不含某一项”即对应项的系数为0，求出参数后代入求解即可，属于一元二次方程的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
